20260111模拟赛

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无终宴

令 \(s_i\) 表示前 \(i\) 个时间点，第一个人总共可以获得 \(s_i\) 的酒。容易发现 \(n(n+1)\) 是一个周期，每个人一段时间获得的酒可以用一个周期中的某一段表示。令 \(\delta=s_{n(n+1)},g=\gcd(\delta,k)\)。

设最终答案为 \(T=x\times n(n+1)+t\)，我们期望找到所有合法 \(t\)，然后算出对应的 \(x\)。

\(t\) 合法要满足 \(\forall i,a_i+s_{(i-1)(n+1)+t}-s_{(i-1)(n+1)}\equiv 0(\bmod g)\)，令 \(b_i=a_i-s_{(i-1)(n+1)}\)，即 \(b_i+s_{(i-1)(n+1)+t}\) 在模 \(g\) 下为 \(0\)，且模 \(k\) 下均相等，然后用 \(\delta\) 调整使得模 \(k\) 也是 \(0\)。

枚举 \(t\)，用 KMP 对 \(b_i\) 和 \(s_{(i-1)(n+1)+t}\) 比较差分以判断在模 \(k\) 下相等，然后特判模 \(g\) 下是否为 \(0\)。此时设模 \(k\) 下等于 \(d\)，则现在要求 \(x\delta\equiv k-d(\bmod k)\)，这可以使用 exgcd，由于系数不变可以预处理。

以旧换新

生成序列有多重方法，容易算重。考虑序列 \(a\) 如何变成一个序列 \(b\)：

• 从前往后每次找到第一个 \(1\leq x<len\) 的位置使得 \(1\leq i\leq x\{a_i\}=\{b_i\}\) 从这里断开。（等价于所有小于 \(x\) 的位置都不能断）
• 直到找不到时考察最大值最小值的位置，如果相同则这一段就都相同了，否则交换位置继续进行上一步。（此时能断开的位置必然在两交换位置之间）

设 \(f_{l,r,s,t}\) 表示区间 \([l,r]\) 情况是 \(s\)，不能被断开的元素集合是 \(t\)。枚举是否交换，再枚举断开位置。
\(s\) 的情况有：最大的和最小的相对位置没变化，最大的变成最小，最小的变成最大
\(t\) 的情况有：全都能断，全都不能断，最大值右边不能断，最小值右边不能断。

• 如果区间不做交换，则可以在 \(t\) 约束下断开。左区间全都不能断，右区间继承 \(t\) 约束；
• 如果区间做交换，则能且只能在两个最值之间断开。左区间全都不能断，右区间在最值右边的位置不能断开。