算法学习笔记（22）：莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

大部分内容摘自OI-WIKI

前置知识

数论分块

数论分块

狄利克雷卷积

\(\large h(x)=\sum_{d\mid x}{f(d)g\left(\dfrac xd \right)}=\sum_{ab=x}{f(a)g(b)}\)

积性函数

若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1)=1\) 且 \(\forall x,y\in\mathbf{N}^*,~(x,y)=1\) 都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则 \(f(n)\) 为 积性函数。

若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1)=1\) 且 \(\forall x,y\in\mathbf{N}^*\) 都有 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则 \(f(n)\) 为 完全积性函数。

单位函数：\(\varepsilon(n)=[n=1]\)。（完全积性）
恒等函数：\(\operatorname{id}_k(n)=n^k，\operatorname{id}_{1}(n)\) 通常简记作 \(\operatorname{id}(n)\)。（完全积性）
常数函数：\(1(n)=1\)。（完全积性）
除数函数：\(\sigma_{k}(n)=\sum_{d\mid n}d^{k}。\sigma_{0}(n)\) 通常简记作 \(d(n)\) 或 \(\tau(n)，\sigma_{1}(n)\) 通常简记作 \(\sigma(n)\)。
欧拉函数： \(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[(i,n)=1]\)
莫比乌斯函数：
\(\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\exists d>1,d^{2}\mid n\\(-1)^{\omega(n)}&\text{otherwise}\end{cases}\)，其中 \(\omega(n)\) 表示 \(n\) 的本质不同质因子个数，它是一个加性函数。

加性函数：对于加性函数 \(f\)，当整数 \(a,b\) 互质时，均有 \(f(ab)=f(a)+f(b)\)。 应与代数中的加性函数 \((Additive map)\) 区分。

莫比乌斯反演

性质1

\( \sum_{d\mid n}\mu(d)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq 1\\ \end{cases}\)

即 \(\sum_{d\mid n}\mu(d)=\varepsilon(n)\)。

证明：
设 \(\displaystyle n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{c_i},n'=\prod_{i=1}^k p_i\)。

又定义可得， \(\displaystyle\sum_{d\mid n}\mu(d)=\sum_{d\mid n'}\mu(d)\)

且 \(\displaystyle \sum_{d\mid n'} = \sum \dbinom{k}{i} (-1)^i\)， 这是由组合意义来的， 考虑因子就是 \(p_i\) 的组合， 我们随机抓出 \(i\) 就是 \(\dbinom{k}{i}\)。

由二项式定理得， \(\displaystyle \sum \dbinom{k}{i} (-1)^i = (1 + (-1))^k\)。

接下来易得， 当 \(k = 0, n = 1\)时， \(\sum_{d\mid n}\mu(d) = 1\)。

性质2

最重要的反演结论： $\large \displaystyle [\gcd(i,j)=1]=\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d) $
其实本质就是性质1，这是最重要的一步转化， \(\large d \mid gcd(i, j)\) 也就是 \(\large d \mid i \wedge d \mid j\)。

我们可以转化为 \(\sum \mu(d) \times \frac{n}{d} \times \frac{n}{d}\)。 这样就可以用数论分块快速计算了。