案例 159 一年存 6 万：先把这道题判成不可行

案例 159　一年存 6 万：先把这道题判成不可行

摘要：小哥想在一年里存 6 万元——寄回老家 4.8 万、留 1.2 万应急。把 12 个月的现金流写成目标规划：单量 \(n_m\) 决定跑单净收入 \(5.6n_m\)，月支出 2449 元、寄回 4000 元共 6449 元刚性，月储蓄 \(s_m\) 与目标之间的差用偏差 \(u^+,u^-\) 吸收。求解结果是一次"判死"：即便把单量顶到能力上限 32.6 单/天、每月 847.6 单，月储蓄仍是 -1,702 元，缺口 \(u^+\) 高达 80,429 元/年（6,702 元/月），总偏差等于缺口的 12 倍加年缺口。要真存到 6 万，需日均 78.6 单（2,044 单/月），是能力上限的 2.41 倍，换算每天要在线 25.3 小时。三条补救路径逐一量化：提单价 1 元/单降偏差 10,171 元，压支出 1 元/月只降 12 元，延长在线 1 小时降 5,425 元；三种手段全用上也补不平。结论：6 万不是"努力不够"，是单价与单量的乘积极限根本够不到——先修单价，再谈储蓄。

关键词：目标规划；偏差变量；多期现金流；不可行诊断；能力上限

1　问题提出

1.1　问题是什么

目标很清楚：一年存 6 万 = 寄回老家 4.8 万（每月 4000 元，刚性）+ 应急 1.2 万。收入侧只有一个杠杆——跑单，单均净收入 5.6 元；支出侧是五个固定项加一笔寄回。

表 1　一个月的现金流（能力上限口径）

项目	金额 / 元	说明
跑单净收入	4,746.6	\(5.6\times847.6\) 单
房租	850	城中村单间
餐饮	900	30 元/天
换电 / 通讯 / 杂项	699	包月 + 套餐 + 修车日用
寄回老家	4,000	4.8 万/年
月储蓄	-1,702	收入减全部支出

表 2　题面三处口径对不上，必须先摊开

题面说法	换算	复核结论
月收入 9000 元	\(9000/5.6=1,607\) 单/月 = 61.8 单/天	超能力上限 1.9 倍，是流水口径
\(5.6\times845-6449\)	实算 -1,717 元	题面写 \(-716\)：\(5.6\times845=4732\)，需 5733 才有 \(-716\)
日均 55 单	\(55\times26=1430\) 单/月	超上限 1.69 倍；实为"只存 1.2 万"口径

三个数放在一起就露出真相：845 单是一个月的量（≈上限），55 单是一天的量（≈1.4 倍上限），9000 元是流水而不是净收入。 混用三者会得出互相矛盾的结论——题面"日 55 单"与"845 单"正是这么撞上的。

1.2　为什么这值得建模

其一，这是典型的"目标不可行"问题，而不是"最优解"问题。 线性规划在这里只会给出一个边界解，真正有价值的是 \(u^+\) 的大小——它把"差多少"从一个感觉变成一个数。

其二，储蓄是 12 个月的累积量。 单月少花 300 元像是杯水车薪，乘 12 才看得出值 3600 元；多期结构不写进模型，任何"这个月省一点"的建议都无法比较。

其三，补救手段的效率差三个数量级。 单价、支出、在线时长、目标，四个旋钮的"每 1 元代价换多少偏差"完全不同。不算清这个，讨论就会停在"要努力"上。

1.3　Gurobi 如何求解

模型是一个 12 期的线性目标规划：12 个单量、12 个储蓄、24 个月度偏差、2 个年度偏差，共 50 个变量、36 条约束。Gurobi 走的是纯 LP 路径——presolve 先把 \(s_m\) 代换掉，问题退化成"单量取上限"，根节点即闭合，单次求解 <0.02 s。全案共求解 17 次（主解 + 4 个补救方案 + 12 个目标/能力组合），总耗时不足 3 s。真正的工作量不在求解，而在口径复核：把日单量、月单量、流水、净收入四件事拆开。

2　数学模型

2.1　符号说明

符号	含义	取值
\(n_m\)	第 \(m\) 月单量（决策）	\([0,847.6]\) 单/月
\(s_m\)	第 \(m\) 月储蓄（决策）	元，可为负
\(p\)	单均净收入	5.6 元/单
\(c\)	非寄回月支出	2449 元
\(r\)	每月寄回	4000 元
\(T\)	年储蓄目标	60000 元
\(u^+,u^-\)	年目标的缺口 / 盈余	元
\(v_m^+,v_m^-\)	月目标的缺口 / 盈余	元

2.2　目标函数

\[\min Z=\sum_m (v_m^+ + v_m^-) + u^+ + u^- \tag{1} \]

目标规划不最大化钱，而是最小化"没达到目标的程度"。月度偏差与年度偏差同时进入目标，权重都取 1。由于 12 个月的月目标之和恰好等于年目标，两套偏差在最优解处同步收缩，不会互相拉扯；月度项的作用是给出"每月差多少"的诊断量。

2.3　约束条件

每月现金流是一条恒等式——跑单净收入减掉支出，剩下的才是储蓄：

\[s_m = p\,n_m - c - r,\qquad m=1,\dots,12 \tag{2} \]

代入本案 \(p=5.6\)、\(c=2449\)、\(r=4000\)：\(s_m = 5.6n_m - 6449\)。这一条就是全部悲剧的来源——斜率为 5.6，截距为 \(-6449\)，要想 \(s_m>0\)，单量必须超过 \(6449/5.6=1,152\) 单/月。

月度目标与年度目标分别用偏差变量吸收：

\[s_m + v_m^+ - v_m^- = T/12 = 5000 \tag{3} \]

\[\sum_m s_m + u^+ - u^- = T = 60000 \tag{4} \]

能力约束把"努力"封顶，\(s_m\) 不受符号限制：

\[0\le n_m\le \bar n = 32.6\times26 = 847.6,\qquad s_m\ \text{自由} \tag{5} \]

\(s_m\) 必须允许取负——这正是本案与普通储蓄模型的区别。若强行加 \(s_m\ge0\)，模型立刻不可行，连"差多少"都问不出来。

2.4　规模与性质

50 个连续变量、36 条等式/不等式，无整数变量。结构上它是一个"单变量线性系统"：所有 \(n_m\) 同斜率、同上限，故最优解必然把每个 \(n_m\) 顶到 \(\bar n\)（因为 \(u^+\) 的系数为负梯度方向）。于是答案可以手算：\(s^{*}=5.6\times847.6-6449=-1,702\)，\(u^{+}=60000-12\times(-1,702)=80,429\)。Gurobi 的价值不在找这个解，而在于当参数变成向量（单价分档、支出分项、能力分月）时，仍能一次给出全部偏差，并为后面的灵敏度扫描提供统一口径。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

n = m.addVars(H, lb=0, ub=CAPM)                     # 月单量上限 32.6 x 26
s = m.addVars(H, lb=-GRB.INFINITY)                  # 储蓄可为负
vp, vm, up, um = m.addVars(H, lb=0), m.addVars(H, lb=0), m.addVar(lb=0), m.addVar(lb=0)
for k in range(H):
    m.addConstr(s[k] == P * n[k] - NONREM - REMIT)  # 现金流
    m.addConstr(s[k] + vp[k] - vm[k] == TGY / H)    # 月目标 5000
m.addConstr(gp.quicksum(s[k] for k in range(H)) + up - um == TGY)
m.setObjective(gp.quicksum(vp[k] + vm[k] for k in range(H)) + up + um, GRB.MINIMIZE)

两个细节。第一，\(s_m\) 的下界必须放开到 \(-\infty\)。写成 lb=0 会直接让模型 INFEASIBLE，Gurobi 只会回一句"无可行解"，而看不出缺口有多大——本案要的恰恰是那个缺口。第二，偏差变量的符号方向不能反：\(s_m + v^+ - v^- = T/12\) 里 \(v^+\) 是"没达到"，若写成 \(v^-\)，模型会奖励"少存钱"，最优解退化成 \(n_m=0\)。这两处是目标规划最常见的两个坑。

3.2　求解结果

表 3　GP 主解与口径复核

指标	数值	算式
月储蓄	-1,702 元	\(5.6\times847.6-6449\)
年储蓄	-20,429 元	\(\times12\)
年缺口 \(u^+\)	80,429 元	\(60000-12\times(-1,702)\)；月缺口 \(v^+=6,702\)
盈余 \(u^-\)	0 元	缺口为正时恒为 0（总偏差 160,859）
存 6 万所需	2,044 单/月 = 78.6 单/天	超上限 2.41 倍，需 25.3 h/天

4　结果分析

4.1　结构：一个月的钱怎么流走

图 1　月度收支瀑布：跑单净收入 4,747 元如何被 6449 元支出吃穿

图 1 把一个月拆成八段。第一段收入 4,747 元，接着五段生活支出共 2449 元，再一段寄回 4000 元，走到最后不是剩下的钱，而是 **-1,702 元**——横条越过零点，落到负半轴。**这张图是全案的地基：储蓄为负不是"存得少"，是每个月都在借 1700 元过日子。** 五段生活支出加起来只占 38%，真正的重量是那笔 4000 元的寄回。

4.2　散点：一条永远碰不到目标线的直线

图 2　日单量—月储蓄关系（气泡=每日在线小时，红区为负储蓄）

图 2 是一条斜率 145.6 元/(单/天) 的直线。它穿过零点的位置在 **44.3 单/天**——已经比能力上限 32.6 高出 36%；要碰到 5000 元的月目标线，得走到 **78.6 单/天**，气泡代表的在线时长已经涨到 25.3 小时。**两个标记点之间没有可行解：上限以内全是负数，正数全在上限以外。** 这就是"不可行"三个字在图上最直白的样子。

4.3　方案对比：四个旋钮，最大的一转也不够

图 3　五条路径的年缺口对比（柱内为相对现状的改善额）

图 3 是五个方案的缺口。现状 80,429 元；压支出 300 元/月降 3,600 元，延长在线 1 小时降 5,425 元，单价加 1 元降 10,171 元，目标降到 3 万降 30,000 元。**降目标是唯一"一定成功"的旋钮，却也是最没用的**——它不产生一分钱，只是把缺口改名。真正有杠杆的是单价：每提 1 元/单，一年少 10,171 元偏差，是压支出的 848 倍。

4.4　时序：12 个月只会越来越远

图 4　12 个月累计储蓄：现状、双管齐下、目标路径

图 4 三条线。绿线是目标路径，12 个月匀速爬到 6 万；红线是现状，每月往下掉 1,702 元，年末累计 **-20,429 元**；橙线是"压支出 300 + 延在线 1 小时"双管齐下，仍只有 -11,405 元。**两条实线都是向下的，说明时间不是朋友而是债主——每过一个月，缺口多 1700 元。**

4.5　主灵敏度：单价才是斜率

图 5　日单量与单价对月储蓄的联合影响（右轴为达标所需单价）

图 5 三组曲线，斜率随单价从 5.6 涨到 10.6 而翻倍，但截距一直钉在 $-6449$。右轴那条下坡线是"在给定单量下达到月存 5000 所需单价"：单量 32.6 时要 13.51 元/单，单量 40 时要 11.01 元/单。**当前单价 5.6 元落在最下方那条线上，位置比"收支平衡"所需的 7.61 元还低 26%——连不亏都做不到。**

4.6　二维分区：可行域是一条窄缝

图 6　月单量 × 支出压缩的年储蓄分区（虚线 0 元，实线 6 万）

图 6 的填色是年储蓄。黑色虚线是收支平衡线，蓝色实线是 6 万线，两者几乎平行、相距极远：平衡线落在 1150 单附近（1050 与 1250 两列之间），6 万线要到 2045 单。纵轴把支出压到极限 600 元/月，6 万线也只左移到约 1935 单——压 600 元/月全年多 7200 元，只够把 6 万线左移 107 单。**方向对，量级太小。**

4.7　第三维：目标越高，缺口按 1:1 涨

图 7　储蓄目标与单量能力对年缺口的联合影响（右轴为所需日单量）

图 7 五个目标、两种能力。能力 847.6 单时缺口从 20,429 元（目标 0）一路涨到 110,429 元（目标 9 万），斜率恰好 1——**因为储蓄在能力处已经是负数，目标每加 1 元，缺口就加 1 元**。把能力提到 1200 单/月，缺口整体下移 23,681 元，但 6 万处仍是 56,748 元。右轴提醒得更直接：目标 6 万要 78.6 单/天，9 万要 95.8 单/天，两条都远在 32.6 的虚线之上。

4.8　帕累托前沿：可行域到 848 单就断了

图 8　储蓄目标—所需单量前沿与不可行阴影

图 8 是本题的"能力边界线"。前沿是 $n^{*}(T)=(T/12+6449)/5.6$，一条斜率 0.0149 单/元的直线；水平虚线是 847.6 单的能力上限。**前沿与上限的交点落在 $T=-20,429$ 元——也就是说，能力范围内能实现的最高年储蓄是负两万，不是六万。** 交点右侧全部画成阴影，那里没有解，只有缺口。

4.9　分布与边际：波动救不了系统性的负

图 9　日单量随机波动下的年储蓄分布与累计概率

图 9 让日单量围绕 32.6 波动（变异系数 15%，20000 次抽样）。年储蓄的均值 -20,449 元，标准差约 8,583 元，分布整体压在零线左侧：**达到收支平衡的概率只有 1.79%，达到 6 万的概率是 0.000%**。运气好的月份能少亏一点，但没有一条路径能翻正——这不是方差问题，是均值问题。

图 10　每单口径的收入与支出分解（7.61 元成本 vs 5.60 元收入）

图 10 把月账摊到每一单：房租 1.00 元、餐饮 1.06 元、换电 0.23 元、通讯 0.12 元、杂项 0.47 元、寄回 4.72 元，合计 **7.61 元/单**，而每单只赚 5.60 元。**每跑一单净亏 2.01 元，跑得越多亏得越多——除非单价先修好。** 这张图解释了为什么"多跑单"在本案里是负效率：它放大的是亏损，不是储蓄。

5　结论

第一，6 万这个目标在给定参数下不可行，缺口 80,429 元/年。 能力上限处月储蓄 -1,702 元，年储蓄 -20,429 元；\(u^+=80,429\) 元就是全部答案，\(u^-\) 恒为 0。

第二，题面的"日均 55 单"与"845 单"是两个口径。 845 是月单量（≈上限 847.6），55 是日单量（×26=1430 单/月，超上限 1.69 倍）；55 单/天其实对应"只存 1.2 万应急"的口径（需 51.2 单/天）。

第三，存 6 万需日均 78.6 单、每天在线 25.3 小时。 这是能力上限的 2.41 倍，无论怎么排班都排不出来；题面的 18.7 小时隐含单均 14.3 分钟（4.2 单/时），比本案的 3.1 单/时快 35%，按那个口径也要 18.7 h。

第四，四个旋钮的效率差三个数量级。 单价每 1 元降偏差 10,171 元，延长在线每小时降 5,425 元，压支出每元/月只降 12 元，降目标 1 元降 1 元。压支出 300 + 延 1 小时 + 目标降到 3 万，三条一起上也只补 39,025 元，仍有 41,405 元缺口。

第五，先修单价，再谈储蓄。 收支平衡需单价 7.61 元/单（+36%），存 3 万需 10.56 元/单（+89%），存 6 万需 13.51 元/单（+141%）。在单价不动的前提下，任何"再努力一点"的方案都只是在 -1,702 元这个负数附近打转。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
[3] Romero C. Handbook of Critical Issues in Goal Programming[M]. Oxford: Pergamon Press, 1991.