Vizing-Theorem in Near-Linear Time 阅读笔记

1. 近正则假设（near-regularity assumption）：可以要求图上每一个点的 \(\deg\) 都是 \(O(m)\) 的。
   简证：考虑两个 \(\deg\le \frac{\triangle-1}{2}\) 点，不论中间有没有边，我们直接硬合并。得到解后再分离。如果还有 1 个不满足的，我们忽略即可。
   要点：后续证明需要利用 \(O(m)=O(n\triangle)\) 这一特性。

2. 交替路的思想（我自己提炼的）：把一条颜色交错的路径 \(RBRBR\) 替换为 \(BRBRB\)，这个对中间的点没有影响，而且一定是一个简单路（不简单一个点上颜色会重），这个变换可做的充要条件是这条路径是极长的。

3. （来自前人工作的想法）同样的 RB 交替路显然节点不交，总长度有上界 \(n\)。利用这一核心观察，前人做到了 \(\widetilde{O}(m\sqrt n)\)。其中 \(\sqrt n\) 来自根号分治，\(\triangle^2\) 种路径种类。

4. Vizing-Theorem 基础证明。
   简证：拆分为 Vizing-fans 和 Vizing-chain。Vizing-fans rotate，Vizing-chain flip 即可。

5. 一个经典弱化情况：二分图。
   定理：\(\triangle(G)=\chi(G)\)。最大度数等于最小染色。增量法构造即可，注意：限制只使用 Vizing-chain即可，在二分图上这是可以实现的。 Vizing-fans 需要每个点有 free color 可以 rotate 才行。

6. Euler 分解：容易使用欧拉回路将问题分解为两个 \(\frac{\triangle(G)}{2},\frac{m}{2}\) 级别的子问题。分治求解，利用抽屉原理，我们找到最小的色数，我们只需最后重染这最后 \(O(\frac{m}{\triangle(G)})=O(n)\) 条边。事实上每个节点之只有 \(O(1)\) 个要重染的。不妨认为每一个节点都只有一个要重新染的。

7. \(\triangle^2\) 种路径种类。如果能降低为 \(\triangle\) 种，那么整个问题就可以 \(O(n\triangle)=O(m)\) 了。这也是本论文的核心工作，利用文中定义的一些流行化（popularizing）技术所做的。