算法题-大数相乘问题

算法题-大数相乘问题

今天在网上看到一个大数相乘的问题，题目是这样的：输入两个整数，要求输出这两个数的乘积。输入的数字可能超过计算机内整形数据的存储范围。

分析：

由于数字无法用一个整形变量存储，很自然的想到用字符串来表示一串数字。然后按照乘法的运算规则，用一个乘数的每一位乘以另一个乘数，然后将所有中间结果按正确位置相加得到最终结果。可以分析得出如果乘数为A和B，A的位数为m，B的位数为n，则乘积结果为m+n-1位（最高位无进位）或m+n位（最高位有进位）。因此可以分配一个m+n的辅存来存储最终结果。为了节约空间，所有的中间结果直接在m+n的辅存上进行累加。最后为了更符合我们的乘法运算逻辑，可以讲数字逆序存储，这样数字的低位就在数组的低下标位置，进行累加时确定下标位置较容易些。

下面是我的解法。

首先是对数组逆序的函数：

 1 void reverseOrder(char* str, int p, int q)
 2 {
 3     char temp;
 4     while(p < q)
 5     {
 6         temp = str[p];
 7         str[p] = str[q];
 8         str[q] = temp;
 9         p ++;
10         q --;
11     }
12 }

然后是完成大数相乘的函数：

 1 char* multiLargeNum(char* A, char* B)
 2 {
 3     int m = strlen(A);
 4     int n = strlen(B);
 5     char* result = new char[m+n+1];
 6     memset(result, '0', m+n);
 7     result[m+n] = '\0';
 8     reverseOrder(A, 0, m-1);
 9     reverseOrder(B, 0, n-1);
10 
11     int multiFlag; // 乘积进位
12     int addFlag;   // 加法进位
13     for(int i=0; i <= n-1; i++) // B的每一位
14     {
15         multiFlag = 0;
16         addFlag = 0;
17         for(int j=0; j <= m-1; j++) // A的每一位
18         {
19             // '0' - 48 = 0
20             int temp1 = (A[j] - 48) * (B[i] - 48) + multiFlag;
21             multiFlag = temp1 / 10;
22             temp1 = temp1 % 10;
23             int temp2 = (result[i+j] - 48) + temp1 + addFlag;
24             addFlag = temp2 / 10;
25             result[i+j] = temp2 % 10 + 48; 
26         }
27         result[i + m] += multiFlag + addFlag;
28     }
29     reverseOrder(result, 0, m+n-1); // 逆序回来
30 
31     return result;
32 }

最后是测试程序：

 1 int main()
 2 {
 3     char A[] = "962346239843253528686293234124";
 4     char B[] = "93459382645998213649236498";
 5     char *res = multiLargeNum(A, B);
 6     if(res[0] != 48)
 7         printf("%c", res[0]);
 8     printf("%s", res+1);
 9     delete [] res;
10     return 0;
11 }

时间复杂度分析：

3个逆序操作的时间分别为O(n)、O(m)、O(m+n)，双重循环的时间复杂度为O(mn)，则总的时间复杂度为O(mn + (m+n))，通常m+n << mn，因此可近似认为为O(mn)。而且，逆序操作只是为了思考更容易，完全可以去掉。

空间复杂度为O(m+n)