20260317模拟赛

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排序

题面：

初始一个排列 \(p=\{1,2,3\}\)，\(0\) 表示 \({\rm swap}(p_1,p_2)\)，\(1\) 表示 \({\rm swap}(p_2,p_3)\)，一个二进制串合法当且仅当依次操作完后 \(p\) 还是 \(\{1,2,3\}\)。给你一个串，将其中 \(?\) 替换为 \(0/1\)，问有多少个合法且恰好包含 \(n\) 个 \(0\)，\(m\) 个 \(1\) 的串。\(n,m\leq 10^6\)。

题解：

考虑如何判断一个串合法，记 \(sta\) 变量初始为 \(0\)，若 \(sta\) 与下一个字符奇偶性相同就加一否则减一，合法当且仅当最后 \(sta\) 模 \(6\) 下为 \(0\)。

考虑先将所有 \(?\) 变为 \(1\) 求出最终的 \(sta\) 值，其中有若干位置如果将 \(1\) 改为 \(0\) 会使得最终的 \(sta\) 加二，另一些则会减二，由于这不影响奇偶性所以互相之间的独立的。

求出有 \(x\) 个位置会加二，\(y\) 个减二，枚举 \(i\leq x\) 个加二变成零，则根据总共有 \(n\) 个零唯一确定有 \(f(i)\) 个减二变成零。答案为 \(\sum_i\big[i\leq x\big]\big[f(i)\leq y\big]\big[sta+2i-2f(i)\equiv 0\big]\binom x i\binom y {f(i)}\)。

旅行

题面：

给你一棵 \(1\) 为根的树，节点 \(i\) 的父亲是 \(p_i\)，父边权是 \(w_i\)，你需要给除根外的每个点赋点权 \(t_i\leq T\)，根的点权固定为 \(0\)，要求 \(t_{p_i}\leq t_i\)。最大化 \(\sum C_{t_i}+\sum w_i(t_i-t_{p_i})\)。对于以每个点为根的子树求这个答案。

\(n\leq 5\times 10^5,T\leq 5\times 10^6\)。

题解：

先考虑 \(rt=1\) 的答案，记 \(A_u=-w_u+\sum_{v\in son_u} w_v\)。则答案为 \(C_0+\sum_{i=2}^n(C_{t_i}-A_i\times t_i)\)。

将所有 \((i,C_i)\) 看做平面的点，则 \(C_{t_i}-A_i\times t_i\) 为以 \(A_i\) 斜率的直线切凸壳，切到的点即为 \(t_i\)，此时的截距即为这个值。

但是如果 \(A_{p_u}<A_u\) 则两个不可能同时取到最优解，此时定有 \(t_u=t_{p_u}\)，所以可以将两个点合并。对于集合 \(S\) 其贡献为 \(|S|C_t-t\sum A_i=|S|\big(C_t-t\times \dfrac{\sum A_i}{|S|}\big)\)，切的斜率为 \(A_i\) 平均值。

自底向上合并，每次取出子树斜率最大的连通块决策是否与当前根合并，可并堆维护所有连通块即可。合并到当前点时取得其子树的答案，注意答案是当前点合并之前的值，因为根的 \(t_i\) 为 \(0\)。

每次改变连通块求他的凸包最优点也是二分 \(O(\log n)\) 的，总复杂度 \(O(n\log n)\)。