线性代数复习笔记

Vector Space

1、线性空间的公理化定义（和域的公理化）。如何验证一个空间是否是线性空间/线性子空间？

2、线性相关，线性无关，线性基，维度。

Linear Transformation

1、线性变换的定义。（如何验证一个变换是线性变换？）

2、N(T),R(T)的定义和重要性质：N(T)+R(T)=n

3、线性变换的基表示（矩阵），从线性变换复合->矩阵乘法。

4、逆

5、相似变换 <-> 不同基底下的线性变换

6、对偶空间

Elementary Matrix Operations and Systems of Linear Equations

1、3种初等行列变换。

2、初等行列变换的性质。

Determinants

1、行列式关于初等行列变换的性质，行列式关于矩阵乘法的性质。

2、代数余子式、矩阵的逆、方程的解（cramer法则）和行列式的关系

3、一些重要矩阵的行列式：范德蒙德矩阵、线性递推矩阵。

Diagonalization

1、特征值，特征根，特征多项式，可对角化性

2、直和空间

3、CH定理和一些重要结论的证明

CH 定理相关

1）若W在T中T-invariant，则 \(det(T_w-Ix)\) splits \(det(T-Ix)\)

2）T-cyclic 空间总是 T-invariant 的。

3）T-cyclic 的行列式：线性递推矩阵。

4）CH定理

同相似相关

同相似定义，同相似结论

Inner Product Space

1、内积的公理化定义，一些重要不等式（柯西不等式，三角不等式）

2、施密特正交化，正交空间（的定义，性质），线性代数基本定理

3、线性变换的 adjoint

4、normal,self-adjoint

关键理解：normal = self-adjoint + 特征根实数

一个关于self-adjoint的讨论

下文 \(A^T\) 均表示共轭转置。

如果 A=A*，那么存在正交单位基 \(\beta\)，竖着拼起来得到 \(Q\)，考虑 \([A]_{\beta} = Q^{T}DQ\)，其中 \(D\) 是实对角矩阵，注意此时 \(A^*=(Q^TDQ)^*=Q^*D^*Q^{T*}\)。

引理：对于任意 \(A^*\)，存在 \(U=U^*\)，\(A*=U^{-1}A^{T}U\)。

于是 \(A^*=(Q^TDQ)^*=Q^*D^*Q^{T*}=U^{-1}Q^{T}DQU=U^{-1}AU\)。于是 \(AU=UA\)，\(A,U\) 交换。

同时 \(A,U\) 都可对角化，则 \(A,U\) 同相似。

Canonical Forms