案例 154 上牌与年检：38.75 元买断每个月 84 元的扣车风险

案例 154　上牌与年检：38.75 元买断每个月 84 元的扣车风险

摘要：电动自行车必须上牌，无牌上路被查即扣车 3 天。上牌一次性花 38.75 元（工本费 30 元 + 半天误工 8.75 元），不上牌每月有 8% 的概率损失 1050 元，月度期望 84 元。模型只有 1 个 0-1 变量、1 条法规约束，求解是常数时间，重点全在口径：把一次性成本与月度风险直接相比，临界概率是 3.69%/月，低于它账面上"不上更省"——这正是很多人拖着不办的理由。补上状态递推（扣车即补牌、风险终结）后，12 个月等待的期望支出是 688.5 元、为 17.8 倍，而且临界概率在多期口径下不复存在：只要 \(p>0\)，立即上牌恒优。最后给出概率 3%/8%/15% 与耗时 0.5/1/2 天的灵敏度分区，并拆开"3 天停业"与 1050 元损失之间的重复计算陷阱。

关键词：上牌合规；0-1 规划；状态递推；期望成本；临界概率

1　问题提出

1.1 问题是什么

广州对电动自行车实行登记上牌管理。上牌要跑一趟车管所：工本费 30 元，加上验车、排队、往返，半个工作日就没了。不上牌也能跑，但被查就是扣车，取车要等 3 天，这 3 天不能接单。

项目	数值	说明
上牌工本费	30 元	一次性
上牌耗时 \(\tau\)	0.5 天	可排在上午低谷
低谷时间影子价格 \(\eta\)	17.5 元/天	这半天本来只跑 2—3 单
上牌总成本 \(C\)	38.75 元	一次性，终身有效
月扣车概率 \(p\)	8%	片区执法强度折算
单次扣车损失 \(L\)	1050 元	3 天收入 1038.46 元 + 拖车 11.54 元
月度期望损失	84 元	\(p\times L\)，每月重复
月收入目标	9000 元	日均 346.15 元（26 天）

单看这张表，结论像是显然的：38.75 元换掉每月 84 元的风险，值。但两个数直接相减是错的——一个是只付一次的钱，一个是每个月都在发生的期望。84 元不是"一共 84 元"，而是"这个月 84 元、下个月还有 84 元"；38.75 元也不会在第二个月再收一遍。真正要比的是累计值，而累计怎么算，取决于扣车之后会发生什么。

1.2 为什么要优化

1. 口径错了结论就错。按单期比较，只要概率低于 3.69%/月，模型就说"别上牌"，可这个结论只在一个月的时间尺度上成立，而骑手要跑几年。
2. 扣车不是终点而是转折点。被扣之后必须补牌才能取车，补牌那一刻风险就终结了。所以"先不上、等被扣再说"的期望成本不是线性的 \(12\times84\)，而是一条饱和曲线——这正是写成状态递推的理由。
3. 法规不在目标函数里。目标函数只算钱，法规把 \(z\) 钉死为 1。两件事分开写：约束决定可行域，目标函数只负责解释"这条约束不是负担"。

1.3 Gurobi 如何求解

模型只有 1 个 0-1 变量、1 条约束，分支定界在根节点结束。计算量全在反复解：基准与时点 6 次、口径校准 3 次、灵敏度 9 点、二维网格 20 点、扫描 20 点，共 36 次。每个点重新建模、不套解析式——改参数就是改模型，避免手推公式与代码走岔。

2　数学模型

2.1 符号说明

符号	含义	取值
\(z\)	是否上牌，1 上牌	0 或 1
\(C\)	上牌一次性总成本	38.75 元
\(\tau,\ \eta\)	上牌耗时、低谷时间影子价格	0.5 天、17.5 元/天
\(p\)	月扣车概率	8%
\(L\)	单次扣车总损失	1050 元
\(N\)	考察月数	12
\(q_{t}\)	第 \(t\) 月月初仍未上牌的概率	\([0,1]\)
\(y_{t}\)	第 \(t\) 月主动上牌的概率份额	\([0,1]\)

2.2 目标函数

单期口径先把题面的账摆平：上牌付 \(C\)，不上付月度期望 \(pL\)。

\[\min_{z\in\{0,1\}}\ z\left(30+17.5\times 0.5\right)+\left(1-z\right)\times 0.08\times 1050 \tag{1} \]

其中 \(C=30+17.5\times 0.5=38.75\) 元。式 (1) 两项量纲不同（一次性对每月），只在一个月的时间窗内自洽——第 4 节会反复用到这一点。

2.3 约束条件

法规约束把可行域压成一个点：

\[z=1 \tag{2} \]

多期口径需要状态递推。设 \(q_{t}\) 为第 \(t\) 月月初仍未上牌的概率，\(y_{t}\) 为当月主动上牌的概率份额，则

\[q_{1}=1-y_{1},\qquad q_{t+1}=\left(1-p\right)q_{t}-y_{t+1},\qquad q_{t}\ge 0 \tag{3} \]

第二项 \((1-p)q_{t}\) 就是"这个月没被扣、风险继续"的那部分人；被扣的 \(p q_{t}\) 当月即补牌，退出状态。\(N\) 月内的期望支出为

\[W\left(N\right)=\sum_{t=1}^{N}p\left(1-p\right)^{t-1}\left(L+C\right) \tag{4} \]

等比求和得闭式，并令其等于 \(C\) 求临界概率：

\[W\left(N\right)=\left(L+C\right)\left[1-\left(1-p\right)^{N}\right] \tag{5} \]

\[p^{*}=\frac{C}{L} \tag{6} \]

式 (6) 只在单期口径成立。代入式 (5) 会发现 \(W(N)-C=L[1-(1-p)^{N}]\ge 0\) 对任何 \(p>0\) 恒成立，多期口径没有临界概率。

2.4 规模与性质

单期模型 1 变量 1 约束；时点模型 \(N+1\) 个 0-1 变量、1 条指派约束；递推本身是 \(O(N)\) 的代数运算。目标关于 \(z\) 线性、约束是等式，最优解必在端点；式 (5) 关于 \(N\) 单调递增且上凸（饱和到 \(L+C\)），关于 \(p\) 单调递增。

3　Gurobi 求解实现

3.1 建模要点

z = m.addVar(vtype=GRB.BINARY, name="z")
m.addConstr(z == 1, name="law")          # 法规先钉死可行域
m.setObjective(z * CREG + (1 - z) * P * L, GRB.MINIMIZE)

上牌时点用另一支 MIP：\(y_{k}\) 表示"第 \(k\) 月才上牌"，系数由式 (4) 逐月递推算出，再让 Gurobi 在 \(N+1\) 个候选月里选一个。

y = m.addVars(N + 2, vtype=GRB.BINARY)
m.addConstr(gp.quicksum(y[k] for k in range(1, N + 2)) == 1)   # 只能上一次
m.setObjective(gp.quicksum(E[k] * y[k] for k in range(1, N + 2)), GRB.MINIMIZE)

一个实现细节：\(E(k)\) 不用闭式，用循环累加 \(p(1-p)^{t-1}(L+C)\) 再加 \(C\)。这样"改概率就是改模型"，且递推与闭式在基准点相差 0.000 元，互校通过。

3.2 求解结果

模型	设置	\(z\) 或 \(k\)	目标值 / 元
基准（法规）	\(z=1\)	1	38.75
只算钱	无法规约束	1	38.75
强制不上	\(z=0\)	0	84
上牌时点 MIP	\(N=12\)	\(k=1\)	38.75
时点 MIP（锁 \(k\ge 2\)）	不许首月上牌	\(k=2\)	122.7

时点 MIP 选 \(k=1\)：第一个月就办。锁定 \(k\ge 2\) 后最优变成 \(k=2\)，代价 122.7 元——晚一个月就贵了 84.0 元，正好是一个月的期望损失，是上牌费的 2.2 倍。

4　结果分析

4.1 一次性成本与月度风险不在同一个量纲上

图 1　上牌成本与扣车损失的棒棒糖对照

图 1 把七个数字排在一起：上牌 38.75 元（工本费 30 + 误工 8.75）；单次扣车 1050 元（3 天收入 1038.46 + 拖车 11.54）；月期望 84 元。单次扣车是上牌成本的 27.1 倍。**唯一不能直接比的就是 38.75 与 84**：前者只发生一次，后者按月重复。 ### 4.2 概率越高，等待越像在赌

图 2　月扣车概率与 12 个月期望总支出（气泡为 12 月内被扣概率）

图 2 横轴 1%—20%，纵轴是等待策略 12 个月的期望支出，而上牌那条水平线一直停在 38.75 元。概率 3% 时等待是 333 元、8% 时 688 元、20% 时 1014 元。气泡是被扣概率：8% 对应 63.2%——三分之二的人在一年内会被扣一次。曲线在低概率端几乎是平的，这正是"小概率无所谓"的错觉来源。 ### 4.3 四个方案：等待的代价是十七倍

图 3　四种策略的 12 个月期望支出对比

永不上牌 1008 元是违规上界（风险不终结）；等待 688.5 元（窗口内被扣才补）；期末对齐补牌 702.7 元；立即上牌 38.75 元。差额 664 元，18.1 倍。第三个柱子比第二个高 14.2 元，那是"一年都没被扣、最终仍要办"的 36.8% 人群的补牌费，只有做终点对齐才计入。 ### 4.4 时序：累计曲线是凹的，这恰好证明风险会终结

图 4　12 个月累计期望支出：立即上牌、等待（风险终结）、永不上牌

图 4 是关键的一张。等待那条线不是直线：第 1 月涨 84 元，第 12 月只涨 34.8 元，因为 $q_{t}$ 按 $(1-p)^{t-1}$ 衰减。永不上牌那条虚线是直的，12 个月 1008 元。两条线的差 320 元，就是"扣车后补牌终结风险"这件事的价值——忽略它会把等待成本高估 46.4%。第 6 个月等待已累计 429 元，是上牌成本的 11.1 倍；摊薄到每月只要 3.23 元，**0.46 个月就回本**。 ### 4.5 灵敏度：3% 与 15% 的分区，以及耗时的影响

图 5　扣车概率与上牌耗时的单期净收益（阴影为「不上」区）

图 5 三条线对应耗时 0.5/1/2 天，与零线的交点分别是 3.69%、4.52%、6.19%——耗时翻两番只把临界概率从 3.69% 抬到 6.19%，因为 30 元工本费占了大头。阴影区（概率低于 3.69%）里单期模型翻成"不上"，这就是"概率低到 3% 以下才开始显得不划算"的来源。但那个区里法规约束 $z=1$ 不动；把 12 期写成式 (5)，$p=3\%$ 时差额仍有 321 元，也翻不过来。

图 6　扣车概率与单次损失的决策分区（含耗时 2 天的分界线）

图 6 把概率与损失两个维度铺开。蓝区是单期口径的"不上"区，分界线是双曲线 $L=38.75/p$；虚线是耗时 2 天的分界（$L=65.00/p$），把边界往右推了一点。星标是本案（8%、1050 元），落在红区，与 Gurobi 的解一致。但真正要读的是这句话：**12 期口径下整张图都是上牌，包括蓝区**。 ### 4.6 时间尺度、前沿与分布

图 7　时间尺度对等待成本的影响（右轴为上牌成本的月度摊薄）

图 7 横轴换成月数，三条曲线对应 3%/8%/15%。3% 那条 24 个月才涨到 565 元，15% 那条半年就到 678 元。右轴是上牌成本的月度摊薄 $C/N$，12 个月摊到 3.23 元、24 个月 1.61 元，一条反比曲线。三条等待曲线最终都饱和在 $L+C=1088.75$ 元，即"迟早被扣一次并补牌"的确定成本——时间越长，等待越接近这个上界，也越显荒谬。

图 8　上牌时点 k 的成本—停业天数前沿（阴影为成本不可达区）

图 8 每个点是一个上牌时点 $k$：横轴 12 个月期望支出，纵轴期望无法接单天数（上牌误工 0.5 天 + 3 天 $\times$ 期望扣车次数）。$k=1$ 在左下角（38.75 元、0.5 天），$k=13$ 在右上（703 元、2.40 天）。两个维度同向恶化，帕累托前沿退化成**一个点**：不存在"多花钱换安全"的取舍，最便宜的同时也最安全。

图 9　首次被扣月份的分布与累计概率

图 9 是几何分布：中位第 9 月，均值 $1/p=12.5$ 月。12 个月累计 63.2%，24 个月 86.5%。换句话说，不上牌的骑手平均跑不到 13 个月就会碰上第一次扣车，而一次的损失就是上牌成本的 27.1 倍。 ### 4.7 成本构成与重复计算

图 10　三种策略 12 个月期望支出的构成分解

图 10 把 1050 元拆开：3 天收入 1038.46 元 + 拖车保管 11.54 元。**这里有个容易犯的重复计算**：1050 元里已经含了 3 天停业，若再说"另外还有 3 天停业、折 1038 元收入"，就把同一笔损失算了两次。正确做法二选一：要么用 1050 元（含收入 + 拖车 + 罚款），要么用 3 天收入 1038.46 元再加显性费用。本文全篇取前者，所以图 10 里"3 天收入损失"只是 1050 元的内部拆项，不是额外项。若再叠加 200 元罚款，$L=1250$，临界概率降到 3.10%/月。 ### 4.8 口径校准：把误工按日均可支配收入算 题面的时间影子价格 17.5 元/天（半天 8.75 元）是"上牌排在低谷"的口径。若保守按日均收入 346.15 元计，上牌成本变成 203.08 元：单期 $z=0$（203 > 84，账面不上），但 12 期等待是 867.0 元、为立即上牌的 4.3 倍，仍然上牌。**结论对时间价值不敏感，对时间尺度极其敏感**：换成日均口径，单期临界概率从 3.69% 升到 19.34%，12 期照样翻不过来。 ## 5　结论

1. 上牌的真实成本 38.75 元（工本费 30 + 半天误工 8.75），一次性、终身有效；不上的月度期望损失 84 元，是成本的 2.17 倍。
2. 单期临界概率 3.69%/月只在"只算一个月"时成立；把它当长期判据，会抹掉"三分之二骑手一年内必被扣"这个事实。
3. 状态递推 \(q_{t+1}=(1-p)q_{t}-y_{t+1}\) 是关键增量：扣车即补牌、风险终结，等待成本是饱和曲线而非直线，12 个月 688.5 元、17.8 倍；忽略终结会把成本高估 46%。
4. 多期口径下临界概率消失：\(W(N)-C=L[1-(1-p)^{N}]\ge 0\) 恒成立，只要 \(p>0\) 立即上牌就是最优，时点 MIP 也选 \(k=1\)；晚一个月贵 84.0 元，是上牌费的 2.2 倍。
5. 灵敏度上，概率 3%—15%、耗时 0.5—2 天，单期口径只在概率低于 6.19%（耗时 2 天）时才翻转；成本与风险两个维度同向，前沿退化成一个点——法规要求的那件事，恰好也是最省钱的那件事。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Puterman M L. Markov Decision Processes: Discrete Stochastic Dynamic Programming[M]. 2nd ed. Hoboken: John Wiley & Sons, 2014.

[3] Ross S M. Introduction to Probability Models[M]. 12th ed. London: Academic Press, 2019.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch_154.py；数据与结果见同目录 data_154.csv / results_154.json，图见 figs/