莫比乌斯函数

前言

前言

本文内容大部分来自Oier PoPoQQQ 的课件。\
onedrive, baidu
pan
,密码:6ug5\

本文基本上由我学习相当于是制作的一篇学习笔记,但是将课件中的一些不完善的地方加以完善
使得更容易理解,加上了部分例题的代码

引子

介绍莫比乌斯反演之前我们先来看一个函数

根据的定义

于是我们便可以通过推导出

在推导的过程中我们是否发现了一些规律?

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演[1]

莫比乌斯反演定义

其中为莫比乌斯函数[1],定义如下

莫比乌斯函数的定义式[2]

莫比乌斯函数的性质

(1)

当n不等于1时,n所有因子的莫比乌斯函数值的和为0,\

那么

证明:

(2)

对于有:

(3)

积性函数 数论上积性函数的定义\

积性函数的性质\

\

积性函数的前缀和也是积性函数\
\

因为积性函数是积性函数,

因此可以通过线性筛求出莫比乌斯函数的值

mu[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++){
    if(!not_prime[i]){
        prime[++tot]=i;
        mu[i]=-1;
    }
    for(j=1;prime[j]*i<=n;j++){
        not_prime[prime[j]*i]=1;
        if(i%prime[j]==0){
            mu[prime[j]*i]=0;
            break;
        }
        mu[prime[j]*i]=-mu[i];
    }
}

例题1:

BZOJ 2440
完全平方数
\

题目大意:求第k个无平方因子数[3]\

做法:
首先二分答案,问题转化为求之间有多少个无平方因子数\
根据容斥原理可知,对于之内所有的质数,
答案G(x)=0个质数平方倍数的个数-1个质数平方倍数的个数+2个质数平方倍数的个数-...,
那么对于偶数个质数平方对于答案的贡献就是正的,否则是负的,\
如果不是若干个互异质数的乘积,那么对答案没有影响,

如何表示这个式子呢?\

观察莫比乌斯函数的定义[1],可以知道对于能对答案产生贡献的数,其中分解得到质数的个数
根据上述说明,那么可以得知结果\

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 100005
using namespace std;

bool not_prime[N];
int prime[N];
int mu[N];
int tot;

void Mu(int n){
int i,j;
mu[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++){
if(!not_prime[i]){
prime[++tot]=i;
mu[i]=-1;
}
for(j=1;prime[j]i<=n;j++){
not_prime[prime[j]
i]=1;
if(i%prime[j]==0){
mu[prime[j]i]=0;
break;
}
mu[prime[j]
i]=-mu[i];
}
}
}
int can(int x){
int sum=0;
int s=floor(sqrt(x));
for(int i=1;i<=s;++i)
if(mu[i])
sum+=mu[i]floor(x/(ii));
return sum;
}

int main(){
Mu(N);int T,sum;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&num);
long long l=1,r=num<<1,mid;
while(l<r){
mid=(l+r)>>1;
if(can(mid)<num)
l=mid+1;
else r=mid;
}
printf("%lld\n",r);
}
return 0;
}

莫比乌斯反演定理的证明

证明:

形式二:

证明同理,一般要用到的都是这种形式

莫比乌斯反演的应用

对于一些函数,如果我们很难直接求出它的值,而容易求出倍数和或约数和,

那么我们可以直接利用莫比乌斯反演来求得的值

例:

f(n)表示某一范围内(x,y)=n的数对的数量,\

F(n)表示某一范围内n|(x,y)的数对的数量\

那么直接求f(n)并不是很好求,而F(n)求起来相对无脑一些,\

那么我们可以通过对F(n)进行莫比乌斯 反演来求得f(n)</p>

例题2:

BZOJ 2301 Problem

b

题目大意:询问有多少对满足

根据容斥原理,这个题目就可以转化成

其中答案为</p>

那么我们需要快速求出

这个式子可以进一步转化为

考虑莫比乌斯反演, 令

分析可知这个算法的复杂度是

我们还需要对这个算法进行进一步优化

因为至多只有个取值,

那么至多只有个取值

因为使得成立的值都是连续的,

所以可以维护一个莫比乌斯函数的前缀和,

这样就可以在的时间内出解

枚举除法的取值在莫比乌斯反演的应用当中非常常用

if(a>b)swap(a,b);
for(i=1;i<=a;i=last+1){
last=min(a/(a/i),b/(b/i));
re+=(a/i)(a/i)(sum[last]-sum[i-1]);
}
return re;

代码异常好写

#include<iostream>

include<cstdio>

include<cmath>

define N 50005

define inf 0x7fffffff

using namespace std;

bool not_prime[N];
int prime[N];
int sum[N];
int mu[N];
int tot;

void Mu(int n){
int i,j;
mu[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++){
if(!not_prime[i]){
prime[++tot]=i;
mu[i]=-1;
}
for(j=1;prime[j]i<=n;j++){
not_prime[prime[j]
i]=1;
if(i%prime[j]==0){
mu[prime[j]i]=0;
break;
}
mu[prime[j]
i]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
int ans(int n,int m){
if(n>m)swap(n,m);
int last,i,re=0;
for(i=1;i<=n;i=last+1){
last=min(n/(n/i),m/(m/i));
re+=(n/i)(m/i)(sum[last]-sum[i-1]);
}
return re;
}

int main(){
Mu(N);
int T;
int a,b,c,d,k;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
a--;c--;
a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;
int Ans=ans(b,d)-ans(a,d)-ans(b,c)+ans(a,c);
printf("%d\n",Ans);
}
return 0;
}

BZOJ 10s但是luogu却莫名WA\

全部加上long long 之后总算是过了\

百思不得其解

例题3

BZOJ 2820

YY的GCD
\

题目大意:求有多少数对满足满足为质数

做法:


[1] baike:莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容,可以用于解决很多组合数学的问题。

[2]

[3] 无平方因子数(Square-Free

Number),即分解之后所有质因数的次数都为1的数

posted @ 2017-12-09 21:43  Grary  阅读(...)  评论(...编辑  收藏
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