案例094 最小最大后悔
案例094 最小最大后悔
摘要：5 个候选区域、4 个需求情景（写字楼爆单 / 老小区爆单 / 雨天普涨 / 节假日），单量矩阵为构造的示例数据，落在 13—34 单/日。后悔定义为"该情景事后最优（列最大）减去实际单量"，用 \(R_{\max}\ge\max_{i'}R_{i'j}-\sum_iR_{ij}y_i\) 对 4 个情景逐条展开，模型是 6 变量、5 约束的 MILP，Gurobi 在 0.000 s、根节点即定案（0 次分支）：选 B 老城住宅区，后悔上限 10.0 单。三准则给出三个答案——期望最大选 A（25.00 单，最坏后悔 13），min-max 后悔选 B（24.00 单，10），max-min 选 C（最差 21 单，最坏后悔 12）；"最稳"的 B 反而最差单量不如 C，说明稳健不等于最坏。灵敏度给出三条线：后悔界对波动幅度严格线性（λ=0.6 时 6.4、λ=1.9 时 18.1）；CVaR 的临界置信水平在 β=0.75—0.80 之间，β→1 时退化为 min-max；情景数 K 从 4 增到 32，后悔界从 11.28 按 \(\sqrt{2\ln K}\) 升到 15.92，8 情景下界为 12 而实际平均后悔仅 7.38，差额就是保守的保费。
关键词：最小最大后悔；min-max regret 线性化；鲁棒决策；CVaR；机会约束；情景生成；区域驻点
1 问题提出
外卖平台的区域调度有个绕不开的动作：前一天晚上决定第二天把运力（骑手、站点、备用电动车）押在哪个区域。押中了，单量 34 单、骑手跑满；押错了，眼看着隔壁区域爆单，自己这边骑手空转。这就是先决策、后见世界：明天是"写字楼爆"还是"老小区爆"，做决定时并不知道。
决策规则有很多种，本案只问三种。赌一把——按期望单量选，A 商务区 25.00 单最高；最坏情况下最好（max-min）——让最少那天的单量最大，C 大学城最差也有 21 单；最小最大后悔（min-max regret）——不做"事后诸葛亮"的梦，只要求"回头看时别输得太难看"。三者在本案给出三个不同的答案，这才是问题有意思的地方。后悔的定义必须说清楚：情景 \(j\) 下的后悔是该情景的事后最优减去你的实际单量，即 \(r_{ij}=\max_{i'}R_{i'j}-R_{ij}\)。基准是列最大，不是列平均，也不是你自己的历史平均。用列平均做基准，后悔就退化成"比平均差多少"，那就不是后悔了；用行内最大做基准，则每个区域的后悔都是 0，模型彻底失灵。
2 数学模型
设候选区域集合 \(\mathcal{I}=\{1,\dots,5\}\)，情景集合 \(\mathcal{J}=\{1,\dots,4\}\)，\(R_{ij}\) 为区域 \(i\) 在情景 \(j\) 的单量（单/日），\(y_i\in\{0,1\}\) 表示选 \(i\) 驻点，\(R_{\max}\) 为最大后悔。
后悔与目标。
式 (2) 右边那个 \(\max_{i'}R_{i'j}\) 是常数（在建模前就能算出来，等于第 \(j\) 列的最大值），所以整条约束是线性的；情景集有限，\(\max\) 就展开成 \(|\mathcal{J}|\) 条约束。这是 min-max 后悔能被 MILP 直接吃下去的全部原因——取最大的是有限个已知常数，不是决策变量。若基准也随决策变，问题立刻变成非凸。
三个对照模型。 期望最大等价于最小平均后悔：
max-min 最大化最坏情景的单量：
CVaR 与机会约束。 引入情景概率 \(\pi_j\)、置信水平 \(\beta\)，后悔的 CVaR 用 Rockafellar-Uryasev 形式：
机会约束把"后悔不超过 \(\rho\)"的概率按住，\(z_j\) 标记被违反的情景：
\(\beta\to 1\) 时式 (6) 的目标趋近 \(\max_j r_{ij}\)，也就是说min-max 后悔是 CVaR 的极限情形，不是另一种哲学。
3 Gurobi 求解实现
数据是构造的示例，不是真实平台流水，构造逻辑如下：按城市功能把运力市场切成 5 块——A 中央商务区（写字楼密集，工作日午间单量尖峰）、B 老城住宅区（老龄化、居家做饭，恶劣天气反而涨）、C 大学城（学生作息，节假日留校点单）、D 新区产业园（团餐为主，工作日稳）、E 城郊居住区（通勤族，晚间为主）。4 个情景按需求驱动力设定：S1 写字楼爆单（会议与加班）、S2 老小区爆单（下雨不出门）、S3 雨天普涨（全城 +10% 上下）、S4 节假日（写字楼空城、学生留校、居民出游）。数值落在 13—34 单/日：工作日 18—34 单，节假日最低压到 13 单，行内极差 8—21 单。
表 1 5 区域 × 4 情景单量矩阵（单/日，构造的示例数据）
| 区域 | 写字楼爆单 | 老小区爆单 | 雨天普涨 | 节假日 | 均值 | 最差 | 最大后悔 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A 商务区 | 34 | 22 | 31 | 13 | 25.00 | 13 | 13 |
| B 老住宅 | 24 | 30 | 22 | 20 | 24.00 | 20 | 10 |
| C 大学城 | 22 | 21 | 26 | 26 | 23.75 | 21 | 12 |
| D 产业园 | 19 | 26 | 25 | 23 | 23.25 | 19 | 15 |
| E 城郊 | 18 | 25 | 20 | 22 | 21.25 | 18 | 16 |
| 列最大 | 34 | 30 | 31 | 26 | — | — | — |
表 1 最后一行是后悔的基准。四个情景的最优分别由 A、B、A、C 拿到——没有哪个区域在所有情景都最优，这正是后悔存在的前提。
模型只有 6 个变量（5 个 0-1 加 1 个连续）和 5 条约束，Gurobi 在 0.00 s、根节点即定案（0 次分支），40 个模型（三准则 + 18 点 \(\lambda\) + 9 点 \(\beta\) + 30 点机会约束 + 前沿）合计 1.5 s。
三个必须踩过的坑：（1）基准要按列取。写成 \(\max_{i,j}R_{ij}\)（全局最大 34）会让每个区域的后悔都被抬高同一个常数，解不变但目标值失真；写成行内最大则后悔恒为 0。
（2）\(R_{\max}\) 只需下界。目标是最小化 \(R_{\max}\)，它的最优值必然顶到最紧的那条约束上，不需要额外的等式；加 \(R_{\max}\ge 0\) 只是为了让"所有区域都在某情景最优"的退化情形不发散。
（3）别用平均后悔冒充后悔。平均后悔与期望单量只差一个常数 \(\frac{1}{|\mathcal{J}|}\sum_j\max_{i'}R_{i'j}\) 的相反数，两者给出同一个解——表 1 里 A 的平均后悔 5.25 最小，恰好也是期望最大。想让"后悔"真正区别于"期望"，就必须取 \(\max\) 而不是 \(\sum\)。
4 结果分析
4.1 结构：谁在哪个世界里赢
图 1 5 区域 × 4 情景单量矩阵（红星系该区域在该情景最优，顶部为列最大）
图 1 是全部事实的来源。A 在 S1 拿到 34 单、在 S3 拿到 31 单，是唯二的高点；代价写在最后一列——节假日只剩 13 单。B 没有尖峰，但四格都在 20 以上。C 的两头分得很开：平日 21—22 单，节假日 26 单。后悔就是把这张表的每一列"拍平"到列最大，再看每个区域被削掉多少。
图 2 期望单量—最大后悔平面（气泡面积为最差情景单量，三种准则的选点）
图 2 把五个候选点放进"期望—后悔"平面。左上角是理想但不存在的位置；A 在最右（期望最高）、B 在最上（后悔最低但不在顶部）、C 在右下（最差单量最高）。三点互不支配，所以"该选谁"没有唯一正确答案，只有偏好。这也是本案例最该讲清楚的一件事：三个准则不是三个精度，是三个偏好。
图 3 四种准则的期望单量与最坏后悔
图 3 给出四条准则的量化结果：期望最大选 A（期望 25.00、最坏后悔 13）；min-max 后悔选 B（期望 24.00、最坏后悔 10）；max-min 选 C（期望 23.75、最差单量 21、最坏后悔 12）；等权平均（最小平均后悔）选 A，与期望最大完全重合——第四根柱子和第一根一模一样，不是巧合，是上一节那条常数差。"稳健不等于最坏"：B 的最差单量只有 20，比 C 的 21 还低 1 单；B 稳的不是最坏世界，是"最坏世界里的差距"。要最坏情景最好，该选 C；要后悔最小，该选 B。
图 4 连续 60 天固定驻点于同一区域的累积后悔（灰底为后 30 天）
图 4 把"一天"拉成"两个月"。按情景概率抽 60 天，A 的累积后悔 188 单最低，B 是 396 单，E 最差 635 单。min-max 后悔在这 60 天里是输的——因为它保的是最坏世界，而最坏世界在样本里没出现几次。这不是模型错了，是它保的东西本来就不在这条时间线上：它卖的是保险，保险在没出事的时候一定是亏的。
4.2 灵敏度：波动、概率、情景数
图 5 情景波动幅度 λ 对最优后悔（左轴）与选中区域期望单量（右轴）的影响
图 5 把每个情景的单量绕行均值缩放：\(R_{ij}(\lambda)=\bar R_i+\lambda(R_{ij}-\bar R_i)\)。后悔界严格线性：λ=0.6 时 6.4，λ=1.9 时 18.1，正好是 10.67 倍的 λ。原因是后悔对单量的仿射变换是齐次的——列最大与行内偏离同比例缩放，\(\lambda\) 直接从 \(\max\) 里提出来。这解释了一件事：min-max 后悔对"全城单量普涨普跌"完全免疫，它只对情景之间的相对结构敏感。整条扫描线上选点始终是 B，说明基准情景的偏好序在 ±40% 的波动范围内是稳的。
表 2 CVaR 置信水平 β 的扫描（后悔的 CVaR，单位：单）
| β | 0.50 | 0.60 | 0.70 | 0.75 | 0.80 | 0.90 | 0.99 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 选中 | A | A | A | A | B | B | B |
| CVaR | 6.60 | 8.25 | 9.67 | 10.00 | 10.00 | 10.00 | 10.00 |
表 2 是概率进入模型的第一个入口。β=0.50 时只看中位数附近的后悔，选 A（CVaR 6.60）；β 升到 0.70 仍是 A（9.67）；临界值在 β=0.75—0.80 之间：β=0.75 时 A 与 B 的 CVaR 都是 10.00，β=0.80 起 B 独占。β=0.99 时模型已经看不到分布，只看最坏那一格，CVaR 退化成最大后悔 10.00，与式 (2) 完全一致。这就是"min-max 后悔 = CVaR(β→1)"的数值证据：不是两套理论，是同一条曲线上的两个点。
表 3 机会约束 P(后悔 ≤ ρ) ≥ 1−α 下的最优区域（α 行、ρ 列；B 期望 24.00 单，A 期望 25.00 单）
| α \ ρ | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.00 | B | B | B | A | A | A |
| 0.10 | A | A | A | A | A | A |
表 3 是概率的第二个入口，结论更刺眼。α=0（硬约束）时，ρ=12 还能选 B（最坏后悔 10），ρ 一放宽到 13，A 立刻可行；α 只要给到 0.10，整行全部变成 A——因为 A 唯一的深坑在 S4 节假日，而 S4 的概率恰好就是 0.10，一个"例外额度"正好够把它豁免掉。机会约束在偏斜分布下几乎等于没有约束：它按概率给坏世界打折，而打折的那一格正是后悔最大的那一格。
图 6 后悔矩阵（颜色越深后悔越大，蓝框为 min-max 后悔选中的 B 行）
图 6 是 4 情景下拍平后的矩阵。A 的后悔是 0/8/0/13：两个 0 说明它在两个世界里是事后最优，13 说明它在一个世界里输得最惨；B 是 10/0/9/6，最大值只有 10。A 和 B 的差别不在"平均有多好"，在"最坏那一格有多深"——A 的均值 25.00 比 B 的 24.00 高 1 单，代价是最坏那一格深了 3 单。这就是本案的交易：用 1 单/日的期望，买 3 单的后悔上限。情景每加一列，每行的最大值只会变大不会变小——后悔界对情景数是单调的，这就是下一张图的起点。
图 7 情景数 K 从 4 增到 32 时最小最大后悔界的均值（带 5%—95% 抽样带）与相对倍数
图 7 回答"情景越多会怎样"。按行均值加随机尖峰生成 K 个情景，每个 K 重复 150 次：K=4 时界的均值 11.28，K=8 时 13.70（×1.21），K=32 时 15.92（×1.41）。增长是对数型的——极值的期望随样本量按 \(\sqrt{2\ln K}\) 走，情景翻倍只让界涨 0.3—0.5 单，但永远不会回落。用显式的 8 情景矩阵（加 S5 补贴战、S6 高温、S7 开学季、S8 竞对退出）核对：后悔界从 10 升到 12，选点仍是 B，但 B 在那 8 个情景里的平均后悔只有 7.38，比界低 4.62 单。界保的从来不是平均值，差距就是保守的价格：情景越多，价格越贵，而买到的仍然是"某一个可能永远不来的世界"。
4.3 前沿、分布与分解
图 8 期望—后悔的帕累托前沿（混合驻点策略，右侧阴影为期望不可行区）
图 8 换个问法：把 \(y\) 放松成"按天轮换的比例"\(p_i\in[0,1]\)，后悔界就成了 \(\max_j(\max_{i'}R_{i'j}-\sum_iR_{ij}p_i)\)，仍然是线性的，于是可以得到一条连续前沿。前沿在 ρ=10 处的期望是 24.71 单——比纯策略 B 的 24.00 单多 0.71 单，后悔界同样是 10：混合策略用"今天 B、明天 A"的方式白拿了期望。继续放宽：ρ 从 10 到 11 只多换 0.10 单，11 到 13 再换 0.10 单，ρ=13 时顶到 25.00（纯 A）为止。后悔的边际价格约是 10:1——多让 1 单后悔，只换回 0.1 单期望；这也是为什么"再稳一点"和"再搏一点"的争论常常谈不拢：两边换的东西量级差一个数量级。
图 9 选中区域 B 的后悔频率（柱）与三个区域的后悔累计分布（线）
图 9 看分布。B 的后悔只在 0、6、9、10 四个值上取值，累计分布是四级台阶；A 的台阶跨到 13，C 跨到 12。三条 CDF 在 0.9 分位处交叉：分位低于 0.75 时 A 的曲线最靠左（大多数日子后悔更小），分位高于 0.85 时 B 的曲线在最左。这正好把表 2 的临界 β 画了出来——"谁更好"取决于你问的是第几分位。
图 10 各区域后悔的情景分解（堆叠），方框为 min-max 后悔选中的 B
图 10 把每个区域的后悔拆回情景。B 的 10 单里，S1 贡献 10（10）、S3 贡献 9、S4 贡献 6、S2 贡献 0；A 的 13 单几乎全部来自 S4（13 单，占 100%）。后悔的构成决定了它的性质：A 的后悔是"单点灾难"——只要节假日不出现，它一直是赢家；B 的后悔是"分散磨损"——每个情景都差一点，但没有一处塌方。前者适合"我赌明天不是节假日"，后者适合"我不知道明天是什么"。
三个具体的误用方式，本案都能给出数字。第一，把"稳"理解成"最坏情况最好"：B 的最差单量 20 反而低于 C 的 21，如果目标是"最坏那天别太惨"，该选 C 而不是 B。第二，把后悔基准取成平均：一旦用列平均，最小平均后悔与最大期望是同一个解（都选 A），"后悔"这个框架就白引入了。第三，情景集失衡：8 情景里 B 的界从 10 涨到 12，而它在这 8 个情景下的平均后悔只有 7.38——界涨得比实际体验快，这正是"保守"的代数含义。反过来说，min-max 后悔真正擅长的是事后问责：无论明天哪个区域爆单，选 B 的人最多被问一句"你为什么不多押 10 单"，而选 A 的人在节假日要被问"你为什么押了 34 单的运力"。这是 KPI 语言，不是收益语言——选哪个准则，本质上是在选"事后向谁解释"。
5 结论
（1）最优驻点：B 老城住宅区，后悔上限 10.0 单。模型 6 变量、5 约束，Gurobi 0.000 s、根节点即定案（0 次分支），全部 40 个模型合计 1.5 s，远低于 60 s 预算。
（2）后悔的基准必须是列最大。\(R_{\max}\ge\max_{i'}R_{i'j}-\sum_iR_{ij}y_i\) 对每个情景展开；基准是常数，所以 min-max 是纯 MILP，不需要任何非线性技巧；用平均做基准会退化成"期望最大"，两者是同一个解。
（3）三准则三个答案：期望最大选 A（25.00 单，最坏后悔 13）；min-max 后悔选 B（24.00 单，最坏后悔 10）；max-min 选 C（最差 21 单，最坏后悔 12）。稳健不等于最坏——B 的最差单量比 C 还低 1 单，它稳的是"差距"而不是"下限"。
（4）概率进模型后，min-max 是极限：CVaR 的临界置信水平在 β=0.75—0.80（β=0.75 时 A、B 的 CVaR 都是 10.00），β→1 时 CVaR 退化为最大后悔；机会约束在偏斜分布下几乎失效，α 只要 0.10 就足以豁免 A 唯一的深坑（S4 概率恰为 0.10）。
（5）情景越多越保守：后悔界 K=4 时 11.28、K=8 时 13.70、K=32 时 15.92，按 \(\sqrt{2\ln K}\) 上升且永不回落；8 情景下 B 的界是 12 而其平均后悔只有 7.38，差出来的 4.62 单就是"买保险"的保费。混合驻点前沿在 ρ=10 处即可做到 24.71 单，比纯 B 多 0.71 单——真正的改进不在换准则，在允许轮换。
参考文献
[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.
[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
复现方式：python batch_094.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/
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