数论里的欧拉定理，简单证明，非常简单

定理：\(a^{φ(n)} ≡ 1 (mod\ n)\)

首先,我们需要了解一些前提条件:

• \(n\) 是一个正整数
• \(a\) 是与 \(n\) 互质的整数
• \(φ(n)\) 是欧拉函数,表示小于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数的个数

考虑集合 \(S = \{x_1, x_2, ..., x_{φ(n)}\}\)

这个集合包含了所有小于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数。
现在,我们将集合 \(S\) 中的每个元素都乘以 \(a\):
$ {ax_1, ax_2, ..., ax_{φ(n)}}$

关键点:这个新集合中的元素具有以下特性:

• 它们都与 \(n\) 互质
• 对任意两个不同的 \(x_i\) 和 \(x_j\)，\(ax_i \not\equiv ax_j (mod\ n)\)

为什么

运用反证法，假如存在两个不同的 $x_i$ 和 $x_j$，使得 $ax_i \equiv ax_j (mod\ n)$

则有 \(ax_i-ax_j=kn\)，其中 \(k\) 是整数

即 \(a(x_i-x_j)=kn\)

由于 \(a\) 和 \(x_i-x_j\) 都不含有 \(n\) 的因子，所以该式子不可能成立

所以特性b成立

• 每个元素模 n 都在 1 到 n-1 之间

由于上述特性,新集合 \({ax_1, ax_2, ..., ax_{φ(n)}}\) 模 n 后,

实际上就是对原集合 \(S\) 的一个重排列。

为什么？

新集合与原集合大小相同，元素均 $\in[1,n-1]$ 且与 $n$ 互质

因此,我们可以写出以下同余式:

$ (ax_1)(ax_2)...(ax_{φ(n)}) ≡ x_1 · x_2 · ... · x_{φ(n)} (mod\ n) $

整理左边:

$ a^{φ(n)} · (x_1 · x_2 · ... · x_{φ(n)}) ≡ x_1 · x_2 · ... · x_{φ(n)} (mod\ n) $

由于 \((x_1 · x_2 · ... · x_{φ(n)})\) 与 n 互质,我们可以在等式两边同时除以它（相当于乘上其逆元）:

\(a^{φ(n)} ≡ 1 (mod\ n)\)