平差笔记

秩:一个矩阵最大线性无关列,或者最大线性无关行;

*最大线性无关行=最大线性无关列

例如:Amxn

求秩函数:R();

对于Amxn , 对于AmxnXnx1=0,最小二乘解ATAX = ATb ,令Nnxn = ATA,Nnxn Xnx1 = W nx1

要使得X有唯一解,那么R(N)=n,也就是N要满秩

因为:如果N各列线性相关,就可能有很多组X,能组合出W列向量;

R(A) = R(ATA),证明:

AX=0,X的所有解称为N(A),X能构筑的空间的维度=n-R(A);

X作为一个列向量,与A的各个行向量垂直,因此X构筑的空间⊥A的行空间

 ATAX=0,左右乘XT,XTATAX=0(相当于同一向量求点积),此结果是向量||AX||2=0

因此:AX和ATAX中,两个X是同解,并且对于ATAX=0,X能构筑的空间的维度=n-R(ATA);

因此R(A) = R(ATA)

由于R(A) = R(N)=n,因此:A各列必须线性无关,才可能得到AX=b最小二乘唯一解;

而对于加权最小二乘ATPAX=ATPB,也是一样的,因为P是对称的


 如果A的各列不是线性无关,也就是没有起算数据,从而导致R(N)=R(A)<min(m,n),那么:X就不再唯一;

为了方便,将Nnxn Xnx1 = W nx1 视为另一个形式的AnxnX=B;

现在Anxn不满秩,因此A-1不存在,X的解不唯一;


 

误差传播

例一:全站仪的测方向值误差为a ,角度β = a1 - a, 那么 :β方差 = KDaaKT

 

K是β表达式中的系数矩阵,Daa是两个观测量的协方差阵,实际上,最底层的观测值应该是线性无关的,因此非对角线上的元素的协方差为0

例二:

 

泰勒展开,使得其线性化:

 

 可见,非底层的观测值其协方差非对角线,不一定是都为0的,也就是观测值相关

例三:

 

 (其实三维坐标可以以底层观测值来表示,这里只是显示误差传播的过程)

 

例四:

在最小二乘法当中,有加权最小二乘法,观测模型:

L = BX + d(例如:L为真边长,X为真坐标,d为方程常数项)

假设:

X = X0 + x

L = L0 + V 

L0 为观测值,X0为坐标近似值,x为坐标改正数,l为观测值改正数

为了使得:

误差:

V = L - L0

   = B(X0 + x) + d - L0

   = Bx -  (BX0 + d  - L0)

   = Bx - l

BX+ d  就是观测值的近似值,因此 l 就是近似值与观测值之差

那么,平差的目标,是为了使得向量V的长度最小,也就是 |V|2= v1v1 + v2v2 + .....最小

但是,并不是每个Vn 的可信性都是一样的,因为每个L0的可信度不一样,就要加权,变成要求|V|2= p1v1v1 + p2v2v2 + .....最小,也就是VTPV最小

可信度越高,p越大,可见,使用Li的方差倒数,方差越小,权越大,是一个不错的选择;

(注意,当L0相互不独立时,还要加上p12V1V2 + p13V1V3 + ....)

按照上面的推论,也就是:

 

 也就是解方程组:

d(VTpV)/dx1 = 0

d(VTpV)/dx2 = 0

上面方程组可以写为:

BTPV = BTPBx - BTPl = 0 

也就是解 BTPBx = BTPl

 


 

用纯粹线性代数的概念,假如

 

posted on 2019-09-09 17:01  耀礼士多德  阅读(499)  评论(2编辑  收藏  举报