【线性代数·上·笔记一 】几个简单的秩不等式

前言

这几个秩不等式很常见，重要的是通过线性空间和线性映射的观点去证明。

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命题
设 \(A\), \(B\) 为 \(n\) 阶方阵，\(AB=0\) ，则有

\[rank(A) + rank(B)\le n \]

分析
线性映射基本定理的简单应用。

证明
\(AB=0\) 说明 \(B\) 的每一列都被 \(B\) 映成零向量，从而 \(span(B) \in Ker(A)\) ，那么有

\[rank(B)=dimSpan(B) \leq dimKer(A) \]

由线性映射基本定理可得

\[rank(A) + rank(B)\le dimSpan(A) +dimKer(A)=n \]

于是得证。

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命题
设 \(A\), \(B\) 为 \(m \times n\)，\(n \times p\) 矩阵，则有

\[rank(AB) \leq min\{rank(A), rank(B)\} \]

分析
所谓的“秩越乘越小”。可以通过矩阵乘法运算得到这个结论，这里我们考虑另一种办法。

证明
\(AB\) 乘一个列向量 \(\alpha\) 可以看作两步。第一步， \(B\) 乘 \(\alpha\)；第二步，\(A\) 再乘 \(B\alpha\) 。

第一步可以看作映射：

\[\sigma_1:\mathbb{F}^{p}\to\mathbb{F}^{n}, \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_p \end{bmatrix} \mapsto B\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_p \end{bmatrix} \]

第二步可以看作映射，这一步的像集也就是 \(Im(AB)\) ：

\[\sigma_2:Span(B)\to\mathbb{F}^{m}, \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} \mapsto A \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_m \end{bmatrix} \]

所以

\[rank(AB)=dim(Span(A\big|_{Im(B)})) \]

由于

\[Span(A\big|_{Im(B)})\in Span(A) \]

从而 $$rank(AB) \leq rank(A)$$
由于转置运算不改变矩阵的秩，所以 $$rank(AB)=rank(B^TAT) \leq rank(B^T)=rank(B)$$
整理即有 \(rank(AB) \leq min\{rank(A), rank(B)\}\)

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命题(Sylvester不等式)
设 \(A\), \(B\) 为 \(n\) 阶方阵，\(AB=0\) ，则有

\[rank(AB) \ge rank(A)+rank(B)-n \]

分析
与上一个不等式的证明思路类似。

证明
即证明

\[n - rank(A) \ge rank(B) - rank(AB) \]

发现

\[左边 = dimKer(A)\geq右边=dimKer(A|_{Im(B)}) \]

从而得到了证明。

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命题
设 \(A\), \(B\) 为 \(m \times p\)，\(m \times q\) 矩阵，则有

\[rank(A+B) \leq rank(A|B)\leq rank(A)+rank(B) \]

分析
将矩阵看作列向量组，然后观察它们的关系

证明
显然 \(A+B\) 的列向量组可以被 \(A|B\) 线性表出，故 \(rank(A+B) \leq rank(A|B)\)，

设 \(A,B\) 的极大无关组分别是 \((\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)\)，\((\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k)\) ，

那么 \(rank(A|B) = rank(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s) \leq s+k=rank(A)+rank(B)\)，

于是得到了证明。

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命题
设 \(A\), \(B\) 为 \(s \times n\)，\(l \times m\) 矩阵，则有

\[rank \begin{pmatrix} A&O \\ O&B\\ \end{pmatrix} = rank(A)+rank(B)\]

分析
证明思路与上一题一致

证明
设 \(A,B\) 的极大无关组分别是 \((\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_j)\)，\((\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k)\) ，所以

\[rank \begin{pmatrix} A&O \\ O&B\\ \end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1\\ 0\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} \alpha_2\\ 0\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} \alpha_j\\ 0\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} 0\\ \beta_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_k\\ \end{pmatrix} \end{pmatrix}\]

由定义立得右边的向量组线性无关，所以

\[rank \begin{pmatrix} A&O \\ O&B\\ \end{pmatrix} = j+k=rank(A)+rank(B)\]

这样就证明了这个等式。

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命题
设 \(A,B,C\) 为 \(s \times n,l \times m,s \times m\) 矩阵，则有

\[rank \begin{pmatrix} A&O \\ C&B\\ \end{pmatrix} \ge rank(A)+rank(B)\]

分析
证明思路与上一题没差多少

证明
设 \(A,B\) 的极大无关组分别是 \((\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_j)\)，\((\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k)\) ，所以

\[rank \begin{pmatrix} A&O \\ C&B\\ \end{pmatrix} \ge rank \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1\\ c_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} \alpha_2\\ c_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} \alpha_j\\ c_j\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} 0\\ \beta_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} 0\\ \beta_k\\ \end{pmatrix} \end{pmatrix}\]

这是因为由定义立即知右边的向量组线性无关，而且 \((\begin{pmatrix} \alpha_1\\ c_1\\ \end{pmatrix}，\begin{pmatrix} \alpha_2\\ c_2\\ \end{pmatrix}，\dots, \begin{pmatrix} \alpha_j\\ c_j\\ \end{pmatrix})\) 不一定张成 \(Span \begin{pmatrix} A\\C \end{pmatrix}\)，从而就不难得到

\[rank \begin{pmatrix} A&O \\ C&B\\ \end{pmatrix} \ge rank(A)+rank(B)\]