更快的完全背包算法

考虑这样一个问题：我们有一个完全背包（每个物品有无限个），有 n 种物品，每个物品有两个属性 w,c，w（w<=n）表示重量，c表示权重，你要求大小恰好为 V 的背包的最大可能权重。

首先考虑这个问题的两个弱化：

https://www.luogu.com.cn/problem/P2371 这个实质上只关心可达性，所以我们背包可以记录在同余类最早什么时候可以到。

https://loj.ac/p/6872 这个由于保证了背包足够大，所以我们不关心最早什么时候到，只关心相对最大权值。

对于我们的问题，如果背包足够大就是 loj6872，但是不够大（V<=n^2）的情况下我们需要新的算法，下面我将循序渐进地提出一个 O(n^2\log n) 的算法去解决这个问题。

朴素算法是，考虑 dp[i] 表示大小为 i 的答案，我们直接暴力 O(n) 转移这 O(n^2) 个状态，复杂度 O(n^3)。

考虑做一个这样的改良：我们对于前 n 个状态花 O(n) 的代价转移所有物品，后面的第 \(i\) 个状态只转移前 O(n^2/i) 个性价比最高的物品。这样复杂度就是 \(O(n^2log n)\) 了。
（我们不妨假定物品性价比两两不同，相同的可以人为钦定一个顺序）

为了证明这个算法的正确性，我们首先需要证明定理：

在 {1,2,..,n} 中任取 B 个数字，都存在一个首项为 S，公差为 k 的等差序列 p_i = S+ik(i>=0)，
满足任意一个 p_i 可以用这 B 个数字的非负线性组合表示出来，且 S<=O(n^2/B),k<=O(n/B),S mod k = 0 (定理 1)

用两个例子感性理解 定理1：
）对于 k 的上界，我们可以通过 n/B,2n/B ... n 这个子集卡到。
）对于 S 的上界，我们可以通过 n,n-1,...n-B+1 这个子集卡到（B远小于n）

等会再说怎么证明，我们考虑如何用这个定理证明这个算法的正确性。

因为考虑任何一个dp方案的物品，我们对它们按照性价比升序排序。

考察一个方案前缀的性质：我们记这个前缀的重量和为 W，性价比最高的元素的性价比是第 B 大，那么我们由这个方案的最优性，这个前缀的任何一个子集都一定不能被性价比前 B-1 大的元素的重量非负线性组合出来，否则我们就找到了一个更优的方案。

我们利用定理 1，找出一个等差数列 S+ik，我们尝试说明 W<=S+nk=O(n^2/B)，这样就证明了这个方案可以被我们设计的这个算法 dp 出来。

这个前缀集合中重量 mod k = 0 的元素的重量和一定 <S(否则就不合法)，我们让这部分物品必选，然后随意的选择一些物品，直到手上的重量 >=S，剩下的物品重量都 mod k != 0，所以数量一定也小于 k，因为我们考察在 mod k 下后面这些物品的 01 背包，k 个物品就一定可以得到所有同余类，然后就存在一个子集和在这个等差数列中，非法。

我们现在来着手证明定理 1，由于有 B 个元素，我们选出一对 (x,y)（x>=y） 使得 x-y<=n/B，于是 g=gcd(x,y)<=n/B，于是我们在 mod x 下考察。我们建立一个 x 个点的图表示 mod x 下的同余类，然后把 a->(a+y)%x 的边都连出来，这个图一定形成了 g 个环。

我们对元素和环进行抽屉原理，一定存在一个环上有超过 B/g 个元素，而这个环的大小是 n/g。

引理：一个 sum >= 0 的序列，