图论_搜索(更新中)

[图的搜索]

 

[图的dfs]
1.思想：stack + 搜索
图的深度搜索原理简析：
(1)搜索一个顶点，然后从这个顶点往下搜索，直到叶子结点(或已搜索标记结点)
(2)退回,查看当前结点是否有其余子结点，若有继续(1)
相当于stack,先推入一个顶点，然后查询是否有子结点，一直推入stack中，到叶子结点(或已搜索标记结点)
则弹出，并查询该结点是否有其余子结点，继续推入，直到所有顶点均入stack过。
2.代码实现：
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int MAX_V = 1e4 + 5;
vector<int> G[MAX_V];//邻接表G
bool vis[MAX_V];//visited[]表示是否访问过该顶点
void dfs(int s)
{
vis[s] = true;
printf("%d ",s);
for (int u = 0; u < (int)G[s].size(); ++u)
{
if (vis[G[s][u]] == false)
dfs(G[s][u]);
}
}
int V,E;
int main()
{
scanf("%d%d",&V,&E);
for (int i = 1; i <= E; ++i)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
G[u].push_back(v);
}
dfs(1);
}
3.注解：这段代码只适用于连通图，对于非连通图，建议查看bfs代码实现部分，可以参考实现。

[图的bfs]
1.思想：queue + 搜索
图的宽度搜索简析：
(1)搜索一个顶点，将该顶点加入queue中
(2)弹出queue队头元素，搜索以该结点为头的子结点，推入queue中
(3)重复(2)直到所有顶点均已查询过
2.代码实现
#include <iostream>
#include <queue>
const int MAX_N = 10;
using namespace std;
bool edge[MAX_N][MAX_N];
int vis[MAX_N];
queue<int> q;
int n,m;
void bfs(int s)
{
q.push(s);
vis[s] = true;
while (!q.empty())
{
int front = q.front();
cout << front << " ";
q.pop();
for (int u = 1; u <= n; ++u)
{
if (!vis[u] && true == edge[front][u])
{
vis[u] = true;
q.push(u);
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
edge[u][v] = true;
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
if (vis[i] == true)
continue;
bfs(i);
}
return 0;
}
3.样例提供，包括前面的图的dfs均可使用
样例说明：第一行表示 n顶点数 m边数
第二行起 m行表示哪两个点相连
(注：可以为无向图，也可以为有向图，不影响搜索结果)
n m
u1 v1
u2 v2
...
um vm

样例一：
9 10
1 2
3 4
3 5
3 6
3 7
4 8
5 8
7 8
6 9
7 9

样例二：
7 6
1 2
1 4
2 5
2 7
7 3
5 6

引入部分：

[完全图]

完全图分为无向完全图与有向完全图

(1)无向完全图：对于一个无向完全图，其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连。

n个顶点的无向完全图表示为Kn; Kn.edge = n*(n - 1)/2;

(2)有向完全图：对于一个有向完全图，其中每对不同的顶点之间都恰连有两条边相互指向。

n个顶点的有向完全图表示为Kn; Kn.edge = n*(n - 1);

(注：无向完全图 ∈ 无向连通图)

[图着色问题]

图着色问题分为图的着色判定问题与图的着色优化问题

(1)图的着色判定问题：对于一个给定的无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色给G中各顶点

着色，每一个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使G中任意相邻的2个顶点有着不同的颜色？

(2)图的着色优化问题：对于一个给定的无向连通图G，问最少需要m种颜色对其进行图色使G中，

各个顶点两两不同颜色。其中m称为该图的最下着色数。

例题：

二分图判定

给定一个具有n（1 <= n <= 1000）个顶点的无向连通图。要给图中每个顶点染色，并且要使相邻顶点颜色不同。问是否最多用2种

颜色对其完成染色？（题目保证无重边或自环）

const int maxn = 1005;
vector<int> G[maxn];//邻接表建图
int n;//顶点数
int color[maxn];//顶点i的颜色 （1 or -1 表示染色所用的两种颜色，0表示未染色）

//对图进行dfs，把顶点i染色(1 or -1)
bool dfs(int v, int c)
{
    color[v] = c;
    for (int i = 0; i < G[v].size(); ++i)
    {
        //如果相邻顶点已经染色，并且相同，则返回false
        if (color[G[v][i]] == c) 
            return false; 
        //如果相邻顶点还未被染色，则将其染色为-c
        //如果将其染色为-c后,!dfs即与已染色点矛盾，则返回false
        if (color[G[v][i]] == 0 && !dfs(G[v][i],-c)) return false;
    }
    //如果所有点均已染色，则返回true
    return true;
}

void solve()
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (color[i] == 0)
            if (!dfs(i,1))
            {
                printf("NO\n");
                return;
            }
    return printf("YES\n");
}

总结：

1.若题目未给定连通，有可能图是不连通的，此时上述dfs不能一次遍历所有顶点，需要对dfs进行些修改或者外部对多个图进行遍历。

2.图染色问题，一般使用dfs来解决