图论_图的基础(更新中)
图的定义：图G是一个有序二元组（V,E），其中V称为顶集（Vertices Set），E称为边集（Edges Set），E与V不相交。它们亦可写成V(G)和E(G)。
分类：
1.按边有无方向分为：无向图 和 有向图
图的存储与表示：
邻接矩阵：用一个二维数组g[n][n]，进行村粗，g[i][j] = 1，表示有一条边<i,j>，从点i指向点j。
若为无向图 则g[i][j] = g[j][i] = 1 (矩阵一定关于对角线对称)
若为有向图 则g[i][j] = 1
复杂度O(n^2) 存储空间大小 n^2
邻接表：为每个顶点创建一个单链表，顶点u的单链表中存储和顶点u直接相连接的点的下标(去掉表中0，将原先的1直接改为对应下标)
存储空间大小 m
代码：
const int N = 2e6 + 5;
vector<int> g[N];
//u - v 无向
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
//u -> v 有向
g[u].push_back(v);
//u -> v cost w 有权值图
typedef pair<int,int> pii;
vector<pii> g[N];
g[u].pb(pii(v,w));
顶点的度、入度和出度
无向图：顶点v的度指和v相连的边的数量
a - b
| \ |
c - d
degree(a) = 3,degree(b) = 2
有向图：顶点v的出度指以v为起点的边的数量，顶点v的入度指以v为终点的边的数量
_____v1 -> v2
| /\ ___|
\/ | \/
v5 -> v3 -> v6 <- v4
| /\ /\ |
| |_____|_____|
|___________|
degree_out(v1) = 2,degree_in(v1) = 1
degree_out(v3) = 2,degree_in(v3) = 3
拓扑排序
对于一个DAG(有向无环图)进行拓扑排序，是将所有的项点排成一个线性序列，使得对于图中任意一条有向边<u,v>，都满足u在v之前。（即优先点要满足入度为0）
注意点：拓扑排序不一定唯一（可能会同时产生多个入度为0的点）
queue<int> q;
if (in[i] = 0) q.push_back(i);
for (...)
{
in[g[q.top()]] -= 1;
}
//重复上述伪代码
拓扑排序例题：有N个比赛队（1 <= N < 500），编号依次为1，2，3...，N进行比赛，比赛结束后，裁判委员会要将所有参赛队伍从前往后依次排名，但现在裁判委员会不能直接获得每个队的比赛成绩，只知道每场比赛的结果
，即P1赢P2，用P1,P2表示，排名时P1在P2之前。现在请你编程序确定排名。（hdu1285）
注意：符合条件的排名可能不是唯一的，此时要求输出时编号小的队伍在前；输入数据保证是正确的，即输入数据确保一定能有一个符合要求的排名。
Sample input
4 3
1 2
2 3
4 3
Sample output
1 2 4 3
//朴素方法
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 505;
int g[maxn][maxn];//路径
int in_degree[maxn];//入度
int ans[maxn];
int n,m,x,y;
void toposort()
{
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (int j = 1; j <= n; ++j)
{
if (g[i][j])
{
++in_degree[j];
}
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
//寻找编号最小且入度为0
int k = 1;
while (in_degree[k] != 0) ++k;
ans[i] = k;
in_degree[k] = -1;//更新为-1，不影响后续检测
for (int j = 1; j <= n; ++j)
{
if (g[k][j]) --in_degree[j];//相关入度减1
}
}
}
void init()
{
memset(in_degree,0,sizeof(in_degree));
memset(ans,0,sizeof(ans));
memset(g,0,sizeof(g));
}
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
init();
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
g[x][y] = 1;
}
toposort();
for (int i = 1; i < n; ++i)
{
printf("%d ",ans[i]);
}
printf("%d\n",ans[n]);
}
return 0;
}
//拓扑排序 + 优先队列
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 505;
bool map[maxn][maxn];
int in[maxn];
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
void topo(int n)
{
for (int i = 1; i <= n ; ++i)
{
if (in[i] == 0) q.push(i);
}
int c = 1;
while (!q.empty())
{
int v = q.top();
q.pop();
if (c != n)
{
cout << v << " ";
++c;
}
else cout << v << endl;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
if (!map[v][i]) continue;
--in[i];//保证已经push的不会重复push
if (!in[i]) q.push(i);
}
}
}
int main()
{
int n,m,i,j;
while (cin >> n >> m)
{
memset(map,0,sizeof(map));
memset(in,0,sizeof(in));
while (m--)
{
cin >> i >> j;
if (map[i][j]) continue;
map[i][j] = 1;
++in[j];
}
topo(n);
}
}
//存疑
//邻接表 + 拓扑排序
(1)数组式邻接表：
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 505;
const int maxn1 = 250005;
int ind[maxn];//入度
int adj[maxn1];//adjacency list邻接表位置值
int adj_next[maxn1];//邻接表下一指针
int tail[maxn];//邻接表尾
int main()
{
int n,m,i,j,a,b;
while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF)
{
//初始化
for (i = 0; i <= n; ++i)
{
tail[i] = -1;
adj[j] = -1;
adj_next[i] = -1;
ind[i] = 0;
}
for (i = 0; i < m; ++i)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
int x = tail[a],flag = 0;
while (x != -1)//判断是否重边
{
if (adj[x] == b)
{
flag = 1;
break;
}
x = adj_next[x];
}
if (!flag)//共联a的邻接表
{
adj[i] = b;
adj_next[i] = tail[a];
tail[a] = i;
++ind[b];
}
}
for (i = 1; i <= n; ++i)//找n次
{
for (j = 1; j <= n; ++j)//遍历
{
if (ind[j] == 0)//当入度为0，说明靠前
{
ind[j] = -1;//在下次寻找入度时为0跳过
if (i == 1) printf("%d",j);
else printf(" %d",j);
//邻接位置入度减1
for (int k = tail[j]; k != -1; k = adj_next[k])
{
--ind[adj[k]];
}
break;
}
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号