【图论】上下界网络流

无源汇上下界可行流

所有点都要满足流量平衡的可行流。每条边的流量上界为 \(F\) ，流量下界为 \(f\) ，一开始加入初始流量，对于每个点 \(i\) ，设超级源 \(S\) 和超级汇 \(T\) ，设初始入流量-初始出流量为 \(M\) ， 若M=0就不用管，若M>0（入流量过大），则连接 \((S,V_i,M)\) ，若M<0（出流量过大），则连接 \((V_i,T,-M)\) ，最后对于每条边加入 \((V_u,V_j,F-f)\) 。对这个图跑最大流，若附加流满流，那么得到了原图的可行流，否则没有可行流。

有源汇上下界可行流

除了源点和汇点，其他点都要满足流量平衡的可行流。在原图中连接 \((T,S)\) 的 \([0,INF)\) 的边，转化成无源上下界可行流。

有源汇上下界最大流

先使用上面的方法，找到一个有源汇上下界可行流，若没有可行流则直接结束。否则，把残量网络上的附加边全部删除，再从残量网络上跑S到T的最大流，把可行流流量和最大流流量相加。

有源汇上下界最小流

先使用上面的方法，找到一个有源汇上下界可行流，若没有可行流则直接结束。否则，把残量网络上的附加边全部删除，再从残量网络上跑T到S的最大流，把可行流流量减去最大流流量。