案例 156　商圈禁停区：合法化只花 0.94 元，违停要赔 18.0 元

摘要：体育西路侧整段禁停，违停罚 20 元/次、被查概率 30%，单次期望 6 元。规则给的出路是"去合法停靠点"，代价是多走 150 m（2 min、0.40 元）。本文把 8 个取餐商家、3 个合法停靠点建成选址-指派混合整数模型：$y_j$ 决定启用哪个停靠点，$z_{ij}$ 决定商家由谁服务，$u_i=1-\sum_j z_{ij}$ 表示只能违停。求解结果：全违停每趟 18.00 元；按题面上限 2 个停靠点，有 2 个商家覆盖不到、每趟 5.23 元；放宽到 3 个全开，每趟只要 0.94 元。合法化的价格是 17.06 元/趟，而"限 2 个"这个上限本身每趟要多付 4.28 元——真正的浪费不在违停，在那条拍脑袋的选址上限。临界被查概率只有 1.1%，现实是 30%，差 28 倍。

关键词：选址-指派；禁停区；期望违停成本；覆盖半径；边际价值

1　问题提出

1.1　问题是什么

体育西路两侧划为禁停区，交警与城管联合巡查，违停一次罚 20 元。骑手一趟要跑 3 个取餐点，若每个都停在商家门口，被查就是 20 元；若停到合法停靠点，人要走过去、再走回来。商圈范围 200 m $\times$ 300 m，3 个合法停靠点的位置与 8 个商家的坐标见表 1、图 1。

表 1　8 个商家与 3 个停靠点的坐标（单位：m）

商家	坐标	单量	商家	坐标	单量
M1	(88, 40)	3	M5	(86, 160)	4
M2	(112, 68)	5	M6	(114, 190)	7
M3	(92, 96)	2	M7	(90, 222)	3
M4	(110, 128)	6	M8	(112, 258)	5
停靠点 A	(24, 44)	—	停靠点 B	(176, 132)	—
停靠点 C	(30, 250)	—	步行速度	75 m/min	—

距离用曼哈顿距离乘 1.2 的街区绕行系数，单次停靠的步行成本为 $\rho d_{ij}/v$，$\rho=0.2$ 元/min。24 个"商家—停靠点"对里，只有 9 对在 150 m 步行上限内，其余 15 对视为走不到。

1.2　为什么要优化

违停的钱是"或有"的，走路的钱是"确定"的。人脑对 30% 的罚款不敏感，对"多走 150 m"却非常敏感，于是系统性地高估违停的便利、低估它的期望成本。
停靠点不是想开就开。商圈只有 3 个合法位，谁服务哪几家、开几个，是一个带覆盖约束的选址-指派问题，凭"就近"直觉排出来的方案会漏掉整片商家。
上限会变成隐藏成本。"最多用 2 个"看起来是管理约束，实际上把 2 个商家推给了违停，每趟多付 4.28 元——这笔钱不出现在任何一张罚单上。

1.3　Gurobi 如何求解

模型是纯 0-1 的选址-指派：3 个 $y_j$、9 个 $z_{ij}$、8 个 $u_i$，共 20 个变量、18 条约束。规模小到根节点即可闭合，因此可以把"改上限、改概率、改罚款"都做成重解：$K=0\ldots3$ 四次、概率扫描 14 点 $\times$ 3 档罚款、$K$ 家族 14 点 $\times$ 4、帕累托 7 个子集，共 109 次求解，全部在 2 s 内跑完。

2　数学模型

2.1　符号说明

符号	含义	取值
$i\in I$	取餐商家，$\|I\|=8$	M1—M8
$j\in J$	合法停靠点，$\|J\|=3$	A、B、C
$d_{ij}$	商家 $i$ 到停靠点 $j$ 的步行距离	82—144 m
$v,\ \rho$	步行速度、时间价值	75 m/min、0.2 元/min
$F,\ p$	违停罚款、被查概率	20 元、30%
$s_i$	商家 $i$ 的巡逻强度系数，$\bar s=1$	0.7—1.3
$y_j$	是否启用停靠点 $j$	$\{0,1\}$
$z_{ij}$	商家 $i$ 是否由停靠点 $j$ 服务	$\{0,1\}$
$u_i$	商家 $i$ 是否只能违停	$\{0,1\}$
$K$	停靠点启用上限	题面 2

2.2　目标函数

一次停靠若走合法，成本只有步行时间；若违停，成本是罚款的期望。目标把两者放在同一把尺子上：

\[\min\ Z=\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}\rho\frac{d_{ij}}{v}z_{ij}+\sum_{i\in I}Fp s_{i}u_{i} \tag{1} \]

代入本案，左侧系数落在 0.22—0.38 元之间，右侧是 6 元（$s_i=1$ 时）：

\[\rho\frac{d_{ij}}{v}\in\left[0.22,\ 0.38\right],\qquad Fp=6 \tag{2} \]

两者相差约 16 倍。式 (2) 是本题的全部结论：只要违停被查概率超过 $\rho d/(Fv)$，合法停靠就严格占优，而这个门槛只有 1.1%。

2.3　约束条件

每个商家必须"有着落"——要么指派给某个已启用的停靠点，要么违停：

\[\sum_{j\in J}z_{ij}+u_{i}=1,\qquad \forall i\in I \tag{3} \]

指派必须门控在启用的停靠点上（$z_{ij}\le y_j$ 是本题的关键线性化，少了它模型会"用不存在的停靠点"）：

\[z_{ij}\le y_{j},\qquad \forall i\in I,\ j\in J \tag{4} \]

停靠点数量与步行可达性：

\[\sum_{j\in J}y_{j}\le K,\qquad z_{ij}=0\ \ \text{若}\ d_{ij}>150 \tag{5} \]

式 (5) 的后半句不是"优化"，是"物理上做不到"：走 150 m 要 2.0 min，取餐早凉了。正是这条硬约束，让"限 2 个"变成"必须违停"。

2.4　规模与性质

20 个 0-1 变量、18 条约束，是典型的设施选址-指派（facility location-assignment）结构。$z$ 与 $u$ 在给定 $y$ 后各自独立，模型等价于"枚举 $2^{3}=8$ 个子集、每个子集解一次指派"，所以 $Z(K)$ 关于 $K$ 单调不增且边际递减——图 8 与图 10 会验证这一点。$u_i$ 的系数 $Fps_i$ 是本模型的"罚金价格"，它随 $p$ 线性变化，构成第 4.5 节的灵敏度主轴。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

y = m.addVars(NB, vtype=GRB.BINARY)              # 是否启用停靠点
u = m.addVars(NM, vtype=GRB.BINARY)              # 只能违停
z = {(i, j): m.addVar(vtype=GRB.BINARY)
     for i in range(NM) for j in range(NB) if D[i, j] <= R_COV}  # 只建可达的弧
m.addConstr(gp.quicksum(y[j] for j in range(NB)) <= K)
for i in range(NM):
    m.addConstr(gp.quicksum(z[i, j] for j in range(NB) if (i, j) in z) + u[i] == 1)
for (i, j), v in z.items():
    m.addConstr(v <= y[j])                       # 门控：没开点就不能指派
m.setObjective(gp.quicksum(RHO * D[i, j] / V * z[i, j] for (i, j) in z)
               + gp.quicksum(FINE * p * s[i] * u[i] for i in range(NM)), GRB.MINIMIZE)

一个实现细节：$z$ 只为 $d_{ij}\le150$ 的对建变量，超限的对根本不进模型，而不是加大 $M$ 去"惩罚"。这样 15 条不可达弧从变量层面消失，模型规模从 35 降到 20，也让"覆盖不全"这件事在结果里直接表现为 $u_i=1$，不用回头查解。

3.2　求解结果

表 2　停靠点上限对成本的影响（8 次停靠合计 / 每趟折算）

上限 $K$	启用	违停商家	步行成本 / 元	违停期望 / 元	合计 / 8 次	每趟 / 元
0	—	8	0.00	48.00	48.00	18.00
1	B	4	1.37	24.00	25.37	9.51
2	B、C	2	1.94	12.00	13.94	5.23
3	A、B、C	0	2.52	0.00	2.52	0.94

题面上限 $K=2$ 的最优解是启用 B、C，2 个商家（M1、M2）没有任何可达停靠点，只能违停。三个方案每趟分别是 18.00 / 5.23 / 0.94 元。

4　结果分析

4.1　结构：3 个点管 8 家店

图 1　商圈平面：8 个取餐商家、3 个合法停靠点与最优指派

图 1 是模型的全部输入。体育西路（中间虚线带）两侧的 8 个商家几乎都贴着禁停线排布，3 个合法停靠点都退到街区纵深：A 在西北角、B 在东侧中段、C 在西南角。**最优指派（点线）呈现明显的"就近分区"：北段归 A、中段归 B、南段归 C**，没有任何一个商家被跨区指派——这也是选址-指派问题在小规模下的典型形态，一旦 $d_{ij}$ 满足三角不等式，最优解自然分块。 ### 4.2　散点：合法与违停之间是一道断层

图 2　步行距离与单次停靠成本（气泡=单量），红线为违停期望

图 2 把 9 个可达对的步行成本铺开：最便宜的 0.22 元（82 m），最贵的 0.38 元（144 m）。**全部落在 0.38 元这条线以下，而违停的红线在 6 元——中间空了 16 倍的距离。**这道断层解释了为什么模型"必然选合法"：不是模型偏爱合规，是数字差得太远。横轴原点那个叉号是违停：距离 0、成本 6 元，相当于白走 2250 m。 ### 4.3　方案对比：合法化的价格与上限的价格

图 3　四种停靠方案的每趟期望成本

图 3 的四根柱子是一条完整的"合法化路径"：全违停 18.00 元 → 限 1 个 9.51 元 → 限 2 个 5.23 元 → 3 个全开 0.94 元。**从全违停走到全合法，每趟省 17.06 元，代价是每趟多走 6 段路（3 次停靠往返）；这笔交易的价格是 0.94 元，回报是 18.00 元。**而题面的"最多 2 个"卡在第三根柱子上：明明只用 0.94 元就能全合法，规则硬要多付 4.28 元。 ### 4.4　时序：一趟 3 次停靠的时间账

图 4　同一趟 3 次停靠的时间分解（违停 vs 合法）

图 4 把两种做法拆到分钟。违停每站省下"往返步行"，但被查时要现场处理（按 10 min、概率 30% 摊成 3.0 min 的期望块）。只算骑行与取餐，违停一趟 10.5 min，比合法 20.7 min 省 10.2 min，折 2.04 元；**把这 9 min 的期望处理时间加回去，违停变成 19.5 min，反而慢 1.2 min**。模型没算这 9 min，是保守口径，算上只会让合法更占优。走路省的 2.04 元对罚款期望 18 元，差 9 倍。 ### 4.5　主灵敏度：合法化是一道陡坡

图 5　被查概率与罚款对每趟成本的影响（右轴为合法化比例）

图 5 横轴是单次停靠被查概率（对数刻度），三条曲线对应罚款 10/20/40 元。曲线单调上升然后**封顶**：概率 0.2% 时一趟只要 0.12 元（没人查，全违停最划算）；到 3.5% 已有 100% 的商家转合法；3.5% 全线合法，成本钉在 0.94 元。**封顶值就是"全合法"的步行成本 0.94 元，它是违停的代价上限**：查得再严，一趟也就 0.94 元；查得再松，一趟趋近 0。罚款从 10 元提到 40 元，只是把饱和点从 8.0% 提前到 1.8%。本案 30% 早在平台上，右轴的合法化比例也顶在 100%。 ### 4.6　二维视图：距离矩阵与指派

图 6　8 商家 $\times$ 3 停靠点的步行距离矩阵与最优指派

图 6 是距离矩阵：9 个格子有名有姓，15 个格子写着"超限"（灰底）。**最优指派（蓝框）总是落在同一行里数值最小的几格上**，比如 M4 的 84 m、M8 的 108 m。把每行的最小值挑出来相加，得到 2.52 元——这正是 3 个全开时的步行总成本，也是 LP 松弛的下界：在 $y$ 全开时指派问题没有整数间隙，MILP 与 LP 同值。 ### 4.7　第三维：上限越高，曲线越低

图 7　停靠点上限（0—3）与被查概率的交互

图 7 把 $K$ 作为族参数。概率低时四条曲线都贴着横轴（全违停，罚款期望趋近 0），概率升高后分层拉开：本案 30% 处 $K=0$ 是 18.0 元、$K=1$ 是 9.5 元、$K=2$ 是 5.2 元、$K=3$ 是 0.9 元。**分层间距随 $K$ 递减（8.49 → 4.29 → 4.28 元），是典型的边际收益递减：第一个停靠点救回 4 家，第二、三个各救回 2 家。**右轴的期望违停次数给出同一事实的另一种读法：$K=2$ 时每趟稳定背着 0.75 次违停。

4.8　前沿：步行与违停的替代关系

图 8　步行成本—违停成本的帕累托前沿与不可达阴影

图 8 把 8 种停靠点组合画在"步行成本—违停成本"平面上。**它们沿着一条 $x+y\approx$ 常数的斜线排列**：多走路就少违停，但替代率不是 1:1——违停的单价 6 元远高于走路的 0.38 元，替代率是 16:1。真正的最优点（星标）在左下角，等成本线以下那片阴影是"理论上更便宜但物理不可达"的区域：想让总成本低于 0.94 元，只能把某个商家搬到停靠点隔壁。 ### 4.9　分布：一趟到底会被罚几次

图 9　限 2 个停靠点时每趟成本的分布与累计概率

图 9 用二项结构把"运气"摊开：限 2 个停靠点时 2 个商家处于必然违停状态，一趟 3 次停靠里一次都碰不上的概率是 $(1-2/8)^{3}=42%$。分布分三段：不碰（成本 0.97 元）占 42%；违停了但没被查（成本 0—0.65 元）占 37%；**至少被罚一次（成本 20.0—60 元）占 21%**。绿色竖线是 3 个全开的 0.94 元：期望 5.23 元是它的 5.5 倍，而这 5 倍全部由那 21% 的尾巴撑起来；尾巴末端（3 次全违停全被查）要 60 元，是 0.94 元的 64 倍。放宽上限买的是"没有尾巴"。 ### 4.10　分解：钱花在走路还是花在罚款

图 10　每趟成本的构成分解与停靠点的边际节省

图 10 把四根柱子拆成两段。$K=0$ 时全是罚款（18.00 元）；$K=3$ 时全是步行（0.94 元）。中间的转折点在 $K=2$：步行 0.73 元、罚款 4.50 元，罚款仍是走路的 6.2 倍。**边际节省的菱形线（右轴）单调下降：8.49、4.29、4.28 元/趟**——第 3 个停靠点仍值 4.28 元，按一天 20 趟算是 86 元/天、一个月 2228 元。这就是"限 2 个"的真实价格。 ## 5　结论 1. 违停的期望成本是 6 元/次，合法停靠的步行成本只有 0.22—0.38 元/次，两者相差 16 倍。**临界被查概率仅 1.1%，而体育西路是 30%，模型不存在"违停更划算"的解。** 2. 全违停每趟 18.00 元，合法化的最优方案每趟 0.94 元，**合法化的价格是 17.06 元/趟，回报 95%**。这笔钱买的不只是钱，还有图 9 里那条消失的长尾。 3. 题面"最多 2 个停靠点"的解是启用 B、C、每趟 5.23 元，2 个商家被迫违停。**放宽到 3 个全开，每趟 0.94 元，边际节省 4.28 元/趟，一个月 2228 元。**上限本身是成本项，而且是唯一一项没被计入任何账的成本。 4. 边际收益递减但始终为正：8.49、4.29、4.28 元/趟。只要"启用"不额外收费，**$K$ 应该放到覆盖全部商家为止，本题就是 3 个**。 5. 落到动作：一趟 3 次停靠全部停在 A/B/C，按图 6 的星标指派走；宁可多走 144 m（0.38 元），也不要为省 0.38 元去赌 6 元。**商圈禁停区的正确读法不是"哪里能停"，而是"停错一次等于白干 30 min"。** ## 参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Daskin M S. Network and Discrete Location: Models, Algorithms, and Applications[M]. 2nd ed. Hoboken: Wiley, 2013.

[3] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

[4] 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型[M]. 5 版. 北京: 高等教育出版社, 2018.

复现方式：python batch_156.py；数据与结果见同目录 data_156.csv / results_156.json，图见 figs/

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符号	含义	取值
\(i\in I\)	取餐商家，\(\|I\|=8\)	M1—M8
\(j\in J\)	合法停靠点，\(\|J\|=3\)	A、B、C
\(d_{ij}\)	商家 \(i\) 到停靠点 \(j\) 的步行距离	82—144 m
\(v,\ \rho\)	步行速度、时间价值	75 m/min、0.2 元/min
\(F,\ p\)	违停罚款、被查概率	20 元、30%
\(s_i\)	商家 \(i\) 的巡逻强度系数，\(\bar s=1\)	0.7—1.3
\(y_j\)	是否启用停靠点 \(j\)	\(\{0,1\}\)
\(z_{ij}\)	商家 \(i\) 是否由停靠点 \(j\) 服务	\(\{0,1\}\)
\(u_i\)	商家 \(i\) 是否只能违停	\(\{0,1\}\)
\(K\)	停靠点启用上限	题面 2

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案例 156　商圈禁停区：合法化只花 0.94 元，违停要赔 18.0 元

案例 156　商圈禁停区：合法化只花 0.94 元，违停要赔 18.0 元

1　问题提出

1.1　问题是什么

1.2　为什么要优化

1.3　Gurobi 如何求解

2　数学模型

2.1　符号说明

2.2　目标函数

2.3　约束条件

2.4　规模与性质

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

3.2　求解结果

4　结果分析

4.1　结构：3 个点管 8 家店

4.8　前沿：步行与违停的替代关系

公告

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案例 156 商圈禁停区：合法化只花 0.94 元，违停要赔 18.0 元

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1 问题提出

1.1 问题是什么

1.2 为什么要优化

1.3 Gurobi 如何求解

2 数学模型

2.1 符号说明

2.2 目标函数

2.3 约束条件

2.4 规模与性质

3 Gurobi 求解实现

3.1 建模要点

3.2 求解结果

4 结果分析

4.1 结构：3 个点管 8 家店

4.8 前沿：步行与违停的替代关系

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1.1　问题是什么

1.2　为什么要优化

1.3　Gurobi 如何求解

2　数学模型

2.1　符号说明

2.2　目标函数

2.3　约束条件

2.4　规模与性质

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

3.2　求解结果

4　结果分析

4.1　结构：3 个点管 8 家店

4.8　前沿：步行与违停的替代关系