案例097 夜里的治安风险
案例097 夜里的治安风险
摘要：23:00 后跑城中村，手机被抢概率上升。按题面口径 \(p_k=0.0008\rho_k\)、一次损失 2950 元（手机 2600 + 停业 350），单均风险成本为 \(2.36\rho_k\)，五片区为 1.18—4.72 元/单，全部低于 5.60 元的单均收益，净收益零点在 \(\rho^{*}=2.37\)，超出 0.5—2.0 的风险区间——所以在期望口径下，20 张单没有一张该拒。以 5 片区 × 4 单的 20 个 0-1 变量建 \(\max\sum\pi_k x_{ik}\)、限单 3 单、排班时长的模型：全接 57.25、限单 54.31、22 点后定价版 53.43、硬禁止版 51.67 元。硬禁止（\(\rho>1.5\) 禁入）与"允许但计入风险成本"在 300 min 以内的排班下给出同一个解，但一致来自运力挤出而非风险定价——越过 302 min 的拐点两版就裂开，本案 330 min 时差 1.76 元/夜。组合口径揭穿期望：硬禁止版月净 1343 元、至少被抢一次 24.8%、\(\mathrm{CVaR}_{0.95}=5128\) 元；定价版多赚 45.76 元/月，却把尾部暴露抬高 1179 元（26 倍）。结论是高风险片区 22:00 后不接，且应写成规则而非逐单权衡。
关键词：风险定价；期望失真的尾部；CVaR；禁入约束；城中村夜班
1 问题提出
1.1 问题是什么
夜里十一点，城中村的巷子只剩外卖箱的灯。这一单 5.60 元，跑完 11 分钟；可这条巷子今年被抢过好几次。题面把这件事写成一个乘式：片区风险系数 \(\rho_k\)（0.5—2.0）乘基准概率 0.0008，得单均被抢概率 \(p_k\)；再乘一次损失 2950 元（手机 2600 + 停业一天 350），得单均风险成本
\(\rho_k=1\) 时 \(c_k=2.36\) 元，也就是题面说的"每单 2.4 元"。五个片区分别是 1.18、1.89、2.36、3.54、4.72 元，最险的棠下村（\(\rho=2.0\)）也只有 4.72 元——一单还赚 0.88 元。于是第一层结论很刺眼：在期望口径下，没有一个片区该拒。
但这道题真正要问的不是"该不该拒"，而是三个更硬的问题。其一，折现的临界点在哪：把净收益令零，\(\rho^{*}=w/(2950\times0.0008)=2.37\)，已经超出了题面 0.5—2.0 的区间，所以期望口径永远给不出"拒绝"。要让临界落回区间，单均收益得降到 4.72 元以下——那是另一门生意（脚注）。其二，硬禁止与定价是不是一回事：22:00 后不许进 \(\rho>1.5\) 的片区，这条规则一旦换成"进也行，按风险成本扣钱"，模型会不会自己走进去？其三，期望是不是够：2950 元一次付清，而单均期望只有 4.72 元，这两件事不在一个数量级上——一个月的账，可能被一次事件改写。脚注：题面另给的"\(\rho>1.37\) 时转负"对应的是单均收益 3.24 元的口径（\(3.24/2.36=1.373\)），不是 5.60 元。5.60 元对应的临界是 2.37，本文一律按 5.60 元实算。
1.2 为什么要优化
三条理由。其一，风险被折成了一个小数：4.72 元/单的算法把 2950 元的一次性打击摊成日供，任何"值不值"的讨论都必须先看清这个摊薄的代价。其二，禁入有两种写法，答案可能不同：写成 \(x_{ik}=0\) 是合规约束，写成 \(-c_kx_{ik}\) 是价格信号，两者在多大概率上等价，要算出来才知道。其三，运力会掩盖风险：高风险片区往往被更早挤出去，于是"禁不禁都一样"，这种一致会让人误以为风险定价有效。
1.3 Gurobi 如何求解
20 个 0-1 变量、最多 10 条约束，四档方案 + 14 次排班扫描共 23 次求解，最长单次 0.002 s；\(2^{20}\) 全枚举复核，差 0（数值零）。组合风险用泊松二项分布卷积（每夜单数 → 月度次数分布）解析计算，2000 种组合逐一评估，不依赖抽样。
2 数学模型
2.1 符号说明
片区 \(k=1,\dots,5\)，单 \(i=1,\dots,4\)；风险系数 \(\rho_k\in\{0.5,0.8,1.0,1.5,2.0\}\)；单均被抢概率 \(p_k=0.0008\rho_k\)；单次损失 2950 元；单均收益 \(w=5.60\) 元；行程时间 \(t_{ik}\)（22:00 前 11—23 min，22:00 后每单加 2 min）；排班 \(T_A=300\)、\(T_B=330\) min；0-1 变量 \(x_{ik}\)。
2.2 目标函数与约束条件
设片区 \(k=1,\dots,5\) 各有 4 张单，\(i=1,\dots,4\)；\(x_{ik}\in\{0,1\}\) 表示接不接。单均收益统一 \(w=5.60\) 元，单均风险成本 \(c_k=2.36\rho_k\) 由式 (1) 给出，单均毛净收益
两个时段各解一次同一批 20 个变量：时段 A 是 22:00 前（排班 300 min、无禁入），时段 B 是 22:00 后（排班 330 min、每单多 2 min、\(\rho>1.5\) 禁入）。主模型为
第二行是运力：一趟夜班能跑多久。第三行是题面的硬禁止，它只在时段 B 生效。这两条约束的性质完全不同：运力是"钱买时间"，风险是"钱买概率"，把它们放进同一个目标函数时，风险被折算成了一个价格——而这正是本案例要检验的地方。临界风险系数由 \(\pi_k=0\) 解出：
因为 \(\rho^{*}>2.0\)，式 (2) 在题面区间内恒正，期望口径的最优解一定是"能接就接"。要谈"该不该拒"，必须换一把尺子。第二把尺子是组合口径：一个月 26 个夜班，第 \(k\) 片区每夜接 \(n_k\) 单，被抢次数 \(M\) 服从泊松二项分布
损失 \(L=2950M\) 是离散的，"最坏 5% 的平均"即 CVaR：
式 (5)(6) 不改变可行域，只改变评判标准：同一个方案，期望说它赚 1343 元，CVaR 说它最坏的 5% 要赔 5128 元。这就是"低概率高损失"下期望口径失真的准确位置。
2.3 规模与性质
20 个二值变量、16 条约束（1 时间 + 5 限单 + 4 禁入 + 6 条上界），可完全穷举。真正的难点不在求解而在尺子：同一个可行域，用式 (2) 判全部该接，用式 (5)(6) 判该拒——模型没错，是"平均值"这个口径在低概率高损失下不够用。
3 Gurobi 求解实现
3.1 建模要点
20 个 0-1 变量、1 条时间约束、5 条限单、最多 4 条禁入，规模小到可以完全复核：\(2^{20}=104.9\) 万个子集全枚举，与 Gurobi 的最优值相差 0（数值零）；23 次求解（4 个方案 + 14 次排班扫描）合计 0.002 s。
m.addConstr(gp.quicksum(x[k, i] for i in range(NI)) <= CAP[k], name=f"cap{k}")
m.addConstr(gp.quicksum(tt[k, i] * x[k, i] for k in range(NJ) for i in range(NI)) <= T)
m.setObjective(gp.quicksum(NETK[k] * x[k, i] for k in range(NJ) for i in range(NI)), GRB.MAXIMIZE)
三个方案只差两处开关：price=True 时把禁入约束换成"照扣风险成本"，T 决定运力。代码没有技巧，全部工作在系数怎么来：风险成本用的是 \(p_k\) 乘一次真实损失 2950 元，不是"罚个红包"；禁入写成 \(x_{ik}=0\)，不是一个可以花钱赎买的罚项。表 1 是逐片区明细。注意两件事：一是风险成本从 1.18 涨到 4.72，涨了 4 倍，但仍低于 5.60 的收益；二是22:00 前模型接了棠下村 2 单（那时没有禁入），22:00 后一单不进。
表 1 五个片区的风险折现（p_k=0.0008ρ_k，单均风险成本=2950p_k）
| 片区 | ρ_k | p_k | 单均风险成本 / 元 | 单均净收益 / 元 | 22 前接单 | 22 后禁入 | 22 后定价 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P1 珠江新城 | 0.5 | 4.00‱ | 1.18 | 4.42 | 4 | 4 | 4 |
| P2 员村 | 0.8 | 6.40‱ | 1.89 | 3.71 | 4 | 4 | 4 |
| P3 冼村 | 1.0 | 8.00‱ | 2.36 | 3.24 | 4 | 4 | 4 |
| P4 康乐村 | 1.5 | 12.00‱ | 3.54 | 2.06 | 3 | 3 | 3 |
| P5 棠下村 | 2.0 | 16.00‱ | 4.72 | 0.88 | 2 | 0 | 2 |
三种口径的结果：全接 20 单 57.25 元（忽略运力，只作上界）、按限单 18 单 54.31 元、22:00 后定价版 53.43 元（17 单）、22:00 后硬禁止版 51.67 元（15 单）。
3.2 求解结果
时段 A（22:00 前）\(x=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0]\)、\(Z^{*}=53.43\) 元；时段 B 定价版 \(x=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0]\)、53.43 元；硬禁止版 \(x=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0]\)、51.67 元。禁入使夜间少 2 单、少赚 1.76 元。
4 结果分析
4.1 结构：风险折现只值 1—5 元
图 1 五个片区的风险系数与单均风险成本：五根棒全在 5.60 元虚线之下，零点在 ρ=2.37 处（图外）
图 1 是本题的体检报告。五根红棒是 \(c_k=2.36\rho_k\)，从 1.18 元到 4.72 元；蓝色虚线是 5.60 元的收益，也就是净收益的零点线。五根棒全在虚线之下，而且离得不远：最险的棠下村离破产只差 0.88 元，最安全的珠江新城还赚 4.42 元。横向看，风险成本随 \(\rho\) 线性涨，但涨得比收益慢——这就是题面那句"高片区单净收益可能为负"的真实含义：它只在 \(\rho>2.37\) 时成立，而题面给的区间上限是 2.0。
图 2 风险系数—单均净收益散点（气泡大小为单均耗时的倒数），盈亏平衡落在 ρ=2.37，本案最险的棠下村仍剩 0.88 元
图 2 换成平面看：横轴 \(\rho\)、纵轴 \(\pi_k\)，气泡大小是单均耗时的倒数（越靠右的片区跑得越快，城中村门牌集中）。五点在一条斜率为 \(-2.36\) 的直线上，整条直线在 \(\rho\le2.0\) 的区间里都在零线之上，交点落在 \(\rho=2.37\)。所以期望口径给出的答案是"全接"，与"这片区夜间不接"的老师傅经验相反。这个反差不是模型错了，而是模型被问错了问题——它只被允许算平均值。
4.2 方案：运力先挤掉风险，禁入再挤一次
图 3 四种口径的夜间净收益：全接 57.25、限单 54.31、22 点后定价版 53.43、硬禁止版 51.67
图 3 四根柱依次是 57.25、54.31、53.43、51.67，每一步都在掉。第一步（全接→限单）掉 2.94 元，是限单规则砍掉棠下村与康乐村各一张单；第二步（限单→定价版）掉 0.88 元，是运力约束再挤掉一张棠下村的单；第三步（定价→硬禁止）掉 1.76 元，是禁入砍掉棠下村剩下的 2 单。三笔账的量级差不多，但性质完全不同：限单是规则、运力是物理、禁入是安全。
图 4 两个时段的接单轨迹（色深为片区风险）：22:00 前棠下村还接 2 单，22:00 后一单不进
图 4 把一夜摊开。22:00 前（实心块）棠下村还接 2 单、康乐村接 3 单；22:00 后（斜纹块）棠下村整行空着，康乐村仍接 3 单，其余三行照旧。这张图说明禁入不是"整晚不做高风险片区"，而是"过了 22:00 就不进"——同一批单，换个时段，结论不同。拒单清单只有 5 张：P5-1 至 P5-4（22:00 后禁入）、P4-4（高风险片区限 3 单），其余 15 单照接。
4.3 灵敏度：一张保单的价格
图 5 单次损失从 1000 调到 7000 元：左轴五条单均净收益，右轴临界风险系数（阶梯）
图 5 把"一次被抢值多少钱"从 1000 元调到 7000 元。左轴五条线全向下走，右轴是临界 \(\rho^{*}=w/(0.0008L)\) 的阶梯：损失越大，能容忍的风险系数越低。读法有三条。其一，本案 \(L=2950\) 元时，最险的棠下村还剩 0.88 元，要等到 \(L\) 涨到 3500 元才转负——手机 2600 元这个数如果换成"手机+一个月误工"，结论立刻翻转。其二，珠江新城这条线在 7000 元时仍赚 2.80 元，低风险片区的抗打击能力来自 \(\rho\) 而不是收益。其三，右轴的阶梯在 \(L=3500\) 元处跨过 2.0，说明"2.0 的片区能不能接"完全取决于一次损失怎么估。
图 6 风险系数 × 单价的接/拒分区，分界线为 单价=2.36ρ，星标 (2.0, 5.60) 落在接单侧但只剩 0.88 元余量
图 6 是二维的取舍地图：横轴 \(\rho\)、纵轴单价，颜色只有两种——接（绿）与拒（红），分界线是 \(w=2.36\rho\)。本案的星标 (2.0, 5.60) 落在绿区，但离红线只有 0.88 元的竖直距离。这张图回答的是"什么情况下该拒"：不是"风险高就拒"，而是"单价压不住风险才拒"。夜间单均价一旦从 5.60 掉到 4.7 元（比如平台补贴退坡），棠下村立刻翻红，康乐村在 3.5 元时翻红。
4.4 硬禁止与定价：一致，但是巧合
图 7 第三维：夜间排班时长扫描，硬禁止与定价两版在 300 min 以内完全重合，330 min 时裂开 1.76 元
图 7 是本题最需要小心的一张。横轴是夜间排班时长，两条曲线在 300 min 以内完全重合，越过拐点（约 302 min）才裂开，本案 330 min 时差 1.76 元。这说明禁入的代价不是常数，而是随运力富余程度从零突然出现的：棠下村的单位时间净收益最低（0.080 元/min，珠江新城 0.221 元/min），运力一紧它先出局，禁不禁都一样；排班一越过拐点，定价版立刻多接 2 单。
所以"硬禁止 vs 经济性定价"的准确关系是：运力紧张时两者等价，硬禁止是零成本的保险；运力富余时定价更激进，它会为了 0.88 元/单的净收益走进去，代价是每夜 1.76 元。而"更激进"未必"更优"——期望上它多赚 1.76 元，见 4.5 节，尾部上它多赔 1179 元。反过来，硬禁止在什么时候过于保守：如果某片区 \( ho\) 很低却因一刀切被排除（本案没有，\(1.5\) 这条线正好切在康乐村与棠下村之间），或者损失被高估到 3500 元以上（图 5）——那时禁掉的是真金白银。
4.5 尾部：期望失真在哪里
图 8 2000 种限单组合的收益—尾部概率平面，前沿只有 19 个点，阴影为超出 20% 预算的区域
图 8 是 2000 种限单组合的收益—风险平面。横轴月净收益、纵轴"至少被抢 1 次"的概率，蓝线是前沿（只有 19 个点）。硬禁止版（X，1343 元、24.8%）与定价版（菱形，1389 元、30.8%）都落在阴影里——两者都超出了 20% 的尾部预算，区别只是超出多少。前沿告诉我们：要把概率压到 20%，月收益只能做到 1236 元（每夜 13 单），比硬禁止版少 107 元。
图 9 月度被抢次数分布与累计概率：硬禁止版至少 1 次的概率 24.8%，定价版 30.8%
图 9 把分布摊开。硬禁止版一个月"一次都没被抢"的概率是 75.2%，被抢 1 次 21.4%，2 次以上 3.4%；定价版把这三个数推到 69.2%、25.5%、5.3%。期望损失只从 841 元涨到 1086 元（每月多 275 元），但 CVaR 从 5128 元跳到 6307 元。为什么差这么多：CVaR 看的是最坏 5% 的平均，当 \(\Pr(M\ge1)\) 已经到 25%—31% 时，尾部几乎全是"两次以上"，而两次就是 5900 元。把两件事放在一起：定价版用 45.76 元/月的期望净收益，换来了 1179 元的尾部暴露。比例 26 倍。这就是期望口径失真的地方——它把 2950 元的一次性打击，摊成了 4.72 元的日供，看起来像一张便宜的保单；而真实的账单是一次付清的。
4.6 分解
图 10 硬禁止方案的毛收益与风险成本分解（按片区），菱形为净收益
图 10 按片区拆。四根蓝柱（毛收益）等高，因为每单都是 5.60 元；红柱（风险成本）从左到右变厚，每单扣 1.18—4.72 元；棠下村因一单不接，柱高为零。净收益（菱形）因此从 17.68 元滑到 6.18 元：珠江新城 4 单赚 17.68 元，康乐村 3 单只赚 6.18 元，棠下村整根柱为零（一单不接）。合计毛收益 84.00 元、风险成本 21.71 元、净 51.67 元——风险吃掉了 26%，而这一部分在只看单量的排班表里是完全隐形的。
5 结论
（1）风险折现的临界是 \(\rho^{*}=2.37\)，不是 1.37。单均风险成本 \(c_k=2950\times0.0008\rho_k=2.36\rho_k\)，五片区为 1.18、1.89、2.36、3.54、4.72 元；净收益 \(\pi_k=5.60-2.36\rho_k\)，全部为正，最险的棠下村剩 0.88 元。题面的 1.37 对应单均收益 3.24 元的另一套口径（\(3.24/2.36=1.373\)），按 5.60 元算是 2.37。
（2）期望口径不会拒单。22:00 前的最优解接了棠下村 2 单；22:00 后的定价版（\(x_{ik}\ge0\) 但照扣 \(c_k\)）接了 2 单棠下村，净收益 53.43 元，比硬禁止版的 51.67 元高 1.76 元/夜。全接、限单、定价、硬禁四档依次为 57.25、54.31、53.43、51.67 元。
（3）硬禁止与定价在 300 min 以内一致，越过 302 min 的拐点才分岔。本案 330 min 下定价版多接 2 单，多赚 1.76 元/夜（月 45.76 元）。判据是单位时间净收益：棠下村 0.080 元/min、珠江新城 0.221 元/min，运力一紧它先出局。运力紧张时硬禁止零成本，运力富余时它才标价——所以"禁入是否昂贵"取决于排班，而不是取决于风险系数。
（4）尾部把结论翻回来。硬禁止版月净 1343 元、\(\Pr(M\ge1)=24.8\%\)、CVaR(95%)=5128 元；定价版 1389 元、30.8%、6307 元。多赚 45.76 元/月，换来 1179 元的尾部暴露（26 倍）。期望损失从 841 涨到 1086 元看着温和，是因为它摊平了 2950 元的一次性打击。
（5）结论：高风险片区夜间不接，是模型与安全的双重建议。模型给出的是"期望上不划算、尾部上更不划算"；安全上，这类损失不是可分散的小额支出，而是不可逆的一次性事件。因此本案把 \(\rho>1.5\) 的片区在 22:00 后整体排除，并把拒单写成排班规则而不是"看情况"——能用规则挡掉的尾部，不要交给概率去赌。
参考文献
[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.
[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
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