案例 096 商家取消订单
案例 096 商家取消订单
摘要：到店发现商家取消或缺货，白跑 8 min 折 1.6 元。平台推"取消费补偿险"：1.0 元/天，每次取消赔 2.0 元。本文建 0-1 期望值模型，用 Gurobi 求"买/不买"，并把补偿口径拆成两档：按损失补偿原则（赔付不超过 1.6 元损失），买险后日成本从 1.44 元降到 1.00 元、日省 0.44 元；若允许超额赔付，日成本降到 0.64 元、日省 0.80 元。题面"\(1.44>1.00\)"的结论只在封顶口径下严格成立。把模型推广到 \(n\) 单，得临界单量 \(n^*=q/(p\bar c)=20.8\) 单——单量低于 20.8 单不该买，这是本案的主结论。方差视角下，买险把标准差从 1.49 元压到 0、CV 从 1.04 压到 0，保险卖的是确定性而非期望。灵敏度显示取消率 1% 时临界升到 62.5 单、6% 时降到 10.4 单，补偿降到 0 则任何单量都不该买。
关键词：保险决策；期望值模型；0-1 规划；临界单量；风险确定性
1 问题提出
外卖小哥骑到商家门口，卷帘门拉着，贴一张纸："今日原料售罄，订单已取消。"这一趟白跑：往返 8 min，电费、折旧和时间成本摊进去按 1.6 元计。这种事不常有，但天天跑就一定会碰上——平台数据显示，广州城区午晚高峰的商家取消（缺货、爆单后砍单、系统重复派单）率约 3%。
平台因此推了"取消费补偿险"：1.0 元一天，当天每遇一次商家取消赔 2.0 元。数字摆在一起很朴素：一天 30 单、取消率 3%，平均被取消 0.90 次，自担白跑 1.44 元；保费只要 1.00 元。1.44 大于 1.00，买。 但"买"这个结论有两处必须抠清楚，否则换个骑手就套错了。
第一处是补偿的口径。 2.0 元的补偿比 1.6 元的实际损失还高。若把补偿当纯收入，买险后每次取消反而赚 0.4 元，日成本 0.64 元；若按保险的损失补偿原则、赔付以填平损失为限，买险后的日成本就是纯保费 1.00 元。两个口径都支持"买"，但省下的钱差 0.36 元/天、一年差 131 元。"1.44 大于 1"这句话，严格成立的是后一个口径。 第二处是单量。 保费按天收、是固定的；白跑损失按单量走、是变动的。日单量掉到十几单，"固定成本靠单量摊薄"的逻辑就反过来了。30 单只是本例的刻度，真正要答的是：一天跑到多少单以上，这 1 块钱才不白花。
表 1 案例 096 的参数与派生量（日均口径）
| 符号 | 含义 | 取值 | 来源 |
|---|---|---|---|
| \(n\) | 日均接单量 | 30 | 当日排班 |
| \(p\) | 商家取消率 | 3% | 平台城区统计 |
| \(L\) | 白跑一趟的损失 | 1.6 元 | 8 min 折算 |
| \(c\) | 每次取消的补偿 | 2.0 元 | 保险条款 |
| \(q\) | 保费（按天收） | 1.0 元 | 保险条款 |
为什么值得当成优化问题。 一是每天都在重复：单日只差一两元，一年 526 元对 365 元、差 161 元，是小额高频的复利结构。二是有临界点：买与不买不是信仰，是可算的单量阈值，阈值以下买险纯亏。三是政策会变：补偿从 2 元降到 0，临界线整体右移直到消失，昨天划算的决策今天就错。 Gurobi 怎么解。 只有 1 个 0-1 变量，走标准四步：（1）建模——"买/不买"记为 \(z\)，随机取消次数换成期望 \(np\)，目标对 \(z\) 线性；（2）预处理——presolve 把目标化成两个常数取小，根节点即定界；（3）分支定界——1 个变量 1 层收敛，NodeCount 通常为 1；（4）参数扫描——\(n\)、\(p\)、\(c\) 各扫一遍，把单点答案变成分区表。单次求解毫秒级，真正的工作量在口径与扫描上。
2 数学模型
设当日接 \(n\) 单、取消率 \(p\)、单次白跑损失 \(L\)、每单补偿 \(c\)、保费 \(q\)，决策变量为是否买险：
当日取消次数 \(K\sim\mathrm{Binom}(n,p)\)，\(\mathbb{E}[K]=np\)。按题面口径（补偿全额抵扣损失），日成本期望与约束为
式 (2) 是 \(z\) 的线性函数，两个端点为 \(Z(0)=npL\)、\(Z(1)=q+np(L-c)\)，最优解必在端点，于是
式 (4) 说明买不买只看期望补偿 \(npc\) 是否超过保费 \(q\)，\(L\) 在两边同时出现而被减掉。这正是期望值决策的干净处，也是它的陷阱：它把 \(c>L\) 的超额赔付当成了利润。 口径修正。 保险的损失补偿原则要求赔付不超过实际损失，实际可抵扣额 \(\bar c=\min(c,L)\)，修正后
当 \(c\ge L\) 时 \(\bar c=L\)、\(Z(1)=q\)：买险后的日成本退化成纯保费，白跑损失被完全填平。此时"\(1.44>1.00\)"才严格成立——左边是自担的期望损失，右边是买断它的价钱。 临界单量：令式 (5) 取等号
即 30 单该买、19 单不该买。风险口径上，无险日成本 \(LK\) 是随机变量，有险（封顶）恒为 \(q\)：
式 (7) 是本例真正想说的一句：保险卖的不是期望，是方差——期望只降 0.44 元，标准差从 1.49 元直接归零。模型规模：1 个 0-1 变量、0 条函数约束、2 项目标。它不难，但口径写错就全错：式 (2) 与式 (5) 只差一处 \(\min\)，日成本差 0.36 元。
3 Gurobi 求解实现
数据为构造示例：日均 30 单、取消率 3%、单次白跑 1.6 元、补偿 2.0 元、保费 1.0 元，全部取自题面；30 天取消序列用 \(\mathrm{Binom}(30,0.03)\) 抽样生成（种子 96），只用于图 4 的累计曲线，不参与求解。
表 2 基准场景的求解结果（Gurobi，1 个 0-1 变量）
| 口径 | \(z^{*}\) | 日成本期望 / 元 | 相对不买节省 / 元 | 分支节点 |
|---|---|---|---|---|
| 不买（\(z=0\)） | 0 | 1.44 | — | — |
| 买险·补偿封顶 | 1 | 1.00 | 0.44 | 0 |
| 买险·补偿全额（题面原式） | 1 | 0.64 | 0.80 | 0 |
建模只有三行，关键是第一个括号：
g = min(c, L) if cap else c # 实际可抵扣的补偿，别漏封顶
z = m.addVar(vtype=GRB.BINARY, name="z")
m.setObjective(prem * z + n * p * (L - g * z), GRB.MINIMIZE)
（1）\(\min(c,L)\) 必须显式写进代码。\(c>L\) 时若不加封顶，模型会把保险当套利工具——每取消一次净赚 0.4 元，\(z^{*}\) 仍是 1，但报出来的 0.64 元是虚构的，它假设平台肯赔超过损失的钱。（2）期望值只能进目标、不能随意进约束。本例没有与 \(K\) 挂钩的约束，故 \(\mathbb{E}[K]=np\) 是精确等价；一旦加上"被取消三次就收工"这类规则，替换即失效，须改场景模型。 （3）闭式解用来校验求解器，而不是取代它。式 (4) 给了解析判据，脚本同时跑 Gurobi 与闭式解，11×21 的网格上抽 12 点对拍，误差 0.0e+00；加上多档保费、多档赔付上限后闭式解写不出来，模型还在。全部 63 次求解合计 1.4 s，单次 Gurobi Runtime 在微秒级、可忽略，远低于 60 s 预算。
4 结果分析
4.1 把口径拆开
图 1 三种口径下的日成本期望（虚线为 1 元保费线）
图 1 把三种算法摆在一根轴上：不买 1.44 元，即 \(npL=0.90\times1.6\)；买险封顶 1.00 元，等于保费，白跑损失被 1.6 元赔付填平；买险全额 0.64 元，因为 2.0 元赔付比 1.6 元损失多 0.4 元，0.90 次共倒赚 0.36 元。题面那句"1.44 大于 1"严格成立的只有中间那根：左边是自担的期望损失，右边是买断它的价钱，两者都是成本、可以直接比。第三根 0.64 元不能拿去跟 1.44 元比——它把保险当成了投资品，而保险的定价逻辑从来不是"赔得比损失多"。结论没错，但省 0.44 元是"填平损失"的省法，省 0.80 元是"超额赔付"的省法，后者是条款红利。
图 2 日均单量与日成本期望（气泡为不买方案的标准差，竖线为临界单量）
图 2 是本案主图。两条直线在 \(n=20.8\) 处交叉：左边不买更便宜，右边买更便宜。19 单时，不买 0.91 元对保费 1.00 元，买险亏 0.09 元；20 单时 0.96 对 1.00、还差 0.04 元，30 单省 0.44 元。气泡大小是不买方案的标准差——30 单时 1.49 元，是均值的 1.04 倍。这条竖线解释了骑手圈那句"跑得少就别买"：保费是按天的固定成本，白跑是按单的变动成本，固定成本要靠单量摊薄。
4.2 三个方案与 30 天账本
图 3 三个方案的日成本期望（实心）与标准差（斜纹）
图 3 把期望与标准差并排：三根实心柱差别不大（1.44 / 1.00 / 0.64），三根斜纹柱差出整整一个量级——不买 1.49 元、全额 0.37 元、封顶 0。方案之间真正的分歧不在"平均花多少"，而在"每天花多少"。用期望值评价一个消除方差的工具，就像用平均温度评价一件羽绒服。
图 4 30 个运营日的累计成本（阶梯，阴影为差额）
图 4 是模拟的 30 天账本：实际遇到 30 次取消（期望 27 次，抽样略偏多）。不买累计 48.0 元、买险 30.0 元，30 天差 18.0 元；按全额口径差 30.0 元。曲线形状值得看：不买是"平（没遇到）和跳（遇到了）"交替，买险是一条 45 度直线。第 10 天不买已累计 17.6 元、买险 10.0 元，中间隔着 7.6 元；30 天里有 9 天零取消，那些天买险是纯亏 1 元，但只要 30 次取消落在剩下的 21 天里，总账就翻不回来。短期看运气，长期看频率。
4.3 临界单量怎么随参数移动
图 5 取消率对临界单量（左轴）与 30 单时是否买（右轴）的影响
图 5 的主曲线就是式 (6)：\(n^{*}=q/(p\bar c)\)，与取消率成反比。取消率 1%（淡季、连锁商家）时临界 62.5 单，30 单的骑手不该买（\(30\times0.01\times1.6=0.48\) 元，小于保费 1.00 元）；6%（雨季、小作坊）时临界 10.4 单，几乎人人该买。右侧阶梯是 30 单时的选择，在 \(p=2.08\%\) 处从"不买"跳到"买"。
图 6 取消率与日均单量的买险分区（黑线为临界线，星号为本案）
图 6 把式 (6) 摊成分区图：红色区该买、蓝色区不该买，黑色临界线是双曲线 \(np\bar c=q\)。双曲线下方的面积远大于上方——对绝大多数"单量不高、取消率一般"的骑手，不买才对。本案星号（30 单、3%）落在红区但紧贴临界线，日省只有 0.44 元，属"该买但赚得不多"的边缘区。这张图比一句结论有用："该不该买取消险"没有统一答案，答案是一条线——同一骑手午晚高峰跑 30 单该买，只跑早茶 12 单就不该买。
图 7 每次取消的补偿额对临界单量（左轴）与日节省（右轴）的影响
图 7 换第三个维度：补偿 \(c\)。三条曲线对应三种取消率，形状都是 \(1/c\) 的双曲线，在 \(c=1.6\) 处折一下——式 (5) 的 \(\bar c=\min(c,L)\) 到顶了，补偿再高也不再抬高临界单量。\(c=0\)（平台取消单独补偿、只剩保费）时临界发散：任何单量都不该买，这正是政策变化最危险的地方。右侧紫色折线是 30 单时日节省，从 \(-1.0\) 元升到 0.44 元后走平，说明超过 1.6 元的补偿对决策毫无价值，不必为"高赔付版本"多付保费。
4.4 买的是确定性
图 8 日成本的期望—标准差平面（灰区期望劣于不买，虚线连前沿）
图 8 最该看。横轴标准差、纵轴期望，三个方案是三点：不买（1.49, 1.44）、封顶（0, 1.00）、全额（0.37, 0.64）。封顶同时压低期望与方差，直接支配不买——相当于把点从右下角搬到横轴原点，期望降 0.44 元、标准差降 1.49 元，这不是权衡、是纯改进。真正的权衡只在封顶与全额之间：全额再省 0.36 元期望，代价是 0.37 元标准差。按 \(\lambda=0.5\) 折成确定性等价 \(\mathbb{E}+\lambda\sigma^{2}\)：不买 2.56、封顶 1.00、全额 0.71，全额仍略胜；要让封顶反超，风险厌恶系数得高过 2.58。买险先解决「该不该买」（封顶支配不买），再解决「买多好」（封顶与全额之间按风险偏好挑）。
图 9 日成本的概率分布与累积分布（不买离散多峰，买险单点）
图 9 是零膨胀分布的标准长相：不买时 40% 的日子一分不花，37% 花 1.6 元，17% 花 3.2 元，尾巴拖到 9.6 元。买险后全部概率质量集中到 1.0 元。两条累积曲线在 1.0 元处交叉：约 40% 的日子不买更省，其余 60% 买险更省——"大概率小赚、小概率大亏"的准确画像。CV 从 1.04 降到 0，不买的 CV 大于 1，意味着波动比均值还大。
4.5 钱去哪了
图 10 三个方案的成本分解（保费 / 净白跑 / 超额补偿）
图 10 把 1.44 元拆成三块：不买全是净白跑；封顶是保费 1.00 元加净白跑 0；全额是保费 1.00 元减超额补偿 0.36 元。从"不买"到"封顶"的边际分解是 \(+1.00\)（保费）\(-1.44\)（白跑消失）\(=-0.44\) 元。 符号很说明问题：保费是唯一确定的支出，白跑是唯一不确定的支出；买险做的事，是把均值 1.44、标准差 1.49 的随机项，换成均值 1.00、标准差 0 的确定项。省下的 0.44 元是这笔交换的手续费返还，真正的商品是那个 0。 决策口径汇总：日均 30 单、取消率 3% 时买，日省 0.44 元、月省 13.2 元、年省 161 元；临界单量 20.8 单，低于它别买。
5 结论
（1）买，但省的是 0.44 元而不是 0.80 元。 按损失补偿原则（赔付不超过 1.6 元损失），买险把日成本从 1.44 元压到 1.00 元，日省 0.44 元、年省 161 元。题面"1.44 大于 1"成立，但它成立的口径是"补偿填平损失"：左边是自担的期望损失，右边是买断它的价钱。按题面原式把 2.0 元全额当收入得 0.64 元、省 0.80 元，数字更大，但那是条款红利、不是保险逻辑，不能当主结论。
（2）临界单量 20.8 单，这才是本案真正的结论。 保费按天收（固定）、白跑按单量走（变动），\(n^{*}=q/(p\bar c)=1.0/(0.03\times1.6)=20.83\)。30 单买险划算（1.44 对 1.00）；19 单不买才划算（0.91 对 1.00，买险亏 0.09 元）。"该不该买"没有统一答案，答案是一条双曲线（图 6）：同一份保险，午晚高峰该买、只跑早茶不该买。
（3）买险买的是确定性，不是期望。 期望只降 0.44 元（降幅 31%），标准差从 1.49 元降到 0（降幅 100%），CV 从 1.04 降到 0。不买时 40% 的日子零成本、其余日子跳一下，这种结构用期望值评价会严重低估保险的价值。
（4）灵敏度：临界线由三个参数共同决定，任一条变动都可能翻转结论。 取消率 1% 时 \(n^{*}=62.5\)（30 单不该买），6% 时 \(n^{*}=10.4\)（人人该买）；补偿从 2 元降到 0，\(n^{*}\) 发散（任何单量都不该买）；补偿超过 1.6 元的部分对临界线没有贡献，不必为"高赔付版本"多付保费。条款变动时，先算临界单量，再决定续不续。
（5）建模层面：1 个变量也能翻车，翻在口径上。 模型只有 1 个 0-1 变量、0 条函数约束、毫秒级求解，63 次求解合计 1.4 s。风险不在求解，而在忘掉 \(\min(c,L)\)——式 (2) 与式 (5) 只差一个封顶，日成本差 0.36 元、年差 131 元。先定口径、再写目标、最后交给求解器，这对"简单到可以口算"的模型尤其重要。
参考文献
[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.
[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
复现方式：python batch_096.py；数据与结果见同目录 data_096.csv / results_096.json，图见 figs/
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