算法学习笔记（7）：数论

数论

lucas定理

\({n \choose m} \mod p = {n / p \choose m/p} * {n \mod p \choose m \mod p}\)

数论分块

数论分块可以快速计算一些含有除法向下取整的和式（即形如 \(\sum_{i=1}^nf(i)g(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor)\) 的和式）。当可以在 \(O(1)\) 内计算 \(f(r)-f(l)\) 或已经预处理出 f 的前缀和时，数论分块就可以在 \(O(\sqrt n)\) 的时间内计算上述和式的值。
P2261 [CQOI2007] 余数求和

欧拉定理

若 \(\gcd(a, m) = 1\)，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\)。

扩展欧拉定理

\[a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b<\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\ge\varphi(p) \end{cases} \pmod p \]