动态规划小结（以采药问题为例）

定义：把一个问题分解为子问题递归求解，并且将中间结果保存以避免重复计算的办法，就叫做“动态规划”。动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。

动态规划中的相关概念：

1、阶段
        用动态规划求解一个问题时，需要将问题的全过程恰当地划分成若干个相互联系的阶段，以便按一定的次序去求解。阶段的划分一般是根据时间和空间的自然特征来定的，一般要便于把问题转化成多阶段决策的过程。

2、状态
        状态表示的是事物某一阶段的性质，状态通过一个变量来描述，这个变量称为状态变量。各个状态之间是可以相互转换的。

3、决策
        对问题的处理中做出某种选择性的行动就是决策。在每一个阶段中都需要有一次决策。一次决策就会从一个阶段进入另一个阶段，状态也就发生了转移。

4、策略和最优策略
        所有阶段按照约定的决策方法，依次排列构成问题的求解全过程。这些决策的总体称为策略。在实际问题中，从决策允许集合中找出最优效果的策略称为最优策略。

5、状态转移方程
        前一阶段的终点就是后一阶段的起点，这种关系描述了由K阶段到K+1阶段状态的演变规律，是关于两个相邻阶段状态的方程，称为状态转移方程，是动态规划的核心。

 

动态规划算法的一般模式：

① 划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。（在划分阶段时，注意有序或可排序）

② 确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处的各种情况用不同状态表示出来；

③ 确定决策并写出状态转移方程：一般是根据相邻两个阶段各状态之间的关系来确定决策；

④ 寻找终止条件：给出的状态转移方程是一个递推式，必须有一个递推的终止条件；  

下面举一个自己做过的例子：

采药问题

1.首先以采摘的时间为阶段。

2、确立状态及状态变量：totaltime时间内采摘sum种药品获得的最大价值。

3、决策：如果采摘第i种药品获得的价值大于不采摘的情况，最大价值等于采摘第i种药品获得的价值；反之，最大价值等于不采摘第i种药品获得的价值。

4、状态转移方程：

max【t】=max{value[i] + max[t-time[i]],max[t-1]}

5.将分析得到的结果实现在代码上。

#include <stdio.h>

int totalTime, medics;
int value[100];
int time[100];
int max[1001]；                                                            //全局变量默认的初值均为0，所以max【0】为该解的出口。
int main() 
{
    scanf("%d%d", &totalTime, &medics);
    int i, t;
    for (i=0; i<medics; i++)
    {
        scanf("%d%d", &time[i], &value[i]);
    }

    for (i=0; i<medics; i++)
    {
        for (t=totalTime; t>0; t--)
        {
            if (time[i] <= t)
            {
                if (value[i] + max[t-time[i]] > max[t])             //第i个的价值+不选第i个且用时为t-time[i-1]时最大价值
                {
                    max[t] = value[i] + max[t-time[i]];
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n", max[totalTime]);
    return 0;
}