案例 151　珠江隧道过不去：时变速度下的过江通道选择

摘要：从海珠到荔湾，4 条过江通道里珠江隧道（1.9 km）与洲头咀隧道（2.4 km）禁行，只剩人民桥（2.6 km）和海珠桥（2.2 km）。给 4 条通道配 3 个时段（平峰、早高峰、晚高峰）的速度表，高峰拥堵按通道给系数：海珠桥早高峰达 1.95 倍，人民桥 1.40 倍。0-1 选择模型的解按时段自己变：平峰与晚高峰走海珠桥，早高峰切到人民桥，单次平均 5.795 min。早高峰海珠桥比人民桥慢 1.755 min（25.7%）这一说法经实算成立。核心增量是"时变 vs 平均速度"的对比：用全日平均速度的静态模型两桥只差 0.043 min（0.7%），几乎挑不出胜负，只能选一条走全天，日均多花 13.02 min，月累计 339 min，折 186 元。切换的临界拥塞度是海珠桥早高峰 1.551 倍（+55.1%）。

关键词：时变速度；0-1 通道选择；平均速度谬误；临界拥塞度；过江通道

1　问题提出

1.1　问题是什么

海珠到荔湾隔着珠江，能过车的口子只有四个。珠江隧道 1.9 km、洲头咀隧道 2.4 km 因施工与限行禁行（外卖骑手不得通行），实际可选的是人民桥 2.6 km 与海珠桥 2.2 km。三条硬事实必须同时进模型：一是禁行（两条隧道 \(x=0\)）；二是只能选一条（\(\sum x=1\)，一次过江不会分两半走）；三是速度随时段变（同一条桥，早上 8 点和下午 3 点完全不是一个速度）。

表 1　4 条过江通道与 3 个时段的速度表

通道	长度 / km	平峰速度	早高峰速度	晚高峰速度	早高峰耗时 / min	是否可走
珠江隧道	1.90	40.0	28.6	29.6	3.99	禁
洲头咀隧道	2.40	34.0	23.4	24.3	6.14	禁
人民桥	2.60	32.0	22.9	21.3	6.82	可
海珠桥	2.20	30.0	15.4	21.4	8.58	可

1.2　为什么这值得建模

第一，时变速度让"最近的桥"和"最快的桥"不是同一座。平峰时海珠桥 2.2 km 只要 4.40 min，比人民桥快 0.47 min；到了早高峰，海珠桥是老桥、单侧两车道，非机动车与公交抢道，耗时涨到 8.58 min，反而比人民桥慢 1.76 min。"哪座桥快"是一个随时段翻转的答案，用一次平均速度算不出来。

第二，平均速度是有损统计量。把三个时段的速度平均，6.82 与 8.58 被压成 6.34 与 6.38，两桥只差 0.043 min（0.7%），模型几乎是在噪声里挑一条。这个"差不多"的结论，代价是每天多跑 13.02 min。第三，"该不该换桥"需要一个可操作的阈值，不是"感觉堵了就换"。把海珠桥的早高峰拥堵系数连续拉大，最优通道翻转的那个点就是临界拥塞度：1.551 倍，超过它才值得换。

1.3　Gurobi 如何求解

每个时段建一个 0-1 模型：4 个变量 \(x_k\)、1 条"和多等于 1"的约束、2 条"禁行取 0"的约束，目标是把所选通道的时间加权求和最小化。约束矩阵是单位行向量，LP 松弛天然给整数解，分支定界在根节点收敛，单次求解亚毫秒级。三个时段各解一次；再用"全日平均时间"当系数解一次，得到静态方案；最后对拥堵系数、距离上限做扫描，每个扫描点都重新建模求解，不套用解析式。

2　数学模型

2.1　符号说明

符号	含义	本案取值
\(K\), \(K_0\)	过江通道集合、禁行子集	4 条 / 2 条
\(T\)	时段集合	平峰 / 早高峰 / 晚高峰
\(d_k\)	通道长度 / km	1.90—2.60
\(v_k(\tau)\)	通道 \(k\) 在时段 \(\tau\) 的速度 / (km/h)	15.4—40.0
\(f_k(\tau)\)	拥堵系数，\(v_k(\tau)=v_k^{0}/f_k(\tau)\)	1.00—1.95
\(x_k\)	是否走通道 \(k\)，0-1	—

2.2　目标函数

单条通道在时段 \(\tau\) 的通行时间由长度与当段速度决定：

\[t_k(\tau)=\frac{60\,d_k}{v_k(\tau)}=\frac{60\,d_k\,f_k(\tau)}{v_k^{0}}\tag{1} \]

时段 \(\tau\) 的最优选择是：

\[\min\ Z(\tau)=\sum_{k\in K}t_k(\tau)\,x_k\tag{2} \]

2.3　约束条件

一次过江只走一条通道，且禁行通道取 0：

\[\sum_{k\in K}x_k=1\tag{3} \]

\[x_k=0,\qquad \forall k\in K_0\tag{4} \]

把三个时段的速度先平均掉，就得到"静态"版本——一条桥走全天，这也是不看时段时唯一能做的决策：

\[\bar t_k=\frac{1}{|T|}\sum_{\tau\in T}t_k(\tau),\qquad \min\ \bar Z=\sum_{k\in K_0^{c}}\bar t_k\,x_k\tag{5}\]

式 (5) 与式 (2) 的差就是时变信息的价值。切换的临界拥塞度由两条时间曲线相交解出，令海珠桥的早高峰耗时不高于人民桥：

\[f_h^{*}=\frac{t_p(\text{早高峰})}{60\,d_h/v_h^{0}}=\frac{6.825}{4.400}=1.5511\tag{6} \]

2.4　规模与性质

4 个 0-1 变量、3 条约束，可行域只有 2 个整数点。这个模型小到不需要求解器——但它演示的东西和大型网络完全一样：参数随"时段"这一维变化时，最优解会跳变，而平均参数会把跳变抹平。真正的工作量不在求解，在把三张速度表、两次禁行、一次平均，都摆到同一张表上对比。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

x = m.addVars(NK, vtype=GRB.BINARY, name="x")
m.addConstr(gp.quicksum(x[k] for k in range(NK)) == 1)      # (3) 只选一条
for k in [k for k in range(NK) if BAN[k]]:
    m.addConstr(x[k] == 0)                                  # (4) 禁行
m.setObjective(gp.quicksum(tt[k] * x[k] for k in range(NK)), GRB.MINIMIZE)

实现细节：时间系数按"时段"整体传入，不要在模型里写 \(v\)。solve() 只接收一个长度 4 的时间向量 tt，三个时段、静态平均、拥堵扫描全部复用同一个函数——这样"换一个参数就变一个模型"，也不会出现三处速度表互相打架的情况。

3.2　求解结果

表 2　三个时段的最优通道与静态/动态方案对比

时段	人民桥 / min	海珠桥 / min	最优通道	最优时间 / min
平峰	4.875	4.400	海珠桥	4.400
早高峰	6.825	8.580	人民桥	6.825
晚高峰	7.312	6.160	海珠桥	6.160
三时段合计	19.012	19.140	逐段切换	17.385
静态（一条桥全天）	19.012	19.140	人民桥	19.012

静态模型解出来的是人民桥（日均 6.337 min），和全走人民桥重合；动态方案比它少 1.628 min/组。允许隧道时最优永远是珠江隧道（三时段合计 10.688 min），禁行让每次过江多花 2.232 min。

4　结果分析

4.1　结构：四个口子，两个封死

图 1　4 条过江通道的长度与禁行状态

四条通道里两条隧道更短（1.9 与 2.4 km）也更快（平峰 40 与 34 km/h），但它们被规则封死了。剩下两座桥长度只差 0.4 km，平峰耗时差 0.47 min——这个差距小到任何一点拥堵都能把它抹掉，所以后面所有的讨论都围绕"这 0.4 km 值不值"。

4.2　数据全景：同一座桥，三个速度

图 2　通道长度与三时段通行时间（气泡为拥堵系数）

同一列上的三个点（同一条通道、三个时段）纵向拉开，拉开的幅度就是拥堵系数：海珠桥从 4.40 涨到 8.58（1.95 倍），人民桥从 4.88 涨到 6.82（1.40 倍）。平峰时"距离决定一切"（海珠桥赢），早高峰时"拥堵决定一切"（人民桥赢）——同一条通道两个时段的点被竖线连起来，连线越长，拥堵的代价越大。

4.3　方案对比：动态省 0.54 分钟，一天 13 分钟

图 3　固定一条桥、静态平均最优、三时段动态与允许隧道的对比

全走人民桥 6.337 min、全走海珠桥 6.380 min，两者只差 0.043 min；三时段动态 5.795 min，比静态最优省 0.543 min/次（8.6%）。按每天 24 次过江、每月 26 天算，日损失 13.02 min、月损失 339 min，折 186 元（时间价值 0.55 元/min）。对照柱是隧道可用时的 3.562 min——禁行本身的价格是每次 2.23 min，比"选错桥"贵 4 倍。

4.4　时序：一天换两次桥

图 4　三时段两座桥的通行时间与最优切换点

平峰海珠桥快 0.47 min，早高峰人民桥快 1.76 min，晚高峰海珠桥又快 1.15 min。最优方案一天换两次桥，而任何"固定一座桥"的方案都至少要在两个时段里吃亏：全走海珠桥亏在早高峰，全走人民桥亏在平峰和晚高峰。这就是时变网络最朴素的一课——不是选"最好的桥"，是选"这个时刻最好的桥"。

4.5　主灵敏度：临界拥塞度 1.551

图 5　海珠桥早高峰拥堵系数对最优时间与最优通道的影响

把海珠桥的早高峰系数从 1.00 拉到 2.00：\(f_h<1.551\) 时海珠桥一直赢（靠 0.4 km 的距离优势）；越过 1.551 后最优通道翻到人民桥，最优时间曲线由"上升"改"走平"——因为换桥把继续恶化的那部分切掉了。三档实测：系数 1.20 时最优 5.280（海珠桥）、1.40 时 6.160（海珠桥）、1.60 时 6.825（人民桥）。"拥堵 +40% 还能忍，+60% 必须换"，这个判断现在有了数字。

4.6　二维矩阵：三个时段里谁最快

图 6　4 条通道 × 3 个时段的通行时间矩阵（黑框为该时段最优）

矩阵把"时变"摊开成一张表：珠江隧道全时段最快（2.85/3.99/3.85）却全时段禁行；允许的两行里，海珠桥在平峰与晚高峰最优，人民桥只在早高峰那一格拿到黑框。颜色最深的第二列说明高峰把"距离优势"整个抹掉了：早高峰那一列，2.2 km 的海珠桥比 2.6 km 的人民桥深了两档。

4.7　第三维：反向临界 1.760

图 7　人民桥早高峰拥堵系数对通行时间与换桥收益的影响

上一节问"海珠桥多堵才该换"，这一节问反过来的问题：人民桥自己也堵到什么程度，海珠桥又会赢回来？把人民桥的早高峰系数从 1.00 拉到 1.95，两条曲线在 1.760 处再次相交，此时换桥收益从 0 重新涨起。两个临界值 1.551 与 1.760 一起构成"该走哪座桥"的判据：谁的系数越过自己那条线，谁就出局。本案人民桥 1.40 远低于 1.760，海珠桥 1.95 远高于 1.551，早高峰的人民桥是稳的。

4.8　前沿：短 0.4 km 换 1.76 min

图 8　早高峰的距离—时间前沿与禁行后的不可达区间

把 4 条通道点进（距离，时间）平面：海珠桥 (2.20, 8.58)、人民桥 (2.60, 6.82) 谁都不支配谁——一个更短一个更快，两者都在前沿上。禁行把 1.9—2.4 km 这一整段挖空（阴影），只剩下"多跑 0.4 km 省 1.76 min"这一个交换比可用。这个交换比就是早高峰的决策全部内容：1.76 min 值不值 0.4 km 的油钱和体力。

4.9　分布：换桥不是省均值，是砍尾巴

图 9　拥堵随机波动下两种策略的通行时间分布与累计曲线

给两座桥的拥堵系数各加一个随机扰动（人民桥 \(\sigma=0.10\)、海珠桥 \(\sigma=0.20\)），模拟 6000 次：96% 的情形下人民桥更快，按时段选桥平均省 1.78 min；更要紧的是尾部——90 分位耗时从 9.73 min 降到 7.41 min，砍掉 2.32 min。骑手怕的从来不是均值，是那一单超时；而超时往往就发生在海珠桥堵死的那几个早晨。

4.10　分解：拥堵附加吃掉了距离优势

图 10　早高峰各通道耗时分解（自由流 + 拥堵附加）

海珠桥的自由流只要 4.40 min，比人民桥少 0.47 min；但它的拥堵附加是 4.18 min（95%），人民桥只有 1.95 min（40%）。附加项一加，0.47 min 的距离优势被 2.23 min 的拥堵劣势反超，净输 1.76 min。这就是"时变"两个字的全部算术。

5　结论

早高峰海珠桥确实更慢，且慢得不少。 8.580 对 6.825 min，差 1.755 min（25.7%）；原因是它的拥堵系数 1.95 比人民桥的 1.40 高出 0.55。题目里"海珠桥可能更慢"的说法，在给定速度表下成立。
时变最优一天换两次桥，单次平均 5.795 min。 平峰与晚高峰走海珠桥，早高峰走人民桥。
平均速度会骗人。 静态模型下两桥日均只差 0.043 min（0.7%），几乎随机地选了人民桥；而按时段切换每次省 0.543 min，日省 13.02 min、月省 339 min（186 元）。压缩掉时段这一维，就压缩掉了 9.4% 的效率。
临界拥塞度 1.551（+55.1%）。 海珠桥早高峰系数低于它就继续走海珠桥；"拥堵 +40%"时仍该走海珠桥，"+60%"时必须换人民桥。对称地，人民桥自己的临界值是 1.760。
禁行才是大头。 隧道可用时每次 3.562 min，禁行后 5.795 min，规则的价格是 2.23 min/次，是"选错桥"代价（0.54 min）的 4.1 倍。能优化的只有那 0.54 min，但它是白捡的。

一句话口径：两座桥差 0.4 km，平峰走海珠、早高峰走人民，一天换两次能省 13.0 min；用平均速度算，这个"换"根本看不出来——时变模型的价值不在算得快，在于它看得见"什么时候"。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Ahuja R K, Magnanti T L, Orlin J B. Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications[M]. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1993.

[3] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch_151.py；数据与结果见同目录 data_151.csv / results_151.json，图见 figs/

posted @ 2026-11-13 18:06 小青蛙电气阅读(2) 评论(0) 收藏举报

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案例 151　珠江隧道过不去：时变速度下的过江通道选择

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1　问题提出

1.1　问题是什么

1.2　为什么这值得建模

1.3　Gurobi 如何求解

2　数学模型

2.1　符号说明

2.2　目标函数

2.3　约束条件

2.4　规模与性质

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

3.2　求解结果

4　结果分析

4.1　结构：四个口子，两个封死

4.2　数据全景：同一座桥，三个速度

4.3　方案对比：动态省 0.54 分钟，一天 13 分钟

4.4　时序：一天换两次桥

4.5　主灵敏度：临界拥塞度 1.551

4.6　二维矩阵：三个时段里谁最快

4.7　第三维：反向临界 1.760

4.8　前沿：短 0.4 km 换 1.76 min

4.9　分布：换桥不是省均值，是砍尾巴

4.10　分解：拥堵附加吃掉了距离优势

5　结论

参考文献

公告

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案例 151 珠江隧道过不去：时变速度下的过江通道选择

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1 问题提出

1.1 问题是什么

1.2 为什么这值得建模

1.3 Gurobi 如何求解

2 数学模型

2.1 符号说明

2.2 目标函数

2.3 约束条件

2.4 规模与性质

3 Gurobi 求解实现

3.1 建模要点

3.2 求解结果

4 结果分析

4.1 结构：四个口子，两个封死

4.2 数据全景：同一座桥，三个速度

4.3 方案对比：动态省 0.54 分钟，一天 13 分钟

4.4 时序：一天换两次桥

4.5 主灵敏度：临界拥塞度 1.551

4.6 二维矩阵：三个时段里谁最快

4.7 第三维：反向临界 1.760

4.8 前沿：短 0.4 km 换 1.76 min

4.9 分布：换桥不是省均值，是砍尾巴

4.10 分解：拥堵附加吃掉了距离优势

5 结论

参考文献

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1　问题提出

1.1　问题是什么

1.2　为什么这值得建模

1.3　Gurobi 如何求解

2　数学模型

2.1　符号说明

2.2　目标函数

2.3　约束条件

2.4　规模与性质

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

3.2　求解结果

4　结果分析

4.1　结构：四个口子，两个封死

4.2　数据全景：同一座桥，三个速度

4.3　方案对比：动态省 0.54 分钟，一天 13 分钟

4.4　时序：一天换两次桥

4.5　主灵敏度：临界拥塞度 1.551

4.6　二维矩阵：三个时段里谁最快

4.7　第三维：反向临界 1.760

4.8　前沿：短 0.4 km 换 1.76 min

4.9　分布：换桥不是省均值，是砍尾巴

4.10　分解：拥堵附加吃掉了距离优势

5　结论