【数论】错排问题

【数论】错排问题

错排的定义：n个有序的元素应有 n ! 个不同的排列，如若一个排列使得所有的元素不在原来的位置上，则称这个排列为错排

>>>>分析

我们来求一下递推式ヾ(ｏ･ω･)ﾉ

本蒟蒻在此引用CSDN上@zsheng_大佬的分析

当n个编号元素放在n个位置，元素编号与位置编号各不相同的方法数用f（n）表示，那么f（n-1）就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有2种情况：（k<n）

（1）    把它放在位置n上，那么，对于剩下的n-1的元素，由于第k各元素放在位置n，剩下的n-2个元素就有f（n-2）种方法；

（2）    第k个元素不把它放在位置n，这时，对于这n-1个数就有f（n-1）种方法。

递推式

f[i]=(i-1)*f[i-2]+(i-1)*f[i-1]

初值：f[1]=0  f[2]=1

 

>>>>例题

【题目】

Mr. Hu 需要给机房的 n 位同学重新安排位置，为了使换位的效果好，需要保证每位同学在排位前和排位后所在的位置都不同。

Mr. Hu 想知道有多少种可能的排位方法。因为排位数可能很大，所以你只需要输出它模 109 + 7 的结果。
【输入格式】
输入文件中只有 1 个数 n，表示学生人数。
【输出格式】
输出可能的排位数取模后的结果。

【输入样例】

 3

【输出样例】

2

 

>>>>代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define maxn 1000005
using namespace std;
const ll mod=1e9+7;
ll n,f[maxn];
int main()
{
//    freopen("derange.in","r",stdin);
//    freopen("derange.out","w",stdout);
    scanf("%I64d",&n);
    f[1]=0; f[2]=1;
    for(ll i=3;i<=n;i++)
    f[i]=(f[i-1]*(i-1)%mod+f[i-2]*(i-1)%mod)%mod;
    printf("%I64d",f[n]);
    return 0;
}

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

题目来源：开学后的第二次周考