案例 155 不能带人：省 2.4 元，赔 143.76 元

案例 155　不能带人：省 2.4 元，赔 143.76 元

摘要：同伴要搭车去同一个取餐点，"顺路"带一段，省 12 min，折 2.4 元。这段路被查概率 20%、罚款 50 元，罚款期望 10 元，题面净亏 7.6 元。但 50 元只是显性的一笔：被查之后还要现场处理 20 min（5.8 元）、载人使事故责任加重（期望 30 元）、平台停单 1 天（期望 105 元），单趟期望成本因此变成 146.16 元，是省时收益的 61 倍，净亏 143.76 元。模型是 1 个 0-1 变量、z=0 一条硬约束，但真正的增量在重复决策：30 趟里"至少被查一次"的概率 \(1-0.8^{30}=99.88\%\)，100 趟从未被查的概率只有 2.0e-10——"没被查过"不是运气好，只是次数不够多。灵敏度显示临界被查概率 4.8%（省 12 min）与 12.0%（省 30 min），而这条路实测 20%，远在临界线之上。结论：\(z=0\)，不带人。

关键词：合规决策；期望成本；连带成本；重复博弈；风险偏好

1　问题提出

1.1 问题是什么

午高峰，小哥在商圈取餐，同伴在同一片区等单，想搭车一起去下一个取餐点。这一段路两人同向、同目的地，带人省下的不是绕路，而是同伴自己骑车的那 12 min——对同行的"顺路"请求，多数人不会算账，直接答应。

项目	数值	说明
搭车省时 \(t\)	12 min	同伴不必自己骑车
时间价值 \(\rho\)	0.20 元/min	12 元/h，午高峰的边际收入
省时收益 \(g=\rho t\)	2.4 元	确定的、立刻到手的
被查概率 \(p\)	20%	路段固定，交警岗点固定
罚款 \(F\)	50 元	非机动车违规载人
罚款期望 \(pF\)	10 元	题面口径
题面净损益	$-$7.6 元	亏
连带成本（三项）	136.16 元	现场处理 + 事故责任 + 平台处罚
含连带净损益	143.76 元	亏 18.9 倍

这张表最关键的一行不是 7.6，而是最后一行：把被查之后真正会发生的四件事摊开，7.6 元的"小亏"变成 143.76 元的"重亏"。

1.2　为什么要优化

1. "顺手"的违规最容易被放过。逆行、闯灯这类动作有明确的动作感，而"多载一个人"几乎没有动作成本，骑手不会为它停顿一秒。正因为不做决策，才更需要一个把账算清楚的模型。
2. 期望值在这里最清楚。路段固定、岗点固定、罚款有明文标准，\(p\)、\(F\) 都是可以查到的数——这是全书里参数最不模糊的一类风险，结论却最常被"应该没事"盖过去。
3. 一次和一百次不是同一件事。单趟 20% 看起来"大概率没事"，30 趟累计却是 99.88%。模型要回答的不是"这一趟"，而是"这个习惯"。

1.3　Gurobi 如何求解

模型只有 1 个 0-1 变量、1 条约束，分支定界在根节点结束，求解是常数时间。计算量全在反复解：基准与两种口径 3 次、\(3\times 3\) 灵敏度 18 次、二维网格 20 次，共 44 次。每个点重新建模而不是套解析式，好处是"改口径就是改模型"，避免手推公式与代码走岔。

2　数学模型

2.1　符号说明

符号	含义	本案取值
\(z\)	是否带人，1 带、0 不带	\(\{0,1\}\)
\(t,\ \rho\)	省下的时间、时间价值	12 min、0.20 元/min
\(g\)	省时收益 \(\rho t\)	2.4 元
\(p\)	单趟被查概率	20%
\(F\)	罚款	50 元
\(h\)	现场处理折算（20 min）	5.8 元
\(p_{a},\ A\)	事故概率、载人加重的责任	1%、3000 元
\(p_{b},\ B\)	平台处罚概率、停单 1 天损失	30%、350 元
\(C\)	单趟期望总成本	146.16 元
\(N\)	重复决策次数	30

2.2　目标函数

只算罚款时，单趟净损益是"省下的减期望罚款"：

\[\Delta\left(z\right)=z\left(\rho t-pF\right) \tag{1} \]

代入本案 \(\rho t=2.4\)、\(pF=10\)，得 \(\Delta=-7.6\) 元。把被查之后展开的三项补进去：

\[C=p\left(F+h\right)+p_{a}A+p_{b}B \tag{2} \]

\[\min_{z\in\{0,1\}}\ z\left(C-\rho t\right) \tag{3} \]

式 (2) 的四项分别是 10.00（罚款）、1.16（现场处理）、30（事故责任）、105（平台处罚），合计 146.16 元。注意前三项的取值都挂在 \(p\) 上，只有事故责任是独立概率：被查与出事不是同一件事，两者不能合并成一个概率。

2.3　约束条件

法规把可行域压成一个点：

\[z=0 \tag{4} \]

重复决策的概率由二项分布给出，\(N\) 趟里一次都没被查的概率是 \((1-p)^{N}\)：

\[P_{\mathrm{catch}}\left(N\right)=1-\left(1-p\right)^{N} \tag{5} \]

临界概率由式 (1) 令 \(\Delta=0\) 得到，含连带成本时把 \(F\) 换成 \(C\)：

\[p^{*}=\frac{\rho t}{F},\qquad p^{*}_{\mathrm{full}}=\frac{\rho t}{C} \tag{6} \]

2.4　规模与性质

单期模型 1 个 0-1 变量、1 条等式约束，根节点即最优。目标关于 \(z\) 线性，系数 \(C-\rho t\) 就是"带一次的净代价"：本案 146.16 − 2.4 = 143.76 元。式 (5) 关于 \(N\) 单调递增、上凸且饱和到 1；式 (6) 关于罚款额 \(F\) 单调递减，罚款越低临界概率越高——这正是"罚得轻就没人怕"的数学表达。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

z = m.addVar(vtype=GRB.BINARY, name="z")
m.addConstr(z == 0, name="law")            # 法规先钉死可行域
cc = p * (FINE + HAND) + P_ACC * ACC + P_PLAT * PLAT   # 含连带成本
m.setObjective(z * (cc - RATE * t), GRB.MINIMIZE)      # 收益进目标，不写进约束

一个实现细节：省时收益用 \(\rho t\) 直接减在目标里，而不是先算"净收益"再取负。这样扫描 \(t\) 时只改一个参数，系数 \(C-\rho t\) 由 Gurobi 自己算；同一支模型去掉 z==0 就能回答"只算钱会怎么选"，两问共用一套代码。

3.2　求解结果

模型	口径	\(z\)	目标值 / 元
基准	含连带 + 法规	0	0.00
只算钱	含连带、无法规	0	0.00
只算罚款	50 元、无法规	0	0.00
概率 5%·省 6 min	含连带	0	136.59
概率 5%·省 30 min	含连带	0	131.79
概率 50%·省 30 min	含连带	0	156.90
只算罚款·2%·省 30 min	50 元	1	5.00

三种口径都给出 \(z=0\)——不是因为法规约束先钉死了它，而是去掉约束后它仍然选 0。唯一翻成 \(z=1\) 的格子是「省 30 min 且概率压到 12% 以下」（表格最后一行：2%），而这条路的实测概率是 20%。

4　结果分析

4.1　结构：三笔账，一笔赚三笔亏

图 1　省时收益、罚款期望与含连带净损益的棒棒糖对照

图 1 把五个数排在一起：省时 2.4 元、罚款期望 10 元、题面净亏 7.6 元、连带成本合计 146.2 元、含连带净亏 143.8 元。**唯一为正是省时那根柱子，而且它最短**。60 倍这个数字说明：这不是"稍微亏一点"，而是把一次搭车变成了一次停单。 ### 4.2　概率轴：临界线在 4.8%，而这条路是 20%

图 2　被查概率与单趟净损益（气泡为 30 趟至少被查一次的概率）

图 2 的三条线和零线的交点分别是 1.64%（含连带）、4.8%（省 12 min、只算罚款）、12.0%（省 30 min、只算罚款）。**即使用最宽容的口径、把省时放大到 30 min，临界概率也只有 12%，不到本案 20% 的六成。**气泡是被查概率的累计效应：20% 那一颗已经对应 99.9% 的累计被查概率，这才是 30 趟的真实风险。 ### 4.3　方案对比：50 元罚款只占 6.8%

图 3　四种方案的单趟与累计额外期望成本（对数刻度）

图 3 用对数刻度，否则后两根柱子会把前两根压成零。不带人 0 元；只算罚款 7.60 元；含连带 143.76 元；100 趟累计 14376 元。146.16 元的总成本里，罚款只占 6.8%，平台处罚 105 元一项就顶 10.5 倍罚款。**"罚 50 元"是这个账本里最小的一项，却常常是唯一被记住的一项。** ### 4.4　时序：30 趟的累计与"被查时刻"

图 4　累计期望净亏与累计被查概率（30 趟），标出被查分位点

图 4 左轴是累计净亏，右轴是累计被查概率。两条累计线在 30 趟时相差 4085 元——那正是连带成本的总和。虚线标出被查的分位点：第 4 趟一半人已经栽了，第 11 趟九成人栽了，期望首次被查就在第 5 趟。**"我带了半年都没事"这句话，对应的其实就是"我在前 4 趟里运气好"。** ### 4.5　主灵敏度：概率与省时的双轴

图 5　被查概率与省时对净损益的影响（右轴为 30 趟累计被查概率）

图 5 三条线对应省 6/12/30 min，零交点 2.4%/4.8%/12.0%。省时翻 2.5 倍只把临界概率从 4.8% 抬到 12.0%，因为省时的钱太少：30 min 才 6 元，还不够一次罚款的八分之一。右轴把累计风险叠上来，20% 处已经在 100% 附近——两条信息合起来是同一句话：**概率不会因为省得多而变低。** ### 4.6　二维分区：整张图几乎都是"亏"

图 6　被查概率与省时的决策分区（只算 50 元罚款的宽松口径）

图 6 故意用最宽容的口径画，好让"划算"的区域尽量大。分界线是 $p=0.20t/50$，只有左下角一条窄带翻正；20 个网格点里 Gurobi 判"带"的只有 7 个，全部落在 $t>250p$ 这条窄带左侧（省 30 min 时折合 $p<12.0\%$）。本案星标（20%、12 min）落在深处，净亏 7.6 元。**换成含连带成本，零线会被推到 $p<1.64\%$，整张图都是红的。** ### 4.7　第三维：罚款要低到 12 元才可能打平

图 7　罚款金额对净损益的影响（右轴为临界被查概率）

图 7 把罚款额从 12 元扫到 300 元。$p=20\%$ 时临界罚款是 $F^{*}=\rho t/p=12$ 元——罚款只要高于 12 元，这一趟就亏。现实中非机动车违规载人的罚款是 50 元，是临界值的 4.2 倍。右轴给出另一半信息：罚款越高，能容忍的被查概率越低，50 元对应 4.8%。 ### 4.8　前沿：省时与期望成本

图 8　省时—期望成本的前沿与不可行阴影

图 8 横轴是省时（0—120 min），三条曲线随省时缓慢下移，不带人那条是 0 元的水平线。含连带成本那条从 146.2 元只降到 122.2 元：**要让它碰到零线，得省 731 min，也就是 12.2 小时**——比一趟配送的总时长还长。只算罚款加现场处理那条在第 56 min 处过零，但那个点已经不属于"顺路带一段"了。阴影区（成本低于 0）在含连带口径下是**空集**，这就是"经济上也不划算"的图形表达。 ### 4.9　分布：侥幸心理的失效曲线

图 9　首次被查趟数的分布与累计概率

图 9 是几何分布：中位第 4 趟，11 趟累计 91%，21 趟 99%，30 趟 99.88%。最该看的是尾部：100 趟一次都没被查的概率是 2.0e-10，比中一次彩票还难。**"没被查过"从来不是证据，它只说明样本量还不够。**风险偏好在这里的具体表现是：人用"最近 4 趟"的经验去估 30 趟的风险，把 99.9% 读成了 59.0%，低估 41 个百分点。 ### 4.10　成本分解：50 元与实际成本

图 10　单趟期望成本的构成分解（罚款 / 现场处理 / 事故责任 / 平台处罚）

图 10 把 146.16 元拆成四段：罚款 10.00、现场处理 1.16、事故责任 30、平台处罚 105。后两段占 92.4%，且都与"载人"这个动作直接相关：载人让事故责任无法推给对方（保险对违规载人通常拒赔），也让平台有理由停单。**这就是"单看 50 元罚款严重低估"的全部内容**——低估倍数 13.6 倍。 ## 5　结论

1. 题面口径下净亏 7.6 元（罚款期望 10 减省时 2.4），这个数已经足以否掉"顺手带一段"，不需要任何附加假设。
2. 补齐连带成本后单趟期望成本 146.16 元，净亏 143.76 元，是省时收益的 60 倍；其中平台处罚 105 元占 71.8%，罚款 10 元只占 6.8%——只盯罚款会低估 13.6 倍。
3. 临界被查概率 \(p^{*}=4.8\%\)（省 12 min）、\(12.0\%\)（省 30 min）、\(p^{*}_{\mathrm{full}}=1.64\%\)（含连带）；本案路段 20%，是最高临界值的 1.7 倍。要打平得同时满足"省 30 min"和"概率低于 12%"，两个条件现在都不成立。
4. 重复决策下侥幸必然失效：30 趟至少被查一次 99.88%，100 趟从未被查 2.0e-10，期望首次被查在第 5 趟。风险偏好造成的低估，量级是"把 30 趟当成 4 趟"。
5. 结论是 \(z=0\)：不带人。载人属违法且显著增加事故风险，经济上也不划算；同伴要同行，只能各自骑车或改约在同一个取餐点碰头。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Ross S M. Introduction to Probability Models[M]. 12th ed. London: Academic Press, 2019.

[3] Kahneman D, Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk[J]. Econometrica, 1979, 47(2): 263-291.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch_155.py；数据与结果见同目录 data_155.csv / results_155.json，图见 figs/