自和谐函数(self-concordant function)

一个函数如果是自和谐的，那么它一定可以用牛顿法来寻找最优点。

先看标量情况下的函数，即\( f：\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}  \):

一个函数如果满足\( |f(x)'''| \leq 2 [f(x)'']^{\frac{1}{2}}  \)则称为自和谐函数。

一个自和谐函数如果满足\( |f(x)'| \leq \nu [f(x)'']^{\frac{3}{2}}  \)则称为\( \nu -self-concordant  \)。

 而对于\( f：\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}  \):

\( | \nabla ^{3} f(x)[h,h,h] | \leq 2 [ \nabla ^{2} f(x)[h,h] ]^{\frac{1}{2}}  \Rightarrow f(x)\)自和谐。