案例 152 头盔与检查点：15% 的抽查率，撑不起"不戴"的账

案例 152　头盔与检查点：15% 的抽查率，撑不起"不戴"的账

摘要：客村立交设点查头盔，未戴罚 50 元、覆盖率 15%/天，戴头盔闷热折 1.0 元/天，题面给事故风险增量 3.2 元/天。0-1 模型只有一档变量 \(z\)，法规约束 \(z=1\) 先把可行域钉死，目标函数只做事后解释。核对全部通过：不戴的日成本 \(0.15\times 50+3.2=10.7\) 元/天，戴 1.0 元/天，不戴亏 9.7 元/天、年亏 2522 元（260 个出勤日）。但题面的 3.2 元/天需要重算：按 127 的重伤口径（\(576\) 元/年），日均只有 1.58 元，题面值是它的 2.03 倍，差额只能来自"头部轻伤 + 误工 + 差评"这些 127 没算的项。换成 127 口径，不戴 9.08 元/天、年亏 2100 元，结论不变。真正的增量在检查点的博弈性：覆盖率从 15% 提到 30%、50%，罚款期望从 7.5 翻到 15、25 元，但即使罚款为 0，事故风险 1.58 元/天 仍高于闷热成本 1.0 元/天——合规的安全理由独立于执法强度。闷热成本要涨到 10.7 元/天才可能出现"账面不戴"，而那个区间的结论不可采纳。

关键词：0-1 合规决策；执法概率；期望成本；口径复核；安全优先

1　问题提出

1.1　问题是什么

交警在客村立交设点查头盔：不戴当场罚 50 元，但不是每天都查，覆盖率 15%；戴头盔闷热、压发型，折算 1.0 元/天。骑手要在"每天花 1 元忍着"和"每天赌 15% 被罚 50 元"之间做选择，另外还要算上不戴时的事故风险增量。

表 1　题面参数与三项核对（元/天；算术无误，问题在 3.2 的口径）

项目	算式	结果	性质
罚款期望	\(0.15\times 50\)	7.5	转移支付，不消灭价值
事故风险增量（题面）	直接给定	3.2	真实社会成本
事故风险增量（127 口径）	\(576/365\)	1.58	只含头部重伤
闷热成本（戴）	直接给定	1.0	真实个人成本
不戴合计	\(7.5+3.2\)	10.7	vs 戴 1.0

1.2　为什么这值得建模

第一，罚款与风险不是一类东西。罚款是从骑手口袋到财政口袋的转移，社会总福利不变；事故风险是真实的血肉成本，谁也不想要。两者在个人账本上加得起来，但只有后者能决定"该不该戴"——这正是检查点博弈性的要害：交警提高覆盖率，改变的是转移支付的大小，不是安全需求的大小。

第二，"算完账再决定"的顺序是错的。把这个问题交给只认目标函数的求解器，它会在参数被抽空时翻脸：罚款 0、风险 0，它立刻选 \(z=0\)（见 3.2 节）。一个随参数翻转的结论，不能用来决定要不要戴头盔，所以模型里先写 \(z=1\)。

第三，口径必须复核。同一件事，127 算出 576 元/年（1.58 元/天），题面写 3.2 元/天，差 2.0 倍。差在哪、结论会不会变，必须算清楚。

1.3　Gurobi 如何求解

模型只有一个 0-1 变量、一条约束（\(z=1\)），目标是一条两点直线，求解是常数时间。真正的计算量在反复解：基准 1 次、口径对照 4 次、覆盖率扫描 9 次、闷热扫描 3 次、决策网格 42 次、罚款档 3 次，共 135 次 MIP，每次都在毫秒级，总求解时间不到 1 秒。扫描点全部重新建模，不套解析式——这样"换一个参数就换一个模型"，避免手推公式和代码走岔。

2　数学模型

2.1　符号说明

符号	含义	本案取值
\(z\)	是否佩戴头盔，0-1	决策变量
\(p\)	检查点覆盖概率（每天被查）	0.15
\(F\)	未戴单次罚款 / 元	50
\(h\)	头盔闷热成本 / (元/天)	1.0
\(r\)	事故风险增量 / (元/天)	3.2（127 口径 1.58）
\(D\)	年出勤日 / 天	260

2.2　目标函数

不戴的日成本是罚款期望与事故风险之和，戴的日成本只有闷热一项：

\[c(z)=h\,z+(1-z)\,(pF+r)\tag{1} \]

模型求 \(\min c(z)\)。把 \(z\) 取 0 与 1 代进去，两条直线只差一个截距：

\[c(1)=h,\qquad c(0)=pF+r,\qquad \Delta = c(0)-c(1)=pF+r-h\tag{2} \]

2.3　约束条件

法规约束把可行域砍成一个点：

\[z=1\tag{3} \]

为了看"只算钱"会走到哪里，另设一个无约束对照模型（不加式 (3)），它的解只用于解释，不用于决策：

\[z^{\mathrm{money}}=\arg\min_{z\in\{0,1\}}c(z)\tag{4} \]

账面翻转的两个临界值由 \(\Delta=0\) 解出：

\[h^{*}=pF+r,\qquad p^{*}=\frac{h-r}{F},\qquad r^{*}=h-pF\tag{5} \]

年化把日成本乘出勤天数，两种口径的年账差就是口径差乘天数：

\[C_{yr}(z)=D\,c(z),\qquad \Delta_{yr}=D\,(pF+r-h)\tag{6} \]

2.4　规模与性质

1 个 0-1 变量、1 条约束、1 个目标项。这个模型小到不需要求解器，它演示的是"约束先于目标"这件事：式 (3) 一旦写入，\(z=1\) 与参数取什么值无关；目标函数只负责回答"如果只算钱，会怎样"。案例 127 已经用同一个结构讲过一遍（\(z=1\) 管合规、目标管解释），本案把同一结构推到"执法概率"这一维上。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

z = m.addVar(vtype=GRB.BINARY, name="z")
if legal: m.addConstr(z == 1)                             # (3) 法规
m.setObjective(z * heat + (1 - z) * (p * fine + risk), GRB.MINIMIZE)

实现细节：legal 开关只控制那一条约束，其余全部复用。同一个函数被调用 135 次，参数换、模型换、代码不换；这样"127 口径"和"题面口径"跑的是同一个模型，只是 \(r\) 不同，比较才干净。二维热图用解析式铺色（\(\Delta\) 是 \(p\)、\(h\) 的线性函数），网格点再用 Gurobi 逐个复核，两者一致。

3.2　求解结果

表 2　六个模型的解与成本（元/天）

模型	约束	参数	最优 \(z\)	最优成本	合规	可否采纳
基准	\(z=1\)	题面	1	1.00	是	采纳
只算钱	无	题面	1	1.00	是	佐证
只算钱	无	127 口径	1	1.00	是	佐证
只算钱	无	罚款 0、风险 1.58	1	1.00	是	佐证
口径抽空	无	罚款 0、风险 0	0	0.00	否	不可采纳

前四行都选 \(z=1\)：题面口径省 9.7 元/天，127 口径省 8.08 元/天，罚款归零、只留 127 口径风险仍省 0.58 元/天，题面口径则省 2.2 元/天。只有最后一行——把罚款和风险同时抹成 0——求解器才选 \(z^{\mathrm{money}}=0\)。那不是"可以不戴"的证据，是"模型里没有安全"的证据：参数被抽空后它当然只看见 1 元的闷热。所以式 (3) 必须在，且必须在目标之前。

4　结果分析

4.1　结构：1 元与 10.7 元

图 1　戴与不戴的日成本构成（闷热、罚款期望、事故风险）

戴的成本是一根 1.00 元的短棒；不戴是三根棒：罚款期望 7.5、事故风险 3.2，合计 10.7。10.7 对 1.0，差 9.7 元/天，一年（260 天）2522 元。注意三根棒里最长的那根是罚款期望——但它是转移支付，真正沉没的是 3.2 元那根。

4.2　数据全景：覆盖率是斜率，安全是截距

图 2　检查覆盖率与不戴日成本（气泡为年化成本，横线为戴的 1 元）

覆盖率每加 10 个百分点，不戴的日成本涨 \(0.1\times 50=5\) 元，年化涨 1300 元；但这条线的截距（覆盖率 0 处）不是 0，是 3.2 元。图 2 里两条线（题面 3.2 与 127 口径 1.58）都比 1 元线高，一条高出 2.2，一条高出 0.58。斜率是执法强度，截距是安全需求，后者不随前者变。

4.3　方案对比：翻倍的罚款，翻不出结论

图 3　不戴、戴、覆盖率 30%、罚款 0 四种情形的日成本

覆盖率 30% 时不戴 18.2 元/天（罚款期望 15 元，是本案的两倍），覆盖率 50% 是 28.2 元。但把所有罚款拿掉，不戴仍然 3.2 元/天（题面口径）或 1.58 元/天（127 口径），都高于 1 元。罚得越狠只是把"亏"放大，罚得不狠也不改变方向——方向由截距决定，不由斜率决定。

4.4　时序：一年下来差多少

图 4　365 天累计成本：不戴与戴两条直线

两条直线从原点分叉，260 个出勤日差 2522 元，365 个日历日差 3540 元。直线之所以这么"干净"，是因为期望值把"某天被查"抹成了均匀斜率；真实账本是一条阶梯——大部分天贴着 1 元走，某天突然跳 50 元。这个平滑同样是期望制造的幻觉，第 4.9 节把它还原成分布。

4.5　主灵敏度：闷热涨到 10.7 元才翻脸

图 5　闷热成本与罚款额对「是否戴」的影响

把闷热成本从 0.5 拉到 12 元：只要 \(h<10.7\)，戴就一直便宜；越过 10.7 元/天（相当于"闷到愿意每天掏 10.7 元买凉快"），账面才翻。罚款档越低，这条临界线越低：罚款 20 元时临界 6.2，罚款 200 元时临界 33.2。本案 \(h=1\)，离临界还差 9.7 元，安全垫很厚。

4.6　二维分区：什么参数组合才会算出不戴

图 6　闷热成本 × 检查覆盖率的决策分区（圆圈为 Gurobi 判定的不戴格点）

分界线是 \(h=pF+r\)：题面口径（黑实线）从 \((0,\,3.2)\) 出发，127 口径（红虚线）从 \((0,\,1.58)\) 出发。"账面不戴"只出现在左上角——闷热极高、执法极松。本案 \((0.15,\,1.0)\) 的星标落在分界线右下（色块转浅红，意为不戴更贵），离分界线 9.7 元的垂直距离。这块左上角区域即便出现"不戴"的算账结论，也不可采纳：它成立的前提是把安全成本压到零或把闷热成本夸到不真实。

4.7　第三维：执法强度只改斜率

图 7　不同罚款额下，不戴比戴多花的年化金额随覆盖率的变化

三条线在 \(p=0\) 处交于 150 元/年——这是"交警一个都不查"时的净损失，来自纯事故风险（127 口径 1.58 元/天减 1 元）。覆盖率越高线越陡，罚款 200 元在 15% 覆盖下已是 7950 元/年（该曲线后段出界）。这个截距为正，才是我要的结论：合规的安全理由独立于执法强度。 交警撤点，账还是这么算。

4.8　前沿：唯一的零风险端点，也是最低成本

图 8　年化成本—年化风险暴露平面上的可行点与被支配区

横轴年化成本、纵轴年化风险：戴是 \((260,\,0)\)，不戴含罚款是 \((1950,\,410)\)，覆盖率 30% 时更贵。前沿不是点，是一条权衡线——α（合规比例）每降一点，省下的闷热钱都换成风险，斜率是 \(410/1690\)，即"每省 1 元换 0.24 元风险"。两个"不戴"点落在线右侧（阴影区），同风险下更贵，被支配。但这不是"部分戴更优"的论据：α 由法规决定，可行域只有 α=1 这一个端点，线上的中间解对本案不可达；更何况"看情况戴"在事故面前等于没戴——风险不打折，闷热却一天都没省。

4.9　分布：最幸运的一年也不划算

图 9　一年被罚次数随机时的年成本分布与累计曲线

一年 260 天、每天 15% 被查，被罚次数 \(K\sim B(260,\,0.15)\)，均值 39.0 次、P90 46 次。年成本 \(50K+410\) 的均值 2359 元、P10 2010、P90 2710。关键一行：\(P(\text{不戴年成本}<260)=0%\)——即使一次都没被查（概率 \(0.85^{260}\)，小于万分之一），不戴也要 410 元，仍高于戴的 260 元。尾部风险不是"被罚"，是"没被罚也亏"。

4.10　分解：3.2 与 1.58 差在哪

图 10　三种口径下的日成本分解（闷热 / 罚款期望 / 事故风险）

127 的 576 元/年只算了头部重伤：\(0.008\times 0.6\times 120000\)，折 1.58 元/天。题面 3.2 是它的 2.03 倍，多出的 1.62 元/天只能来自 127 没建模的项：头部轻伤（缝针、牙、脑震荡观察）、误工（一天不跑就少一天收入）、差评与超时扣款。三项目前没有独立标定，所以"3.2 是含轻伤与误工的口径、1.58 是只含重伤口径"是目前最省事的解释，它意味着 3.2 更接近骑手的真实账，1.58 是保守下界。取保守下界，不戴仍是 9.08 元/天，年亏 2100 元——结论对口径不敏感。

5　结论

1. 核对通过：不戴 10.7 元/天、戴 1.0 元/天，不戴亏 9.7 元/天，年亏 2522 元（260 个出勤日；按 365 天是 3540 元）。题面的 7.5 + 3.2 = 10.7 实算无误。
2. 口径必须复核：3.2 与 127 的 1.58 差 2.03 倍。 127 只含头部重伤（576 元/年），3.2 应含轻伤、误工、差评。换成 127 口径，不戴 9.08 元/天、年亏 2100 元，仍应戴。
3. 执法强度不是理由。 覆盖率 15%/30%/50% 对应罚款期望 7.5/15/25 元/天，只改变"亏多少"；罚款为 0 时事故风险 1.58 元/天 仍高于闷热 1.0 元/天，年化多花 150 元。合规的安全理由独立于检查点。
4. 账面翻转需要极端参数。 临界闷热成本 10.7 元/天（题面）、9.08 元/天（127 口径），是本案 1 元的 11 倍；临界覆盖率 \(p^{*}=-0.044<0\)，即任何覆盖率下都不该不戴。闷热 0.5/1/3 元、罚款 20/50/200 元全部实测，决策全是"戴"。
5. 必须戴，且是法规与安全的双重要求。 式 (3) 让 \(z=1\) 与参数无关；目标函数在 135 次求解里也几乎总是同意它（例外只有"罚款与风险同时归零"的空模型，那个解不可采纳）。规则与算账同向是最理想的情形，但同向是结果，不是依据——依据是 \(z=1\) 本身。

检查点会撤，风险不会撤，所以头盔不能摘：不戴 10.7 元/天，戴 1.0 元/天，一年差 2522 元；罚款全部拿掉、只用最保守口径，一年仍差 150 元。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kahneman D, Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk[J]. Econometrica, 1979, 47(2): 263-291.
[3] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch_152.py；数据与结果见同目录 data_152.csv / results_152.json，图见 figs/