20260120模拟赛
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白点黑点
考虑对于一个度数序列能造出那些最大匹配，如果造出的最大匹配最大是 \(r\)，最小是 \(l\)，则 \([l,r]\) 之间的都能取到。
\(r\) 是好求的，即两边度数不为 \(0\) 的点的个数取 \(\min\)。\(l\) 不好求，考虑 Hall 定理，最大匹配为 \(n+\min_{S}(|N(S)|-|S|)\)。由于取值连续且答案取 \(\min\)，所以我们只要考虑了所有的 \(n+|N(S)|-|S|\)，答案就是对的。
设 \(f_{i,j,s,k,t}\) 表示前 \(i\) 个点，\(j\) 个进入 \(S\) 中，\(S\) 中度数为 \(s\)，度数不为 \(0\) 的点有 \(k\) 个，总度数为 \(t\)，的最小值。转移时枚举当前点的度数是多少。
对左右两边分别做上述 DP，记为 \(f,g\)，然后合并。合并时枚举左右度数不为 \(0\) 的点有多少，枚举所有 \(S\) 和 \(N(S)\)，考虑了所有的答案就是对的。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
ll s=0,k=1;
char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0'){
if(c=='-') k=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
s=(s<<3)+(s<<1)+(c^48);
c=getchar();
}
return s*k;
}
const int N=32;
const ll inf=1e18+7;
int n,m;
ll a[N][N],b[N][N];
ll f[N][N][N][N][N],g[N][N][N][N][N],ans[N];
void cmin(ll &x,ll y){x=min(x,y);}
void solve(ll a[N][N],ll f[N][N][N][N][N]){
memset(f,0x3f,sizeof(g));
f[0][0][0][0][0]=0;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=i;j>=0;j--)
for(int s=m;s>=0;s--)
for(int k=i;k>=0;k--)
for(int t=m;t>=s;t--){
ll val=f[i][j][s][k][t];
for(int d=0;d+t<=m;d++){
cmin(f[i+1][j+1][s+d][k+(d>0)][t+d],val+a[i][d]);
cmin(f[i+1][j][s][k+(d>0)][t+d],val+a[i][d]);
}
}
}
int main(){
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
n=read();m=read();
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++) a[i][j]=read();
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++) b[i][j]=read();
solve(a,f); solve(b,g);
// for(int i=1;i<=n;i++)
// for(int j=0;j<=n;j++)
// for(int s=0;s<=m;s++)
// for(int k=0;k<=n;k++)
// for(int t=0;t<=m;t++) cout<<(f[i][j][s][k][t]<inf/2?f[i][j][s][k][t]:-1)<<' ';
for(int i=0;i<=n;i++) ans[i]=inf;
for(int j=0;j<=n;j++)
for(int s=0;s<=m;s++)
for(int k=0;k<=n;k++)
for(int t=s;t<=m;t++){
ll mn=inf;
int L=n+k-j;
for(int R=n;R>=L;R--)
for(int i=R;i<=n;i++){
mn=min({mn,f[n][j][s][R][m]+g[n][k][t][i][m],f[n][j][s][i][m]+g[n][k][t][R][m]});
ans[R]=min(ans[R],mn);
}
}
for(int i=0;i<=n;i++){
// cout<<ans[i]<<' '<<inf/2<<endl;
if(ans[i]>inf/2) printf("no ");
else printf("%lld ",ans[i]);
}
return 0;
}
动物园大会
考虑每条路径的贡献，\(op=1\) 时相当于它父亲每个删去了一个，删去一个点影响的贡献分为这个点与上方所有父亲之间的逆序对，以及对其子树内所有点的逆序对。这两部分都可以三维偏序计算。\(op=1\) 的影响就是其所有父亲影响的前缀和，可以预处理。
\(op=2\) 时先做两边 \(op=1\)，然后考虑加上减重的贡献。还是对于每条路径考虑，如果连个点在这条路径上是同一种值则没有算错。否则设两种值删点之后还剩 \(a,b\) 个，原来贡献是 \((a+1)(b+1)\)，现在是 \(ab\)，我们删去了 \((a+1)+(b+1)\)，多删了一个 \(1\)，所以对于 \(u\to lca\) 和 \(v\to lca\) 上的点及其子树再计算这个 \(1\) 总和是多少，这可以离线询问差分后三维偏序计算。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
int s=0,k=1;
char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0'){
if(c=='-') k=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
s=(s<<3)+(s<<1)+(c^48);
c=getchar();
}
return s*k;
}
const int N=150005;
int cnt,a[N],b[N],siz[N],n,Q,fat[N],dfn[N*4],low[N*4],dep[N];
ll c[N],disw[N],w[N],disp[N],p[N],sum[N],rev[N],ans[N];
struct que{
int op,x,y;ll z;
}qu[N*5];
vector<int>e[N];
vector<pair<int,int> >vec[N];
void add(int x,ll v){
while(x<=n){
c[x]+=v;
x+=x&-x;
}
}
ll query(int x){
ll ans=0;
while(x>0){
ans+=c[x];
x-=x&-x;
}
return ans;
}
void cdq(int l,int r){
if(l==r) return ;
int mid=l+r>>1;
cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);
int i=l,j=mid+1,k=l,x=dfn[i],y=dfn[j];
while(i<=mid&&j<=r){
if(qu[x].x<qu[y].x){
if(qu[x].op==1) add(qu[x].y,qu[x].z);
low[k++]=x;i++;x=dfn[i];
}
else{
if(qu[y].op==2){
int v=qu[y].z;
if(v<0){
v=-v;
rev[v]-=query(n)-query(qu[y].y)-query(qu[y].y-1);
}
else{
rev[v]+=query(n)-query(qu[y].y)-query(qu[y].y-1);
}
}
low[k++]=y;j++;y=dfn[j];
}
}
while(i<=mid){
if(qu[x].op==1) add(qu[x].y,qu[x].z);
low[k++]=x; i++; x=dfn[i];
}
while(j<=r){
if(qu[y].op==2){
int v=qu[y].z;
if(v<0){
v=-v;
rev[v]-=query(n)-query(qu[y].y)-query(qu[y].y-1);
}
else{
rev[v]+=query(n)-query(qu[y].y)-query(qu[y].y-1);
}
}
low[k++]=y; j++; y=dfn[j];
}
for(int i=mid+1;i<=r;i++){
int y=dfn[i];
if(qu[y].op==2){
int v=qu[y].z;
if(v<0){
v=-v;
rev[v]-=query(qu[y].y-1);
}
else{
rev[v]+=query(qu[y].y-1);
}
}
}
for(int i=l;i<=mid;i++) {
int x=dfn[i];
if(qu[x].op==1) add(qu[x].y,-qu[x].z);
}
for(int i=l;i<=r;i++) dfn[i]=low[i];
}
namespace sub1{
void dfz(int x,int fa){
dep[x]=dep[fa]+1;
siz[x]=1;
for(int v:e[x]){
if(v==fa) continue;
fat[v]=x;
dfz(v,x);
siz[x]+=siz[v];
}
}
void dfs(int x,int fa){
if(siz[x]-1) qu[++cnt]={1,a[x],b[x],siz[x]-1};
qu[++cnt]={2,a[x],b[x],x};
ll s=siz[x]-1;
for(int v:e[x]){
if(v==fa) continue;
if(siz[x]-siz[v]-s) qu[++cnt]={1,a[x],b[x],siz[x]-siz[v]-s};
s=siz[x]-siz[v];
dfs(v,x);
}
if(-s) qu[++cnt]={1,a[x],b[x],-s};
}
void dfp(int x,int fa,ll val){
disw[x]=val+w[x]*(siz[x]-1);
for(int v:e[x])
if(v!=fa) dfp(v,x,val+w[x]*(siz[x]-siz[v]));
}
void solve(){
dfz(1,0);
dfs(1,0);
for(int i=1;i<=n;i++) rev[i]=0;
for(int i=1;i<=cnt;i++) dfn[i]=i;
cdq(1,cnt);
for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=rev[i];
dfp(1,0,0);
}
}
namespace sub2{
void dfs(int x,int fa){
if(fa) qu[++cnt]={2,a[fa],b[fa],-x};
ll sum=1;
for(int v:e[x]) if(v!=fa) sum+=1ll*siz[v]*siz[v];
if(1ll*siz[x]*siz[x]-sum) qu[++cnt]={1,a[x],b[x],1ll*siz[x]*siz[x]-sum};
for(int v:e[x]){
if(v==fa) continue;
dfs(v,x);
}
if(fa) qu[++cnt]={2,a[fa],b[fa],x};
}
void dfz(int x,int fa,ll w){
disp[x]=w+sum[x];
for(int v:e[x])
if(v!=fa) dfz(v,x,w+sum[x]-p[v]);
}
void solve(){
cnt=0; dfs(1,0);
for(int i=1;i<=n;i++) rev[i]=0;
for(int i=1;i<=cnt;i++) dfn[i]=i;
cdq(1,cnt);
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=rev[i];
for(int x=1;x<=n;x++)
for(int v:e[x]) if(v!=fat[x]) sum[x]+=p[v];
dfz(1,0,0);
}
}
namespace sub3{
void dfs(int x,int fa){
for(auto o:vec[x])
if(o.first<0){
int i,v;tie(i,v)=o;
qu[++cnt]={2,a[v],b[v],i};
}
if(siz[x]-1) qu[++cnt]={1,a[x],b[x],siz[x]-1};
ll s=siz[x]-1;
for(int v:e[x]){
if(v==fa) continue;
if(siz[x]-siz[v]-s) qu[++cnt]={1,a[x],b[x],siz[x]-siz[v]-s};
s=siz[x]-siz[v];
dfs(v,x);
}
if(-s) qu[++cnt]={1,a[x],b[x],-s};
}
void dfz(int x,int fa){
if(siz[x]-1) qu[++cnt]={1,a[x],b[x],siz[x]-1};
for(auto o:vec[x])
if(o.first>0){
int i,v;tie(i,v)=o;
qu[++cnt]={2,a[v],b[v],i};
}
ll s=siz[x]-1;
for(int v:e[x]){
if(v==fa) continue;
if(siz[x]-siz[v]-s) qu[++cnt]={1,a[x],b[x],siz[x]-siz[v]-s};
s=siz[x]-siz[v];
dfz(v,x);
}
if(-s) qu[++cnt]={1,a[x],b[x],-s};
}
void solve(){
cnt=0; dfs(1,0);
for(int i=1;i<=Q;i++) rev[i]=0;
for(int i=1;i<=cnt;i++) dfn[i]=i;
cdq(1,cnt);
for(int i=1;i<=Q;i++) ans[i]+=rev[i];
cnt=0; dfz(1,0);
for(int i=1;i<=Q;i++) rev[i]=0;
for(int i=1;i<=cnt;i++) dfn[i]=i;
cdq(1,cnt);
for(int i=1;i<=Q;i++) ans[i]+=rev[i]*2;
}
}
namespace LCAF{
int fa[22][N],lgn[N];
int jump(int x,int k){
for(int i=lgn[k];i>=0;i--)
if(k>>i&1) x=fa[i][x];
return x;
}
int LCA(int x,int y){
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
for(int i=lgn[dep[y]];i>=0;i--)
if(dep[fa[i][y]]>=dep[x]) y=fa[i][y];
if(x==y) return x;
for(int i=lgn[dep[x]];i>=0;i--)
if(fa[i][x]!=fa[i][y]){
x=fa[i][x];
y=fa[i][y];
}
return fa[0][x];
}
void init(){
for(int i=2;i<=n;i++) lgn[i]=lgn[i>>1]+1;
for(int i=1;i<=n;i++) fa[0][i]=fat[i];
for(int j=1;j<=lgn[n];j++)
for(int i=1;i<=n;i++) fa[j][i]=fa[j-1][fa[j-1][i]];
}
}
using LCAF::LCA;
using LCAF::jump;
int main(){
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
n=read();Q=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=read();
b[i]=read();
}
for(int i=1;i<n;i++){
int u=read(),v=read();
e[u].push_back(v);
e[v].push_back(u);
}
sub1::solve();
ll rse=0;
for(int i=1;i<=n;i++) rse+=disw[i];
printf("%lld\n",rse);
if(Q==0) return 0;
LCAF::init();
sub2::solve();
for(int i=1;i<=Q;i++){
int op=read();
if(op==1){
int x=read();
ans[i]=rse-2*disw[x]-disp[x];
}
else{
int x=read(),y=read();
int lca=LCA(x,y);
ans[i]=rse-2*disw[x]-disp[x]-2*disw[y]-disp[y];
if(lca==y) swap(x,y);
if(lca==x){
int v=jump(y,dep[y]-dep[lca]-1);
ans[i]+=w[lca];
vec[v].push_back({-i,lca});
vec[y].push_back({i,lca});
}
else{
int u=jump(x,dep[x]-dep[lca]-1);
int v=jump(y,dep[y]-dep[lca]-1);
vec[u].push_back({-i,lca});
vec[v].push_back({-i,lca});
vec[x].push_back({i,lca});
vec[y].push_back({i,lca});
}
}
}
sub3::solve();
for(int i=1;i<=Q;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
###
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