一个看似与\(\pi\)毫不相干的求概率问题，却无疑可以用来精确求\(\pi\)值，神不神？
平面上等间距\(a\)画一些平行线，向这些平行线投掷一枚长度为\(l \space (l \lt a)\)的针，我们来求此针与任一根平行线相交的概率。
这是用“几何概率”解题，设\(A\)事件表示事件“此针与任一平行线相交”。设\(M\)为针的中点，\(x\)是\(M\)与最近的平行线的距离，\(\phi\)表示针与此线的夹角，则
\(\Omega = \{ \space (x, \phi) \space | \space \{0 \le x \le {{a} \over {2}}, \space 0 \le \phi \le \pi\} \space \}\)
\(A = \{ \space (x, \phi) \space | \space \{0 \le x \le {{l} \over {2}} sin \phi, \space (x, \phi) \in \Omega \} \space \}\)
解释一下：因为\(x\)是中点\(M\)与最邻近的平行线的距离（垂线距离），所以有\(x = {{l}\over{2}}sin \phi\)，见下图：
于是
\(P(A)={{S(A)}\over{S(\Omega)}}={\int^\pi_0 { {{l}\over{2}} sin\phi d \phi} \over { {a\pi}\over{2}} }={ {2l}\over{\pi a} }\)
这是一个非常有趣的结果：
（1）如果针长\(l\)和线距已知，则以\(\pi\)的值代入，可求得\(P(A)\)的值。
（2）如果通过计数得到\(P(A)\)的值，则可以求得\(\pi\)。投掷的针的数量越大，则\(\pi\)的值越精确。
当投针次数\(n\)很大时，数得与平行线相交的针的数量\(m\)，则\(P(A)={{n}\over{m}}\)
我们有：\(\pi = {{2ln}\over {am}}\)
历史上投针实验的资料如下：
| 实验者 | 年份 | \(l/a\) | 投针次数 | 相交次数 | \(\pi\)的实验值 |
|---|---|---|---|---|---|
| Wolf | 1850 | 0.8 | 5000 | 2532 | 3.1596 |
| Smith | 1855 | 0.6 | 3204 | 1219 | 3.1554 |
| DeMorgan C | 1860 | 1.0 | 600 | 383 | 3.137 |
| Fox | 1884 | 0.75 | 1030 | 489 | 3.1595 |
| Lazzerini | 1901 | 0.83 | 3408 | 1808 | 3.1415929 |
| Reina | 1925 | 0.5419 | 2520 | 859 | 3.1795 |
