C语言系列之——（4）原码、反码、补码

目录

• 1.二进制和进制转换
  • 1.1 什么是进制
  • 1.2 进制间的转换
    • a.十进制数转非十进制数
      • 示例：十进制转二进制
    • b.2^K进制间转换
      • 示例：二进制转8进制
      • 示例：十六进制转8进制
• 2.原码、反码、补码
  • 2.1 前置知识准备
    • a.这三个码是什么
    • b. 不同整数三码的区别
      • b.1 负数与非负数之间
      • b.2 signed和unsigned之间
        • b.2.1 计算机存储单位说明
        • b.2.2 signed和unsigned之间三码的区别
  • 2.2 整数与三码间的转换
    • a.整数->原码
    • b.原码->反码
    • c.反码->补码
    • d.补码->反码->原码
  • 2.3 整数在内存中的存储与补码运算
    • a. 先上结论
    • b. 为什么一定要用补码存储整数
    • c. 补码运算

1.二进制和进制转换

1.1 什么是进制

我们常常听到 二进制、八进制、十进制、十六进制 这样的说法，这些是什么意思呢
其实，它们只是数值的不同表现形式

每种进制下，整数部分从右往左分别是个位、十位、百位…… 只是不同进制下每一位的权重不一样

不同进制下整数部分从右往左每一位的权重如下

• 二进制：2⁰，2¹，2²……
• 八进制：8⁰，8¹，8²……
• 十进制：10⁰，10¹，10²……
• 十六进制：16⁰，16¹，16²……

小数部分，小数点右侧，权重是进制的负幂次，从左往右依次：

• 二进制小数：2^-1，2^-2，2^-3……
• 八进制小数：8^-1，8^-2，8^-3……
• 十进制小数：10^-1，10^-2，10^-3……
• 十六进制小数：16^-1，16^-2，16^-3……

每一位上的数字在等于其进制数时会往下一位进一位，自己这一位变为0
（如10进制下每一位上的数最大只能是9，当某一位上数变为10时，会向其左边的第一位进1，自己变成0，所以9+1=10，79+1=80，78+30=108）
（十六进制下为表示每一位上大于9的数，用字母A代表10，B表示11，以次类推，一直到F表示15）

对应进制下表示的数字等于其每一位上的数字和对应权重之积的和

整数示例：15 在不同进制

• 二进制：1111₂ = 1×2⁰ + 1×2¹ + 1×2² + 1×2³ = 1 + 2 + 4 + 8 = 15₁₀
• 八进制：17₈ = 7×8⁰ + 1×8¹ = 15₁₀
• 十进制：15₁₀
• 十六进制：F₁₆ = 15×16⁰ = 15₁₀

小数示例：二进制 0.101₂ 转十进制
0.101₂ = 1×2^-1+0×2^-2+1×2^-3=0.5+0+0.125=0.625₁₀

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1.2 进制间的转换

a.十进制数转非十进制数

整数部分：基除法（除基取余，逆序排列）

将整数部分除以基数 r，所得的商作为被除数继续除以基数 r，反复进行这个过程，直到商为 0；
保留每一步的余数，从最后一个余数读到第一个余数，最后一个余数为最高有效位，第一个余数为最低有效位，得到非十进制整数。

小数部分：基乘法（乘基取整，顺序排列）

对给定的小数乘以基数 r，所得乘积保留整数部分，小数部分再乘以基数 r，反复进行这个过程，直到乘积的小数部分为 0，或者达到要求的精度时停止；
保留每一步取出的整数，从第一个整数读到最后一个整数，从左到右排列，得到非十进制小数。

如果 “基乘” 法不能使小数部分收敛为 0，说明这个小数无法用该非十进制数精确表达，精度由保留的数字位数决定。

示例：十进制转二进制

整数部分：除2取余，逆序排列

8转二进制：
8 ÷ 2 = 4（余0）
4 ÷ 2 = 2（余0）
2 ÷ 2 = 1（余0）
1 ÷ 2 = 0（余1）
最后余数序列0001逆序排列为：1000

小数部分：乘 2 取整，顺序排列
十进制小数不断乘以 2，取出每次计算得到的整数部分；
剩下新的小数继续乘 2，直到小数部分等于 0（部分小数无法归零，表示该10进制数无法被2进制精确表示，按需保留精度）
取出的整数按顺序排列就是二进制小数

十进制 0.625₁₀ 转二进制：
(0.625 × 2 = 1.25) 取出整数：1，剩余小数 (0.25)
(0.25 × 2 = 0.5) 取出整数：0，剩余小数 (0.5)
(0.5 × 2 = 1.0) 取出整数：1，剩余小数 (0.0)，结束
整数依次顺序：1 0 1 → 二进制小数 0.101₂

b.2^K进制间转换

• 对于 2^K 进制数，每位都可转换为 K 位的二进制数
  (如八进制的每个数字都可以用 3 位二进制数表示，0~7，000 ~111 ； 十六进制的每个数字都可以用 4 位二进制数表示，0~F，0000 ~ 1111)

• 二进制数也可以转换为 2^K 进制数，每 K 位组成一组，转换为对应的 2^K 进制的一个数字

• 如果转换的两个数制的基都是 2 的幂次，可以先转换为二进制，然后再进行转换

示例：二进制转8进制

八进制下每一位的数字范围为0~7，刚好可以被三位二进制数覆盖（000 ~ 111）

规则：

• 整数部分：从二进制低位（最右边）开始，向左每 3 位分组；最左侧不足 3 位，高位补 0
• 小数部分：从小数点向右，每 3 位分组；最右侧不足 3 位，低位补 0
  每组 3 位二进制换算成 1 位八进制

二进制 1011.11₂ 转八进制
拆分：整数 1011 → 补0分组 001 011；小数 11 → 补0分组 110
001=1，011=3，110=6
结果：13.6₈

示例：十六进制转8进制

十六进制与八进制都是 2 的幂次进制，先把十六进制转为二进制，再将二进制转为八进制
十六进制 1 位对应 4 位二进制；八进制 1 位对应 3 位二进制

十六进制 2A.4₁₆ 转八进制

1. 十六进制每一位展开成 4 位二进制：
   2₁₆=0010，A₁₆=1010，4₁₆=0100
   2A.4₁₆ = 0010 1010.0100₂
2. 整理二进制，按八进制规则，整数向左每 3 位分组，小数向右每 3 位分组，不足补 0：
   整数部分：001010 → (001 010)
   小数部分：0100 → (010 0)，低位补 0 得到 (010 000)
   完整分组：001 010 . 010 000₂
3. 每组 3 位二进制转 1 位八进制：
   001=1，010=2，010=2，000=0
   结果：12.2₈

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2.原码、反码、补码

2.1 前置知识准备

a.这三个码是什么

整型数据 / 整数的二进制表示方法有三种：原码，反码，补码

（char类型变量中存的实际是字符对应地ASCLL码值，所以也是整型类型）

b. 不同整数三码的区别

b.1 负数与非负数之间

总结下来就是：
非负整数的原、反、补码三码相同，只要得到其中一个码就得到了所有三码；负整数的三码各不相同，需要分别计算转换

b.2 signed和unsigned之间

b.2.1 计算机存储单位说明

在计算机中，最小的存储单位是比特（bit），1个二进制位=1bit
接下来比比特大的单位为字节（Byte），1字节=8bit
再之后的存储单位关系如下：

1KB = 1024Byte
1MB = 1024KB
1GB = 1024MB
1TB = 1024GB

（这里对存储单位进行说明主要是想补充：一个二进制位=1bit 这个前置知识）

b.2.2 signed和unsigned之间三码的区别

signed
1.有符号整数二进制的这三种表示方法下，二进制序列都有符号位和数值位之分
2.最高位的1位 （即所有比特位中最左边那位) 叫做符号位，其余位叫做数值位
3.有符号整数的正负数之分体现在符号位上，而数字的绝对值大小体现在数值位上
4.符号位上为0表示“正”（当然0是不是正数也不是负数），为1表示“负”

（下面以int为例，因为int的大小为4字节，所以其二进制表示下可以分配到32个比特位）

unsigned
二进制序列没有符号位与数值位之分，全是数值位

正是因为符号位和数值位的差别：
同类型的unsigned整数能够表示的最大值为signed整数可表示的最大值的两倍+1
unsigned只可表示非负数，signed可表示负数，0，正数

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2.2 整数与三码间的转换

（因为非负整数三码相同，所以下面的原码->反码->补码只针对负整数而言）

a.整数->原码

直接将整数按照正负数的形式翻译成二进制得到的就是原码

int a = -10;
-15的原码为：（为方便观看，下面把32个比特位以一个字节为单位每8个间隔开）
10000000 00000000 00000000 00001010

b.原码->反码

原码符号位不变（如果有的话），其他位依次按位取反就可以得到反码

(按位取反规则：二进制每一位，0变1，1变0)

int a = -10;
-10的原码为：（为方便观看，下面把32个比特位以一个字节为单位每8个间隔开）
10000000 00000000 00000000 00001010
-10的反码为：
11111111 11111111 11111111 11110101

c.反码->补码

反码+1就得到补码(每一位逢2进1变0，若进位后总位数多出正确位数，则舍去多出的位数)

int a = -10;
-10的原码为：（为方便观看，下面把32个比特位以一个字节为单位每8个间隔开）
10000000 00000000 00000000 00001010
-10的反码为：
11111111 11111111 11111111 11110101
-10的补码为：
11111111 11111111 11111111 11110110

若反码为：
11111111 11111111 11111111 11111111
其转补码+1得1 00000000 00000000 00000000 00000000，比正确的32位多1位，则舍去多出来的那一位1，得补码：
00000000 00000000 00000000 00000000

d.补码->反码->原码

将上诉的三种转换倒过来执行即可

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2.3 整数在内存中的存储与补码运算

a. 先上结论

计算机只认识二进制0和1，而整数实际是以补码的形式存储在内存中的，所以，所有的整数运算，都是用补码进行计算的
原码和反码只是人们用来计算补码的工具，内存中并不存在

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b. 为什么一定要用补码存储整数

这是因为不用补码有两个硬伤：

1.原码和反码表示下，0都有两种表示形式

-0和+0都是同一个数0
但是：
(原码)                                    
-0 -> 10000000 00000000 00000000 00000000    
+0 -> 00000000 00000000 00000000 00000000
 (反码)
-0 -> 11111111 11111111 11111111 11111111    
+0 -> 00000000 00000000 00000000 00000000
 
这两种表现方式下，同一个数 0 都占了两个不同的编码，使得可表示的数少了一个，空间直接浪费了一个
而且还会导致运算逻辑混乱

而补码则能完美解决这个问题：
+0 = -0 -> 00000000 00000000 00000000 00000000

2.若不用补码存储整数，减法运算无法直接用加法实现，硬件成本高

计算机的 CPU 里，天生只有加法器，没有专门的减法器。如果用原码做减法，比如 5 - 3，就需要额外的电路来处理符号位、比较绝对值大小，再做减法，这会让硬件变得非常复杂，成本飙升。

而用补码存储整数进行减法运算，可以自动将减法运算变为加法运算，且结果正确

以 5 - 3 为例
补码下，5 - 3 -> 5的补码 + (-3的补码)

 5的补码：00000000 00000000 00000000 00000101
-3的补码：11111111 11111111 11111111 11111101
 5+(-3)：1 00000000 00000000 00000000 00000010 ->舍去多的一位-> 00000000 00000000 00000000 00000010
 
 00000000 00000000 00000000 00000010 恰好就是2的补码，5-3=2

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c. 补码运算

上面已经说过，所有的整数运算，都是用补码进行计算的

那有哪些整数运算呢？

算数运算
常用的算术运算有 + , - , * , / , %
（因为除+-外其他都涉及一些位运算规则，所以这里先不进行讲解，等到讲操作符时就会将其他的这些运算补齐，并且说明进行补码运算时的 溢出 问题）

将操作符的文章在这里~

(在上面讲用补码存储的第二个原因的例子中已体现+-运算，所以不再赘述)

注意：一些不同类型的整型变量在进行算数运算时，会发生整型提升或算术转换，此时运算的过程就更复杂些，上面举的例子是同类型整型变量间的运算规则，至于整型提升与算术转换的场景，将在后续文章中解释~

（下面这些运算同样会在讲解操作符时补齐）
位运算：~,&,|,^,<<,>>
复合赋值运算:+=,-=,……
比较运算，+-号