案例093 罚款不是一条直线
案例093 罚款不是一条直线
摘要：8 单、一台车、三档阶梯罚金：超时 0—5 min 扣 1.5 元，5—15 min 扣 3.5 元，超过 15 min 扣 8 元并降级（折算 60 元）。用顺序变量 \(y_{ij}\)、完成时刻 \(C_i\) 与三组 0-1 变量 \(u_{i,1},u_{i,2},u_{i,3}\) 建模，罚金按累积差值 1.5/+2/+4.5 叠加，降级用指示约束 \(\sum_i u_{i,3}\ge 1\Rightarrow z=1\) 一次性计 60 元。Gurobi 求得最优顺序 O1 → O7 → O6 → O3 → O8 → O2 → O4 → O5，总罚金 79.5 元（逐单 19.5 + 降级 60），里程 40.00 km。四组反面实验给出具体数字：直接按 1.5/3.5/8 相加总额 91.0 元（多算 11.5）；漏掉 \(u_3\le u_2\le u_1\) 得 75.5 元（虚低 4.0）；门控误写成 60 min 得 10.5 元；降级按单计得 139.5 元。灵敏度显示一档阈值 1→10 min 时罚款 79.5→74.0 元，二档阈值 12→30 min 时从 76.5 元断崖跌到 15.5 元，目标函数非凸、LP 松弛弱。
关键词：三档阶梯罚金；累积差值；指示约束；降级成本；非凸目标；VRPTW
1 问题提出
8 单、一台车、一条城区路网。每单有一句承诺，晚到不是"每分钟多少钱"，而是跳档：超时 0—5 min 扣 1.5 元，5—15 min 扣 3.5 元，超过 15 min 扣 8.0 元并降级——降级不是罚金，是失去接单资格，平台折算 60 元。三档之外还有一个隐藏条款：超时超过 60 min 的单直接判为配送失败。
罚金的形状决定了这个案例的全部难点。它不是一条直线，是一张三级台阶；台阶不能用一个连续变量乘斜率写出来，只能用 0-1 变量叠加。叠加的方式有两种：把 1.5、3.5、8 三个数直接相加，或者把 1.5、2、4.5 三段累积差值相加。两种写法在只超一档时都是 1.5 元，从二档起就分叉：二档单被算成 1.5+3.5=5 元，三档单被算成 13 元——本案 2 单落进第三档，直接相加会把总额从 79.5 元算成 91.0 元。更隐蔽的错误是漏掉档位之间的单调关系 \(u_{3}\le u_{2}\le u_{1}\)：漏掉之后，模型会让一单"只判三档、免掉一档"，用 4.5 元买断一次 8 元的处罚，总额虚低到 75.5 元。
本案例要求把这两种错法都跑出来，给出具体数字，而不是只说"要注意"。
2 数学模型
设客户集合 \(\mathcal{N}=\{1,\dots,8\}\)，\(0\) 为站点。\(t_{ij}\) 为行程时间（min），\(s=4\) 为单点服务时间，\(D_i\) 为承诺时刻，\(\ell_i=C_i-D_i\) 为超时分钟数。
顺序与时间。 \(y_{ij}\in\{0,1\}\) 表示 \(i\) 紧接 \(j\)，\(C_i\) 为完成时刻：
式 (2) 只给下界，沿被选中的弧时间严格递增，因此不会出现子回路，也不需要额外的子回路消除约束。
三档罚金。 \(u_{i,1},u_{i,2},u_{i,3}\in\{0,1\}\) 分别表示"吃到一档 / 二档 / 三档"。门控的写法是"下一档没买，就封在上一档的边界上"：
降级是一次性成本。 只要有任意一单进了第三档，降级就发生一次，付 60 元；不是每单都付。引入 \(z\in\{0,1\}\)：
目标。 用累积差值 \(1.5,\ 2,\ 4.5\)，而不是 1.5/3.5/8：
三档都吃满时 \(1.5+2+4.5=8\)，正好是合同上的第三档罚金；直接写 \(1.5+3.5+8=13\) 就把同一笔钱收了两遍。式 (5) 是这套写法的逻辑骨架：\(u_{3}=1\) 必须带着 \(u_{1}=u_{2}=1\) 一起出现，否则 4.5 元就能买到 8 元的额度。
3 Gurobi 求解实现
模型有 72 个顺序变量、8 个完成时刻、25 个 0-1 变量，Gurobi 在 3.42 s、12378 个分支节点内求到最优。目标后加 \(0.001\times\) 里程做字典序近似：最多 0.05 元，改不动 1.5 元的档差，只在等罚方案里挑一条短路，保证报告里的顺序可复现。
大 M。 任意路径的完成时刻不超过最长的 8 段行程加 8 次服务，得 \(\bar C=171.5\) min；式 (3)(4) 取 \(M=\lceil\bar C\rceil=172\) 即绝对安全。本案实际最大超时只有 55.0 min，\(M\) 取 80 已足够，取 172 只是不想让读者去猜。
表 1 四种写法的对照（同一算例）
| 写法 | 单档系数 | 总额 / 元 | 偏差 |
|---|---|---|---|
| 累积差值（正确） | 1.5 / +2 / +4.5 | 79.5 | — |
| 直接相加 | 1.5 / 3.5 / 8 | 91.0 | +11.5 |
| 漏 u₃≤u₂≤u₁ | 1.5 / +2 / +4.5 | 75.5 | -4.0 |
| 门控误写 60 | 1.5 / +2 / +4.5 | 10.5 | -69.0 |
| 降级按单计 | 1.5 / +2 / +4.5 | 139.5 | +60.0 |
表 1 的第四行是把第三档门控写成 \(\ell\le 60+M u_3\) 的结果。60 是降级上限、不是档位边界；以它为门控，\(u_3\) 永远不会被触发，所有 15—60 min 的超时都按 3.5 元收，总额 10.5 元、降级 0 单。第五行把 60 元按单收（\(60\sum_i u_{i,3}\)），本案 2 单降级就要付 120 元，总额 139.5 元，比正确值高 60.0 元——存在性成本只能乘一次。
4 结果分析
4.1 阶梯与落点
图 1 三档罚金阶梯（实线）与档位累计值 1.5/3.5/8（棒棒糖），箭头为档间增量 +2、+4.5
图 1 是本案的"定价表"。曲线在 0、5、15 min 三处跳，跳幅分别是 1.5、2、4.5；三个累计值 1.5、3.5、8 是棒棒糖的高度，增量才是系数。这张图解释了为什么目标里的系数是 1.5/2/4.5：它是台阶的"层高"，不是台阶的"海拔"。把海拔当系数相加，第三档就变成 13 元。
图 2 8 单在超时—罚金平面上的落点（气泡面积为完成时刻）
图 2 把最优解逐单放进这张定价表。3 单计罚且全部越过 5 min，其中、2 单越过 15 min，最长超时 55.0 min。落点分两簇：O4 超时 55.0 min，深陷第三档，8 元之外还拖出一次 60 元降级；另一簇只有一单停在 5—15 min 之间（ 11.0 min），属于"再慢一点就跳档"的临界单。优化的着力点全在这些临界单身上：把 15.4 min 压到 14.6 min 能省 4.5 元（若它同时是唯一的降级单，还能连带省掉 60 元），把 12 min 压到 11 min 一分不省。
图 3 三种写法的罚款总额对比
图 3 是三种写法的总额。正确写法 79.5 元；直接相加 91.0 元，多算 11.5 元——两个三档单各被算成 13 元（而非 8 元），一个二档单被算成 5 元（而非 3.5 元）；漏掉 \(u_3\le u_2\le u_1\) 得到 75.5 元，虚低 4.0 元，假解里 O4 超时 55.0 min，却只记 \(u_3=1\)、\(u_1=u_2=0\)，付 4.5 元。这不是数值误差，是逻辑漏洞：模型发现"只买最贵那一档的增量"比"买满三档"便宜，于是主动跳过了前两档。
4.2 时序与灵敏度
图 4 最优顺序下的完成时刻（实线）与各单的承诺+5、承诺+15 线
图 4 把顺序摊平。蓝线在 O1 处远低于承诺线，中段开始贴近"承诺+5"，末段有两单冲破"承诺+15"。超时是累积的：前段每慢 1 min，后段全部顺延 1 min，所以把最紧的单往前挪的收益不是线性的，而是"救一单、赔一串"。
图 5 一档阈值 1—30 min 对罚款总额（左轴）与计罚单数（右轴）的影响
图 5 扫一档阈值。1 min 与 5 min 完全不动（79.5 → 79.5 元），因为现有方案的超时全部在 11 min 以上，5 min 这条线根本没碰到；放到 10 min 后 5—10 min 区间的超时改按 1.5 元收，模型换成另一条路线、只保留 1 单三档，总额降到 74.0 元，此后到 30 min 不再变化（74.0 元）。右轴的计罚单数反而从 3 单升到 5 单——放宽阈值不是让人免罚，而是把二档罚单降成一档罚单。剩下的 14.0 元是逐单罚金，加上 60 元降级，都与一档阈值无关，所以曲线在这里彻底走平。
图 6 一档阈值 × 超时量的罚金档位热图（星号为本案 5 min）
图 6 把"定价表"和"阈值"放进同一张图：横轴是超时量，纵轴是一档阈值，颜色是单档罚金。三条色带的分界是一条斜率为 1 的直线 \(\ell=\theta_1\)——阈值抬高，一档区整体右移。这张图没有连续过渡，只有四个离散色块，说明罚金对参数的导数几乎处处为零、在边界处无穷大；这正是阶梯罚金让梯度类方法失效、也让 LP 松弛很弱的原因。
图 7 二档阈值 12—50 min 在三种档间差额系数下的罚款总额
图 7 动第二个参数：把 +2 与 +4.5 同乘系数 0.5、1、1.5，同时扫描二档阈值。\(\theta_2=12\) 时三线相差 14.2 元，抬到 20 min 仍差 10.5 元；抬到 30 min 时整组曲线从 76.5 元跌到 15.5 元——模型换了一条顺序，把两单 50 min 以上的超时压到 15 min 内，60 元降级被整笔省掉，剩下的差别只是档间差额本身。再抬到 40、50 min 只剩 12.0 元的一档罚款。阈值决定"要不要付 60 元"，差额只在付之前决定付多少；一旦跨过临界值，曲线的落差由 60 元主导，差额系数退居次要。
4.3 前沿、分布与分解
图 8 里程预算—最小罚款前沿（阴影为里程不可行区）
图 8 换一个问法：给定里程预算，罚款能压到多少。预算低于 34.0 km 无可行路径（阴影）；34 km 时最小罚款 84.5 元，比无预算约束多 5.0 元；放宽到 37 km 降到 80.0 元，42 km 才回到 79.5 元，再放到 50 km 一分不降。前沿只在 34—42 km 之间跳两次，之后水平——里程与罚款之间只有两个可交易的点，越过它们，多跑的路换不回任何罚款。
图 9 超时分钟分布（柱）与累计分布（线），虚线为 5/15 min
图 9 看分布。3 单有超时，分别是 55 / 52 / 11 min，其余 5 单提前或准时。分布被 15 min 劈成两段：1 单在 5—15 min（可救），2 单在 15 min 以上（结构性）。累计曲线在 15 min 处几乎垂直——这 2 单只占 25% 的单量，却触发了全部降级并吃掉 87% 的罚金。
图 10 逐单罚金堆叠（一档 1.5 / 二档 +2 / 三档 +4.5）与降级 60 元
图 10 按单拆账：逐单罚金合计 19.5 元，降级 60 元，总额 79.5 元。60 元占 75%，是最大的一笔，而它只由一单触发。这解释了模型的"怪异"行为：为了不降级，它宁可让某单多超 14 min；一旦降级无法避免，那一单的超时分钟数就彻底无所谓了——阈值型成本让目标函数在 15 min 处出现断崖，断崖右侧的目标值对超时量不敏感。
4.4 为什么这是非凸问题
把罚金看作超时量的函数：它在 [0,5] 上取 1.5、在 (5,15] 上取 3.5、(15,60] 上取 8，每一步都是向上跳，函数的次梯度在跳点处不存在，整体既不凸也不连续。LP 松弛把 \(u\) 放到 [0,1]，最优解会取 \(u=0\) 或分数端点，松弛下界就是"全部免罚"的 0 元，与整数最优差 79.5 元——松弛一点用都没有。可行的做法只有两条：把阶梯拆成 0-1 变量（本案），或者对每一档单独建子问题再比较。前者靠 Gurobi 的分支定界，8 单 25 个 0-1 变量在 1 s 内可解；后者在 8 单时已经要枚举 4 种档位组合。
顺带一个反例：若把降级写成 \(60\sum_i u_{i,3}\)，2 单降级就要付 120 元，总额 139.5 元。存在性成本与逐单成本相乘，是这类"一次性罚则"最常见的重复计费。
5 结论
（1）最优顺序 O1 → O7 → O6 → O3 → O8 → O2 → O4 → O5，总罚金 79.5 元：逐单 19.5 元（一档 3 单、二档 3 单、三档 2 单）加降级 60 元，里程 40.00 km。
（2）阶梯要用累积差值写：系数是 1.5、+2、+4.5，累计才是 1.5/3.5/8。直接按 1.5/3.5/8 相加，一单三档要收 13 元，本案总额从 79.5 元虚增到 91.0 元（+11.5）。
（3）\(u_3\le u_2\le u_1\) 不能漏：漏掉后模型用 4.5 元买断 8 元档位，给出 75.5 元的假解，虚低 4.0 元，且解里出现"三档=1、一二档=0"的荒谬组合。
（4）降级是指示约束：\(\sum_i u_{i,3}\ge 1\Rightarrow z=1\)，60 元只付一次。写成 \(60\sum_i u_{i,3}\) 会多付 60.0 元。
（5）灵敏度：一档阈值 1→10 min 时罚款 79.5→74.0 元，之后到 30 min 不再变化；二档阈值 12→30 min 时罚款从 76.5 元断崖式跌到 15.5 元。阶梯罚金使目标非凸、LP 松弛弱，只能靠 0-1 建模加分枝定界。
参考文献
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复现方式：python batch_093.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/
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