初等数论学习笔记
By qifan_maker
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数学
数论
裴蜀定理/Bezout
Build on 2024/6/15
Last updata on 2024/6/16
又称贝祖定理。
结论
\(ax+by = \gcd(a,b)~~~~~~~~~~(x,y\in \texttt Z)\)
证明
-
若 \(a\)、\(b\) 中任意一数为 \(0\) 时，结果显然。
-
若 \(a,b\) 不等于 \(0\)，
由欧几里得算法（辗转相除法）可得以下式子：
\(b=aq_1+r_1(0\le r_1 < b_1)\);
\(a=r_1q_1+r_2(0\le r_2 < r_1)\);
\(r_1=r_2q_3+r_3(0\le r_3 < r_2)\);
\(\dotsb\)
\(r_{k-3}=r_{k-2}q_{k-1}+r_{k-1}\);
\(r_{k-2}=r_{k-1}q_k+r_k\);
\(r_{k-1}=r_{k}q_{k+1}\).
由 \(d = r_k\) 及 \(r_{k-2}=r_{k-1}q_k+r_k\) 得：
\(d = r_{k-2}-r_{k-1}q_k\)
将 \(r_{k-1}=r_{k-3}-r_{k-2}q_{k-1}\)（由 \(r_{k-3}=r_{k-2}q_{k-1}+r_{k-1}\) 变形） 带入上式得：
\(d = r_{k-2}-(r_{k-3}-r_{k-2}q_{k-1})q_k\)
\(d = r_{k-2}-r_{k-3}q_k+r_{k-2}q_{k-1}q_k\)
\(d = r_{k-2}(q_{k-1}q_k+1)-r_{k-3}q_k\)
观察可得 \(d\) 为 \(r_{k-2}\) 和 \(r_{k-3}\) 的“线性组合”，
线性组合（摘自小蓝本）
如果 \(a\mid b\)，\(a\mid c\)，那么对于任意整数 \(x,y\)，都有 \(a\mid bx+cy\)，（即 \(a\) 能整除 \(b\)、\(c\) 的任意一个整系数“线性组合”）
依此倒推，可得 \(d\) 为 \(a\) 和 \(b\) 的“线性组合”，即存在整数 \(x\)、\(y\) 使得：
\(d = ax+by\)
扩展欧几里得算法/Exgcd
Build on 2024/6/16
Last updata on 2024/6/17
简介
扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm, EXGCD），常用于求 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组可行解。
证明
设
\(ax_1+by_1=\gcd(a,b)\)
\(bx_2+(a\bmod b)y_2=\gcd(b,a\bmod b)\)
由欧几里得定理可知：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)
所以 \(ax_1+by_1=bx_2+(a\bmod b)y_2\)
又因为 \(a\bmod b=a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)\)
所以：
\(ax_1+by_1=bx_2+(a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b))y_2\)
\(ax_1+by_1=ay_2+bx_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by_2\)
\(ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2)\)
因为 \(a=a,b=b\)，所以 \(x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2\)
将 \(x_2,y_2\) 由欧几里得算法代入递归求解直至 \(b\) 为 \(0\) 时，\(a\) 即为 \(gcd(a,b)\)，递归 \(x=1,y=0\) 回去求解。
实现
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if (!b){x=1,y=0;return a;}
ll d = exgcd(b,a%b,x,y);
ll t = x;
x = y;
y = t-(a/b)*y;
return d;
}
函数返回的值为 \(\gcd(a,b)\)，在这个过程中计算 \(x,y\) 即可。
费马小定理/Fermat
Build on 2024/6/22
Last updata on 2024/6/23
结论
若 \(p\) 为素数，\(\gcd(a, p) = 1\)，则 \(a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}\)。
另一个形式：对于任意整数 \(a\)，有 \(a^p \equiv a \pmod{p}\)。
证明
-
若 \(p \mid a\)，结果显然。
-
若 \(p \nmid a\)，
设 \(x_1,x_2,\dotsb,x_{p-1}\) 是 \(1,2,\dotsb,p-1\) 的一个排列。
首先证明 \(ax_1,ax_2,\dotsb,ax_{p-1}\) 中任意两数对 \(p\) 不同余，
若 \(ax_i \equiv ax_j \pmod p\)，则 \(p \mid a(x_i-x_j)\)，
又因为 \(p \nmid a\) 且 \(p\) 为质数，所以 \(p \mid x_i-x_j\)，
若 \(p\) 不为素数，如 \(p=st\) 时，
可以有 \(s\) 来自 \(a\)，\(t\) 来自 \(x_i-x_j\)，于是可能存在 \(p \nmid x_i-x_j\)。
但 \(x_i\) 与 \(x_j\) 对模 \(p\) 不同余，不成立。
若 \(p \mid x_i-x_j\)，则 \(x_i-x_j \bmod p = 0\)，故 \(x_i \equiv x_j \pmod p\)
由于 \(\{ax_1,ax_2,\dotsb,ax_{p-1}\} \bmod p = \{1,2,\dotsb,p-1\}\)，
设 \(f=(p-1)!\), 则 \(f\equiv (ax_1)(ax_2)\dotsb(ax_{p-1}) \pmod p\)
\(a^{p-1}\times f \equiv f \pmod p\)
\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)
Q.E.D
乘法逆元
Build on 2024/6/22
Last updata on 2024/6/23
简介
如果一个线性同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod b\)，则 \(x\) 称为 \(a \bmod b\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)。
注意
快速幂求解用到费马小定理，要求模数为素数，而扩欧要求 \(gcd(a,b)=1\)。
扩展欧几里得求解
见 扩展欧几里得算法，
快速幂求解
因为 \(ax \equiv 1 \pmod b\)；
所以 \(ax \equiv a^{b-1} \pmod b\)（根据 费马小定理）；
所以 \(x \equiv a^{b-2} \pmod b\)。
然后我们就可以用 快速幂 来求了。
浙公网安备 33010602011771号