LeetCode337打家劫舍III

LeetCode337打家劫舍III

思路与算法

简化一下这个问题：一棵二叉树，树上的每个点都有对应的权值，每个点有两种状态（选中和不选中），
问在不能同时选中有父子关系的点的情况下，能选中的点的最大权值和是多少。
我们可以用 f(o) 表示选择 o 节点的情况下，o 节点的子树上被选择的节点的最大权值和；
g(o) 表示不选择 o 节点的情况下，o节点的子树上被选择的节点的最大权值和；
l 和 r 代表 o的左右孩子。

• 当 o 被选中时，o 的左右孩子都不能被选中，
  故 o 被选中情况下子树上被选中点的最大权值和为 l 和 r 不被选中的最大权值和相加，
  即 f(o) =o.val + g(l) + g(r)
• 当 o 不被选中时，o 的左右孩子可以被选中，
  也可以不被选中。对于 o 的某个具体的孩子x，
  它对 o 的贡献是 x 被选中和不被选中情况下权值和的较大值。

故 g(o) = max{f(l),g(l)}+max{f(r),g(r)}
至此，我们可以用哈希映射来存 f 和 g 的函数值，用深度优先搜索的办法后序遍历这棵二叉树，
我们就可以得到每一个节点的 f 和 g。根节点的 f 和 g 的最大值就是我们要找的答案。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    Map<TreeNode, Integer> f = new HashMap<TreeNode, Integer>();
    Map<TreeNode, Integer> g = new HashMap<TreeNode, Integer>();

    public int rob(TreeNode root) {
        dfs(root);
        return Math.max(f.getOrDefault(root, 0), g.getOrDefault(root, 0));
    }

    public void dfs(TreeNode node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        dfs(node.left);
        dfs(node.right);
        f.put(node, 
        	node.val
        	+g.getOrDefault(node.left,0) 
        	+ g.getOrDefault(node.right,0)
            );
        g.put(node, Math.max(f.getOrDefault(node.left,0) 
        		,g.getOrDefault(node.left,0)) 
            + Math.max(f.getOrDefault(node.right,0)
            		,g.getOrDefault(node.right,0))
            );
    }
}

假设二叉树的节点个数为 n。

我们可以看出，以上的算法对二叉树做了一次后序遍历，时间复杂度是 O(n)；
由于递归会使用到栈空间，空间代价是 O(n)，哈希映射的空间代价也是 O(n)，故空间复杂度也是 O(n)。

我们可以做一个小小的优化，我们发现无论是 f(o) 还是 g(o)，他们最终的值只和 f(l)、g(l)、f(r)、g(r) 有关，所以对于每个节点，我们只关心它的孩子节点们的 f 和 g 是多少。我们可以设计一个结构，表示某个节点的 f 和 g 值，在每次递归返回的时候，都把这个点对应的 f 和 g 返回给上一级调用，这样可以省去哈希映射的空间。

代码如下。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    public int rob(TreeNode root) {
        int[] rootStatus = dfs(root);
        return Math.max(rootStatus[0], rootStatus[1]);
    }

    public int[] dfs(TreeNode node) {
        if (node == null) {
            return new int[]{0, 0};
        }
        int[] l = dfs(node.left);
        int[] r = dfs(node.right);
        int selected = node.val + l[1] + r[1];
        int notSelected = Math.max(l[0], l[1]) + Math.max(r[0], r[1]);
        return new int[]{selected, notSelected};
    }
}