案例 157 夜里看不见：1.67 元的灯，5.6 元与 18.1 元的账

案例 157　夜里看不见：1.67 元的灯，5.6 元与 18.1 元的账

摘要：夜宵班 22:00—01:00，无路灯路段事故率翻倍。加装尾灯与反光条 60 元、寿命 36 个月，摊到每月 1.67 元；题面给的期望风险增量是 5.6 元/月。按题面口径，装是划算的：净省 3.93 元/月、一年 47 元、回报 3.36 倍。但本案例的价值在第二层：这 5.6 元只算了车辆小碰擦，没算人。补上"被追尾致伤"（年概率 0.5%、单次 3 万元，折 12.5 元/月）后，风险变成 18.1 元/月，回报升到 10.86 倍，回本期从 10.7 个月缩到 3.3 个月。第三层是"看不见"的双向性：反光只让别人看见你，并不让你看见路面；把尾灯 25 元、反光条 20 元、头灯 80 元做成预算 120 元的 0-1 组合选择，最优解是尾灯+头灯（120 元，恰好顶格），三件全上要 140 元、装不下。安全装备的回报不在 3 倍，通常在 3—11 倍之间；倍数高低几乎完全由"损失怎么算"决定。

关键词：0-1 背包；安全装备 ROI；损失口径；期望值与尾部；双向可见性

1　问题提出

1.1　问题是什么

外卖小哥跑夜宵班，22:00 到 01:00，三个小时里路灯时有时无。无路灯路段的事故率是有路灯路段的 2 倍，占全程的 25%。加装尾灯与反光条一共 60 元，能用 36 个月。题面给的算账方式只有一行：

表 1　题面账目核对（元/月）

项目	算式	结果	口径
装备月摊	\(60/36\)	1.67	3 年直线摊销，不计残值
风险增量	题面给定	5.6	只含车辆小碰擦
净省	\(5.6-1.67\)	3.93	每月净收益
年净省	\(3.93\times12\)	47.2	摊到一年
投资回报	\(5.6/1.67\)	3.36	每 1 元换回的风险削减

算术没有问题：\(60/36=1.6667\)，\(5.6-1.6667=3.9333\)，乘 12 得 47.20 元，比值 3.36。问题不在算术，在 5.6 这个数只写了一半。

1.2　为什么要优化

其一，5.6 元/月是"财产损失"口径，把最贵的那一项漏掉了。 夜里无路灯路段最典型的不是刮花车门，是被后车追尾——骑手没有尾灯、没有反光，后车在 40 m 外根本看不见。这一项的期望值把人命折成钱之后，是小碰擦的两倍多。

其二，"看不见"是双向的，题面只算了一个方向。 反光条与尾灯解决的是"别人看见你"；骑手自己看不见路面（坑洼、井盖、碎石、临时围挡）导致的自摔，一件也解决不了。这两件事的物理机理不同、装备不同、失效方式也不同，必须分开建模。

其三，预算是一个组合问题，不是"买不买"。 尾灯 25 元、反光条 20 元、头灯 80 元，加 15 元工时，预算 120 元。三件全上 140 元，超 20 元——买哪几件、放弃哪一件，是要算的。

1.3　Gurobi 如何求解

四个模型，全部毫秒级：M1 题面单决策（1 个 0-1 变量，5.6 元口径）；M2 换成含人身的 18.1 元口径，看结论会不会翻转；M3 三件装备的 0-1 组合选择（8 个候选组合 + 预算约束）；M4 对无路灯占比、事故损失、装备寿命、预算做参数扫描。全部 15 次求解在 2 s 内跑完。

2　数学模型

2.1　符号说明

符号	含义	取值
\(z\)	是否加装反光装备	\(\{0,1\}\)
\(c,\ T\)	套装价格、寿命（月）	60 元、36 月
\(r_1\)	小碰擦期望成本（题面）	5.6 元/月
\(r_2\)	自摔期望成本（看不见路面）	8.0 元/月
\(r_3\)	被追尾致伤期望成本	12.5 元/月
\(\pi,\ L\)	年致伤概率、单次损失	0.5%、3 万元
\(\sigma\)	无路灯路段占比	25%
\(y_i\)	是否购买第 \(i\) 件装备	\(\{0,1\}\)
\(p_i\)	第 \(i\) 件单价	25/20/80 元
\(e_{ik}\)	第 \(i\) 件对第 \(k\) 通道的覆盖率	见 4.10 与图 10
\(B\)	装备预算	120 元

2.2　目标函数

题面模型只有一项成本、一项风险：

\[\min\ Z=\frac{c}{T}z+r_1(1-z) \tag{1} \]

代入 \(c=60\)、\(T=36\)、\(r_1=5.6\)，得 \(Z(1)=1.67\)、\(Z(0)=5.6\)，差值 3.93 元/月。二阶结论立刻可见：只要 \(r_1>c/T\)，即风险超过 1.67 元/月，\(z^{*}=1\)；临界风险只有 1.67 元，而本案是它的 3.36 倍。

把致伤尾部并进来，风险项变成两项之和：

\[r_1+r_3=r_1+\frac{12\pi L}{12}=\frac{\pi L}{12},\qquad r_3=\frac{0.005\times30000}{12}=12.50 \tag{2} \]

于是 \(Z'(0)=18.1\)、回报 \(\mathrm{ROI}=(r_1+r_3)T/c=10.86\)。同一件 60 元的装备，换个损失口径，回报从 3.36 跳到 10.86——这就是本案例真正的结论。 注意式 (2) 里 \(\pi L/12\) 与"每月出一次事的概率"无关：它是把"每年 0.5% 概率赔 3 万"这个两点分布压成一个平均数，均值 12.5 元，而单次冲击是它的 2400 倍。

2.3　约束条件

组合选择的预算是硬约束，工时只在"至少买一件"时收一次：

\[\sum_{i\in I}p_{i}y_{i}+15\,u\le B,\qquad y_{i}\le u,\quad \forall i \tag{3} \]

三个通道的残余风险按独立失效叠加，装备覆盖率取 \(1-\prod_{i}(1-e_{ik})\)：

\[R_{k}^{\text{res}}=r_{k}\prod_{i\in I}(1-e_{ik})^{y_{i}},\qquad e_{ik}\in[0,1] \tag{4} \]

式 (4) 的乘法结构是本题的关键：两件装备在同一通道上互相冗余——反光条已经覆盖 85% 的"被看见"，再加尾灯只补剩下的 14%。这就是为什么"单件回报 12.4 倍"不能线性外推到"两件 24.8 倍"。

2.4　规模与性质

M1、M2 各 1 个 0-1 变量、1 条预算约束，根节点闭合；M3 是 3 件装备的 0-1 背包，8 个候选组合、1 条预算约束，等价于 8 项枚举，Gurobi 同样在根节点给出最优；M4 的参数扫描共 15 次独立求解。模型虽小，但式 (4) 的非线性覆盖率使"逐件加总"失效，必须靠组合枚举或辅助 0-1 变量才能精确求解。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

z = m.addVar(vtype=GRB.BINARY, name="z")            # 装 / 不装
m.addConstr(cost * z <= budget, name="bud")         # 预算约束
m.setObjective(cost * z + risk * (1 - z), GRB.MINIMIZE)

# 组合选择：8 个候选组合上选一个，Gurobi 只在可行组合里挑
lam = m.addVars(8, vtype=GRB.BINARY)
m.addConstr(gp.quicksum(lam[s] for s in range(8)) == 1)
m.addConstr(gp.quicksum(COST[s] * lam[s] for s in range(8)) <= budget)
m.setObjective(gp.quicksum((COST[s] / LIFE + risk_total - RED[s]) * lam[s]
                           for s in range(8)), GRB.MINIMIZE)

一个实现细节：\((1-z)\) 与 \(z\) 的系数一个正一个负，模型的目标只是在两个端点里挑小的，任何求解器都会在预处理阶段把它化成"比较两个常数"。这不是缺点——它的价值恰恰在于把"直觉"和"算账"放在同一个框架里，再把 \(r_1\) 换成 \(r_1+r_3\) 重跑一次，让结论的翻转自己显形。

3.2　求解结果

表 2　三种损失口径下的最优解与回报

口径	风险 / (元/月)	装备	月成本	净省	回报倍数	回本期
A 只算小碰擦（题面）	5.6	60 元套装	1.67	3.93	3.36	10.7 月
B 加被追尾致伤	18.1	60 元套装	1.67	16.43	10.86	3.3 月
C 再加看不见路面	26.1	尾灯+头灯 120 元	3.33	17.72	6.31	5.7 月

口径 A、B 沿用题面"装上就全效"的假设，口径 C 改用分项覆盖率（实测 81%），所以它的成本基准也换成了 120 元的最优组合——三个数不能直接横比倍数，要看"净省"那一列。

4　结果分析

4.1　结构：风险是装备成本的 8 倍

图 1　三类风险成本与三件装备的月摊成本

图 1 把两条账放在同一根横轴上。红色的三根是"不装"的月成本：小碰擦 5.6、自摔 8.0、致伤尾部 12.5，合计 26.1 元；蓝色的是装备摊薄：尾灯 0.69、反光条 0.56、头灯 2.22、工时 0.42，三件全上 3.89 元。**最便宜的一件装备（反光条 0.56 元/月）与最贵的一项风险（致伤 12.5 元/月）相差 22 倍**——这个量级差就是"安全装备 ROI 被低估"的全部来源。 ### 4.2　散点：风险随占比线性，装备成本是一条水平线

图 2　无路灯占比与风险成本（气泡=回报倍数），横线为装备月成本

图 2 三条曲线对应三种损失口径，全部过原点、斜率正比于占比：占比翻倍，风险翻倍。装备成本线 1.67 元是水平的一条——**与占比无关**。两者的交点就是临界占比：3 万元口径下约 2.3%，10 万元口径下只 0.9%。本案 25%，落在 1.67 元线的 10.9 倍高处，气泡面积也是三档里最大的。 ### 4.3　方案对比：尾灯+头灯 顶格 120 元

图 3　六种方案的每月总成本（装备摊薄 + 残余风险）

图 3 每根柱子都是"月摊 + 残余风险"。单装尾灯 13.42 元、单装反光条 17.94 元、单装头灯 19.85 元——**头灯单装最差，因为它解决的自摔通道最便宜，而它自己最贵**。60 元套装降到 12.19 元，尾灯+头灯再降到 8.38 元。三件全装能把总成本压到 7.35 元，但 140 元超预算 20 元，图 3 里没有它的位置：**预算不是"能花多少"，是"必须放弃哪一件"。** ### 4.4　累计：第 4 个月回本

图 4　36 个月累计支出与回本点

图 4 三条线：不装每月赔 18.1 元，36 个月累计 652 元；60 元套装每月 1.67 元，累计 60 元；最优组合每月 3.33 元，累计 120 元。**两条装备线在第 4 个月与红线交叉**（60/18.1=3.3 月），之后全是净赚。阴影面积 592 元就是三年省下的钱，相当于 60 元本金的 9.9 倍。按题面 5.6 元口径，回本期是 10.7 个月，仍不到寿命的三分之一。 ### 4.5　主灵敏度：占比每翻一倍，回报翻一倍

图 5　无路灯占比对风险成本与回报倍数的影响

图 5 的横轴是无路灯占比，左轴是对数刻度的风险成本，三条线对应 1/3/10 万元口径，右轴是 3 万元口径下的回报阶梯。**回报对占比是线性的**：5% 时 2.2 倍，25% 时 10.86 倍，50% 时 21.7 倍。曲线与 1.67 元成本线的交点出现在 2.3%——**只要路线里有一成路段没灯、且损失按 3 万元算，这笔投资就已经回本。** 反过来，若占比低到 2.3% 以下且只算小碰擦，装不装确实无所谓，而这正是很多人"觉得没必要"的真实原因。 ### 4.6　二维分区：最悲观的格点也有 2.3 倍

图 6　无路灯占比 × 事故损失的回报倍数分区

图 6 是 5×3 的回报分区。左上角（占比 10%、损失 1 万元）最冷：2.3 倍；右下角（50%、10 万元）最热：56.7 倍，跨度 24 倍。**整张图没有一个格子低于 1.5 倍，最低也有 2.3 倍。** 也就是说，"要不要装"这一层根本不需要讨论；真正需要讨论的是"按哪个口径算"——同一件装备在格子里能读出 2.3 到 56.7 倍、跨度 24 倍的差别。蓝框是本案（25%、3 万元、10.9 倍），落在图的中间偏上。 ### 4.7　第三维：寿命越短，口径的差别越致命

图 7　装备寿命对回报倍数的影响（三条口径）

图 7 把寿命从 12 个月拉到 60 个月。三条线都过 $\mathrm{ROI}=1$ 的回本点，但位置差得远：只算小碰擦时回本期 10.7 个月，含人身时只 3.3 个月。**寿命 36 个月是题面假设；若买到的是 12 个月就坏的劣质品，口径 A 的回报掉到 1.12 倍——这时"装不装"真的成了一个需要犹豫的问题。** 而口径 B 在同样寿命下还有 3.6 倍。右轴的净收益（36 个月、3 万元口径）随寿命线性上升到 1026 元。 ### 4.8　前沿：120 元是预算与削减的夹角

图 8　投入—风险削减的帕累托前沿与超预算阴影

图 8 把 8 种组合画在"一次性投入—风险削减"平面上。**前沿是一条台阶**：35 元买反光条削 9.13 元/月，40 元买尾灯削 13.79，60 元两件削 15.58，120 元尾灯+头灯削 21.05。**三件 140 元能削到 22.63，但落在红色阴影里**（超预算 20 元），只能看不能买。图中每个点的斜率就是边际回报：反光条 9.4 倍、尾灯 12.4 倍、头灯 3.4 倍——**头灯斜率最平，但它是唯一能治"自摔"的那一件**，这就是预算约束下必须做的取舍。 ### 4.9　分布：39% 的年份一分钱不赔

图 9　年小事故次数的分布与累计概率（不装 vs 最优组合）

图 9 用泊松计数模拟 40 万个骑手年（期望 0.34 次小碰擦 + 0.60 次自摔）：不装时 39% 的年份一次都不出事，37% 出一次、17% 两次；装尾灯+头灯后零事故年份升到 89%。**期望值把这条分布压成了一个数**：18.1 元/月听上去不痛不痒，可现实里没有人每月赔 18.1 元——人是 39% 的概率赔 0、0.5% 的概率赔 3 万。两条阶梯是累计概率：在 0 次处绿线已经到 89%、红线只有 39%，**差的这 50 个百分点就是 60 元买到的"没事"**。 ### 4.10　分解：三件装备各治一个通道

图 10　三件装备的风险削减按通道分解与单件回报

图 10 把每件装备的削减拆成三段。尾灯 13.79 元里 5.04 治"被看见"、8.75 治"被追尾"、治不了路面；反光条 9.13 元结构相同但更弱；头灯 8.89 元里 6.80 治"看见路面"，另外两段很薄。**单件回报（右轴菱形）排序是尾灯 12.4 > 反光条 9.4 > 头灯 3.4，但最优组合偏偏选了头灯而不是反光条**——因为尾灯已经覆盖了 90% 的"被看见"，再加反光条只剩 8% 的增量，而头灯那条通道是 6.80 元的空白。**边际回报排序与单件回报排序不是一回事，这是背包和"逐件看 ROI"的分水岭。** ## 5　结论 1. 题面核对通过：$60/36=1.67$ 元/月，对 5.6 元/月，净省 3.93 元/月、一年 47 元、回报 **3.36 倍**。**只要无路灯占比超过 7.4%，这笔钱就该花。** 2. 加上"被追尾致伤"（0.5%/年 × 3 万元 = 12.5 元/月）后，风险变 18.1 元/月，回报升到 **10.86 倍**，回本期从 10.7 个月压到 3.3 个月。**同一件装备、同一笔钱，只是把"人"算进去，回报翻了 3.2 倍。** 3. 回报高度依赖损失口径：图 6 的 15 个格点从 2.3 倍到 56.7 倍，**最悲观的情形也有 2.3 倍，高于 1.5 倍的下限**。所以"安全装备值不值"这个问题本身没有唯一答案，只有"按哪个口径算"的答案。 4. "看不见"是双向的：反光条与尾灯让别人看见你，头灯让你看见路面，两者不能互相替代。预算 120 元下的最优解是 **尾灯+头灯（120 元）**，削 21.05 元/月、总成本从 26.10 降到 8.38 元；三件全上 140 元超预算 20 元，多花 20 元只多削 1.59 元/月，边际回报 2.9 倍——**不是不值，是这一格预算买不到。** 5. 落到动作：60 元的尾灯加反光条先装（题面口径 3.36 倍、分项全通道 9.3 倍），有余钱再加头灯补照明；**别用"我骑得慢"替代这笔账，也别用"只算小碰擦"的 3 倍低估它**。真正的数字在 3—11 倍之间，而它之所以被低估，是因为算账的人从来没把"被追尾"这一行写进去。 ## 参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

[4] 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型[M]. 5 版. 北京: 高等教育出版社, 2018.

复现方式：python batch_157.py；数据与结果见同目录 data_157.csv / results_157.json，图见 figs/