D. Vitaly and Cycle

原题链接

题解

往无向图中添加至少几条边，使得图中包含奇数环？
注意是要添加少边，而不是使环小

讨论

1.0条

当且仅当原图中存在奇环，方案数为0

用bfs染色判断，即对于一个环，bfs一定会绕一圈该环，然后黑白染色判断奇偶即可

2.一条

当且仅当存在一连通图大小大于等于3

对于该连通图内，对方案数的贡献为距离为偶数的节点对数，根据黑白染色，也就是相同颜色的节点选取两个

\(C_W^2+C_B^2\)

3.两条

当且仅当最大的连通图大小等于2，由于有m条边，所以有m个大小为2的联通块，只需要任选一个联通块和不属于该联通块的点即可

\((n-2)\cdot m\)

4.三条

联通块大小为1，也就是 \(m=0\)

\(C_n^3\)

code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define lb long double
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
using namespace std;
const ll inf=1e18;
const ll mod=1e9+7;

bool flag=0;
vector<ll> G[200005];
ll color[200005]={0};
ll p1=0,p2=0;

ll dfs(ll now,ll fa,ll val)//dfs染色，子节点颜色和父节点有关
{
    color[now]=val;
    if(val==1) p1++;
    else p2++;

    ll sum=1;
    for(auto next:G[now])
    {
        if(next==fa) continue;

        if(!color[next])
        {
            sum+=dfs(next,now,-val);
        }
        else
        {
            if(color[next]==color[now])
            {
                flag=1;
                return 1;
            }
        }
    }

    return sum;
}


ll C(ll n,ll m)
{
    if(n<m) return 0;
    ll res=1;

    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        res=res*(n-i+1LL);
        res=res/i;
    }
    return res;
}

void solve()
{
    ll n,m;
    cin>>n>>m;

    if(m==0)
    {
        cout<<"3 ";
        cout<<C(n,3)<<'\n';
        return;
    }

    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        ll x,y;
        cin>>x>>y;

        G[x].push_back(y);
        G[y].push_back(x);
    }

    ll maxs=2;
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!color[i])
        {
            p1=0;
            p2=0;
            maxs=max(maxs,dfs(i,i,1));
            if(flag)
            {
                cout<<"0 1";
                return;
            }
            if(maxs>=3)
            {
                //printf("p1:%d  p2:%d\n",p1,p2);
                ans+=C(p1,2)+C(p2,2);
            }
        }
    }

    if(maxs==2)
    {
        cout<<"2 ";
        cout<<(n-2LL)*m<<'\n';
    }
    else
    {
        cout<<"1 ";
        cout<<ans<<'\n';
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int TT=1;
    //cin>>TT;
    while(TT--) solve();
    return 0;
}