算法学习笔记（10）：各种序的美好性质

dfs序

定义

dfs序是指：每个节点在dfs深度优先遍历中的进出栈的时间序列。

序列

树上路径

任意子树都是连续的。例如假设有个子树\(BEFK\)，在序列中对应的部分是：\(BEEFKKFB\)；子树 \(CGHI\) ，在序列中对应的部分是：\(CGGHHIIC\) 。
任意点对 \((a,b)\) 之间的路径，可分为两种情况，首先是令 \(lca\) 是 \(a、b\) 的最近公共祖先：
1.若 \(lca\) 是 \(a、b\) 之一，则 \(a、b\) 之间的 \(in\) 时刻的区间或者 \(out\) 时刻区间就是其路径。例如\(AK\)之间的路径就对应区间 \(ABEEFK\) 或者 \(KFBCGGHHIICA\)。
2.若 \(lca\) 另有其人，则a、b之间的路径为 \(In[a]、Out[b]\) 之间的区间或者\(In[b]、Out[a]\) 之间的区间。另外，还需额外加上lca！！！考虑 \(EK\) 路径，对应为\(EFK\)再加上 \(B\) 。考虑 \(EH\) 之间的路径，对应为 \(EFKKFBCGGH\) 再加上 \(A\) 。

考虑这些性质， 可以用dfs序做树上括号序莫队。

子树

性质： 以 \(u\) 为根的子树de所有的节点， 在dfs序中是连续的一段。
应用： 可以利用dfs序和差分， 将路径加， 单点查问题转化成单点加， 子树和问题。
同时子树和可以转化成序列区间问题， 这样就可以上数据结构了。

链

最经典的应用就是树链剖分， 优先访问重链， 使重链在dfs序中为连续的一段， 从而通过数据结构可以维护整棵树的信息。

树

dfs序对于树本身也有很多美好性质。

极小生成子树（自己命名的）

给定一些关键点， 我们怎么得到最小的包括所有关键点的子树的信息呢。

将每个关键点按 \(dfs\)序排序， 得到\(a[k]\)数组。
这颗子树的边权和 $sum = ((\sum dis(a[i], a[i - 1])) + dis(a[1], a[k])) / 2 $
这里的 \(dis\) 仅仅是一个例子， 还可以改成各种想维护的信息。

虚树： 实际上就是建出极小生成子树， 将相邻两点的 \(lca\) 加入序列， 去重后， 根据父子关系建树即可。

欧拉序

定义：进入节点时记录，每次遍历完一个子节点时，返回到此节点记录，得到的 2 ∗ N − 1 长的序列；

性质：节点 x 第一次出现与最后一次出现的位置之间的节点均为 x 的子节点；
任意两个节点的 LCA 是欧拉序中两节点第一次出现位置中深度最小的节点。两个节点第一次出现的位置之间一定有它们的LCA，并且，这个LCA一定是这个区间中深度最小的点。
所以欧拉序可以做到 \(O(nlogn)\) 预处理， \(O(1)\)查询 \(lca\);