最小生成树--普利姆(Prim)算法

转自 http://blog.csdn.net/pigli/article/details/5776587

最小生成树

1． 为什么要构造最小生成树？什么是最小生成树？
假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。N个城市之间，最多可以设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢？
在n个城市之间架设n-1条线路，使得这n个城市是连通的，这就是一个构造生成树的过程.在这n(n-1)/2中可能的方案中，选取总的耗费最小那一颗生成树，这就是最小生成树。
2.  如何构造最小生成树？
构造最小生成树的算法有普利姆(Prim)算法和克鲁斯卡(Kruskal)算法。这两个算法都是利用了最小生成树的性质：假设N=(V,{E})是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u属于U,v属于V-U，则必存在一颗包含边(u,v)的最小生成树。
本文将实现普利姆(Prim)算法。那么首先来看看Prim算法实现的基本原理：假设N=(V,{E})是一个连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}(u0 属于V),TE={}开始，重复执行下述操作：在所有的u属于U,v属于V-U中的边(u,v) E中找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则N=(V,{TE})为N的最小生成树。
思路决定出路。上面啰嗦这么多，只是为了从本质上认识最小生成树，以及最小生成树构造的原理。思路理清楚了，实现只不过是个过程而已，不会有迈步过去的砍。下面我们再更详细地描述下Prim算法。功夫不会负有心人的，磨刀也不会无砍柴工，相信我！思路理清楚了，程序写起来很快滴！^0^
为了实现这个算法需附设一个辅助数组closedge，以记录从U到V-U具有最小代价的边。对每个顶点vi V-U,在辅助数组中存在一个相应分量closedge[i-1]，它包括两个域：vex和lowcost。closedge[i-1].lowcost=Min{cost(u,vi)|u U}。vex域存储该边依附在U中的顶点。

具体算法描述：
1． 初始化closedge数组，用起始顶点到其它各结点权值初始化该数组。
2． 找出closegde数组中最小的权值的那个数组元素closedge[k]并将k并入到U中。这个并入的过程用将closegde[k].lowcost修改为0来标记。(V-U中各顶点到U中各顶点的权值最小的那个顶点。)
3． 将结点k到其它结点j(1<=j<=vetexnum)的权值arc[k][j]与数组closedge[j]. lowcost进行比较。若arc[k][j]<closedge[j]. lowcost,则closedge[j].lowcost = arc[k][j]。这样closegde数组中存储的就是V-U中各顶点到U中各顶点的最小值。(U中增加元素了，修改closedge)。
4． 若U==V则退出，最小生成树生成。否则，返回步骤2。

记住：closegde[j].lowcost中存储的是V-U中结点j到U中各结点的最小权值。

下面是算法实现：(思路清白了，程序实现20分钟就搞定^0^)

 

 

package graph;
public class MiniSpanTree_PRIM
{
    private Closedge[] closedge;
    class Closedge{
        String vetex;
        int lowcost;

        public Closedge(String vetex,int lowcost)
        {
            this.vetex = vetex;
            this.lowcost = lowcost;
        }
    }

    public MiniSpanTree_PRIM(Graph_AdjMatrix g,String u)  //输入一个用领接矩阵表示的图和起始顶点
    {
        int k = g.getLocale(u);
        closedge = new Closedge[g.vertex.length];
        for(int i =0;i<g.vertex.length;i++)
        {
            if(i!=k){
                closedge[i] = new Closedge(u,g.adjMatrix[k][i]);
            }
        }
        closedge[k] = new Closedge("",0);
        for(int i =1;i<g.vertex.length;i++)
        {
            k = mininum(closedge);
            System.out.println(closedge[k].vetex+","+g.vertex[k]);
            closedge[k].lowcost = 0;
            for(int j=0;j<g.vertex.length;j++)
            {
                if(g.adjMatrix[k][j]<closedge[j].lowcost)
                {
                    closedge[j].vetex = g.vertex[k];
                    closedge[j].lowcost = g.adjMatrix[k][j];
                }
            }
        }
    }

    private int mininum(Closedge[] array)
    {
        int weight =array[0].lowcost;
        int k=0;
        for(int i=1;i<array.length;i++)
        {
            if(array[i].lowcost==0)
                continue;
            else
            {
                if(weight==0)
                {
                    weight = array[i].lowcost;
                    k =i;
                }
                else
                {
                    if(array[i].lowcost<=weight)
                    {
                        weight = array[i].lowcost;
                        k = i;
                    }
                }
            }
        }
        return k;
    }
}

 

这只是一个表述Prim算法的类。若要是该算法为你构造最小生成树，那还需写一个驱动程序。注意该算法中输入的图是以邻接矩阵的数据结构进行存储的。