浅谈OI中的积分

0、随机实变量的性质
连续性，对称性。

利用对称性，我们可以化简很多形式。
对于 \(x\in [0,a],x\ge y\) 可以化简成 \(x+y\le a\)

利用对称性，我们可以构造很多巧妙的双射。

1、连续问题离散化技巧

[0,n) 的随机实变量可以用一个 [0,n) 的整数+一个
这种做法有时可以出奇制胜，不容易想到，所以要固定成思维中的固有逻辑，走投无路了就去试一试。

例题

1. https://www.cnblogs.com/s-r-f/p/14791820.html
   整数小数拆分，整数部分dp，小数部分可以用排列的方式做插入dp。

2. sd省集:给5e4个[0,2^a_i]的实变量可以构成多边形的概率是多少，(0\le a_i\le 50)
   整数小数拆分，变为经典的欧拉问题+数位dp。

3. 对于n个 [0,1] 实变量的和，我们可以讲整数部分尝试离散成排列p中 \([p_i>p_{i+1}]\) 的和。

4. 我们有时可以直接对积分的式子做处理，由于积分式子的指数是离散的，又是可以分部积分递推。

2、离散问题连续化

通常是把排列映射成n个 [0,1] 实变量

例题

1. https://www.luogu.com.cn/problem/CF1060F
   对父亲等于 x 的概率密度函数 dp，属于套路。

2. https://loj.ac/p/2834
   欧拉数，不过多展开，比较巧妙。