洛谷 P5789 [TJOI2017] 可乐——题解

洛谷P5789题解

题目

P5789 [TJOI2017] 可乐（数据加强版）

题目背景

原题数据很弱，这个加强版卡掉了暴力的 DP 做法，并且补充了原题题面中缺少的 $\LaTeX$ 。

题目描述

加里敦星球的人们特别喜欢喝可乐。因而，他们的敌对星球研发出了一个可乐机器人，并且放在了加里敦星球的 $1$ 号城市上。这个可乐机器人有三种行为：停在原地，去下一个相邻的城市，自爆。它每一秒都会随机触发一种行为。现在给加里敦星球城市图，在第 $0$ 秒时可乐机器人在 $1$ 号城市，问经过了 $t$ 秒，可乐机器人的行为方案数是多少？

输入格式

第一行输入两个正整数 $N,M$ ，$N$ 表示城市个数，$M$ 表示道路个数。

接下来 $M$ 行输入 $u,v$ ，表示 $u,v$ 之间有一条双向道路。

最后输入时间 $t$ 。

输出格式

输出可乐机器人的行为方案数，答案可能很大，请输出对 $2017$ 取模后的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

【数据规模与约定】

对于 $20\%$ 的数据， $n,m\leq 30$ ， $t\leq 1000$ ；

对于 $50\%$ 的数据， $t\leq 10^6$；

对于 $100\%$ 的数据， $n,m\leq 100$ ， $ t\leq 10^9$ .

【样例解释】

$1$ -> 爆炸

$1$ -> $1$ -> 爆炸

$1$ -> $2$ -> 爆炸

$1$ -> $1$ -> $1$

$1$ -> $1$ -> $2$

$1$ -> $2$ -> $1$

$1$ -> $2$ -> $2$

$1$ -> $2$ -> $3$

乍一看似乎和矩阵快速幂关系不大，看上去更像是一道图论题。

但是注意到 $ n $ ，$ m $ 的范围很小。这样我们可以用邻接矩阵储存图。

考虑一个邻接矩阵 $ T $ ，那么我们来思考一下，$ T^{k} $ 有什么特殊的含义。此时注意到这样的一行代码

for(int i=0;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=n;j++)
        for(int k=0;k<=n;k++)c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*t[k][j])%2017)%2017;

这玩意长得就挺像那 $ Floyd $ 枚举中间点 $ k $ 的代码。

所以$ T^{k} $ 的含义就是从 $ i $ 到 $ j $ 走 $ k $ 步的方案数。

但这并不完美契合题目的要求，虽然待在原地可以用自环来解决，但是自爆这个鬼玩意该怎样解决呢？实际上，我们可以引入一个虚拟的点 $ 0 $ ，然后将所有点向 $ 0 $ 连一条单向边，这样自爆后就可以转移到 $ 0 $ 了。

最后的答案即为 $ \sum_{i=0}^{n} a_{1,i} $ 。

完整代码

#ifdef ONLINE_JUDGE 
#else 
#define Qiu_Cheng 
#endif 
#include <bits/stdc++.h> 
#define i8  __int128
#define int long long 
#define fuck inline
#define lb long double 
using namespace std; 
// typedef longlong ll; 
const int N=2e5+5,M=1e6+520,mod=1e9+7;
const int inf=INT_MAX,INF=1e9+7; 
// const int mod1=469762049,mod2=998244353,mod3=1004535809;
// const int G=3,Gi=332748118; 
// const int M=mod1*mod2;
fuck int read()
{
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-'){f=-1;}c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c-'0');c=getchar();}
    return x*f;
}
fuck void write(int x)
{
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int t[205][205],a[205][205];
int c[205][205];
int m,n;int T;
fuck void fc1()
{
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++)
            for(int k=0;k<=n;k++)c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*t[k][j])%2017)%2017;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++)a[i][j]=c[i][j];
}
fuck void fc2()
{
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++)
            for(int k=0;k<=n;k++)c[i][j]=(c[i][j]+(t[i][k]*t[k][j])%2017)%2017;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++)t[i][j]=c[i][j];
}
fuck void solve()
{
	cin>>n>>m;
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(t,0,sizeof(t));
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v;cin>>u>>v;
        a[u][v]=a[v][u]=t[u][v]=t[v][u]=1;
    }
    cin>>T;T-=1;//由于初始了a数组，所以此处要减一
    for(int i=0;i<=n;i++)a[i][0]=t[i][0]=1,t[i][i]=a[i][i]=1;
    while(T)
    {
        if(T&1)fc1();
        fc2();
        T>>=1;
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)ans=(ans+a[1][i])%2017;
    cout<<ans<<"\n";
	
}
signed main() 
{ 
#ifdef Qiu_Cheng 
    freopen("1.in","r",stdin); 
    freopen("1.out","w",stdout); 
#endif 
    // ios::sync_with_stdio(false); 
    // cin.tie(0); cout.tie(0); 
    // int fuckccf=read();
    // for(int i=1;i<=tot;i++)cout<<prime[i]<<"\n";
    // int QwQ=read();
    // while(QwQ--)solve(); 
    solve(); 
    return 0; 
}
//  6666   66666  666666 
// 6    6  6   6      6 
// 6    6  6666      6 
// 6    6  6  6    6 
//  6666   6   6  6666666

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