20250124模拟赛

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字符串覆盖问题

原题

枚举每一个长度前缀判断是否可行。显然对于一个长度 \(len\) 有做法是，当前已经覆盖了一个前缀，每次找到最后一个可以拓展的位置拓展。

考虑每次向后拓展的长度，如果连续两次长度都小于 \(\frac {len} 2\)，则可以直接拓展第二次且也是可行的。所以如果每次拓展最后一个位置的话，对于长度 \(len\) 只需要拓展 \(O(\frac n {len})\) 次。总共只有 \(O(n\ln n)\) 次拓展。

现在问题是如何找到最后一个可以拓展的位置。预处理 \(x_i\) 表示 \(i\) 开始的后缀与原串的 LCP，\(y_i\) 表示 \(i\) 开始的前缀与反串的 LCS。这两个都可以 exkmp。

对于一个长度 \(i\)，当前覆盖了前缀 \([1,k)\)，覆盖方式有两种：

• 用正串，找到 \(\leq k\) 的第一个 \(x_j\geq i\) 的位置 \(j\)，覆盖到 \(j+i\)。
• 用反串，找到 \(\leq k+i-1\) 的第一个 \(y_j\geq i\) 的位置 \(j\)，覆盖到 \(j+1\)。

对 \(i\) 扫描线，并查集维护前驱。

计算几何问题

考虑对于所有 \((i,j)\)，将 \(i\to j\) 的向量极角排序，这样依次选出一些向量如果相邻两个都首尾相接就是一个凸包。

枚举起点，按上述顺序遍历向量，设 \(f_x\) 表示已经选择的向量末尾到了 \(x\) 点的最大值，每次加入一个三角形。

计算任意三角形内的点权和可以预先处理所有 \((i,j)\) 与原点形成三角形的有向面积容斥计算。

路径覆盖问题

容易有 dp，设 \(f_{x,d}\) 表示 \(x\) 子树内点到 \(x\) 路径上被选择边最多的路径选了 \(d\) 条的最大价值，转移是 \(f_{x,d}+f_{v,p}\to f_{z,max(d,p)}(d+p\leq K)\)。

根深度有关的 dp 可以长剖优化。对于两个长度为 \(A,B(A>B)\) 的 dp 数组，我们要在 \(O(B)\) 的复杂度内把它合并到 \(A\) 上。观察合并条件的限制，发现最前端 \(B\) 个 \(\max\) 卷积，中间一段转移是 \(f_{x,d}+\max_p f_{v,p}\to f_{z,d}\)，最后一段是 \(f_{x,d}+\max_{p\leq K-d} f_{v,p}\to f_{z,d}\)。

第一段第三段合并都是容易 \(O(B)\) 的，所以现在问题是第二段合并还有继承信息时怎么快速加入一条边。发现 \(f_{x,d}\) 对于固定的 \(x\) 关于 \(d\) 是上凸的，所以用 set 维护差分，加入一条边 \(w\) 就是向 set 中加入 \(w\)，如果元素个数大于 \(K\) 就删除最小的，而第二段转移由于维护了差分就直接不用操作，这样就做完了。