案例092 投诉率红线

案例092　投诉率红线

摘要：平台规定投诉率超过 0.5% 就限流，骑手日均 32.55 单的能力上限下投诉率只有 0.165%。把「投诉率」写成 \(pn\le\theta n\) 后约去 \(n\) 得 \(p\le\theta\)，再代入疲劳关系 \(p=p_0+kn\)，解出 \(n\le200\) 单——这条看似最要紧的红线，在 32.55 单处留了 3.0 倍余量，是彻底的冗余约束：Gurobi 给它的影子价格恰为 0，删掉它最优解一动不动。真正卡住单量的是 10.5 h × 3.1 单/h = 32.55 单的配送能力。但把红线从「比率」换成「次数」（日投诉 ≥1 单的概率不超过 5%），同一个 0.5% 精神立刻变成真约束：\(n^*\) 从 32.55 降到 31.46 单，收入少 6.11 元/天。阈值也给出：比率红线低于 0.165%、次数红线低于 5.24% 才有约束力。

关键词：冗余约束；比率约束化简；影子价格；IIS 诊断；二项尾概率

1　问题提出

1.1　问题是什么

平台的限流规则写在合同里：日投诉率超过 0.5%，次日进限流池。骑手这一天的账很简单——每单净赚 5.6 元，多跑一单多赚 5.6 元，所以想跑得越多越好；但跑得越多越累，越累越容易出岔子，投诉概率随单量上升：

\[p(n)=p_0+kn=0.001+2.0e-05\,n\tag{1} \]

题面给的日均 55 单要按 3.1 单/h 折算需要 17.7 小时连续作业，已经超出单人单平台的体力可行域；本案取 10.5 小时有效在线，能力上限 \(n_{cap}=10.5\times3.1=32.55\) 单。这条能力上限是后来全部结论的分水岭。

表 1　参数与派生临界值

| 项目 | 符号 | 取值 | 含义 | |---|---|---|---| | 基准投诉概率 | $p_0$ | 0.001 | 单量趋于 0 时的投诉率 | | 疲劳斜率 | $k$ | 2.0e-05 | 每多一单，投诉概率上升量 | | 投诉率红线 | $\theta$ | 0.5% | 平台限流门槛 | | 次数红线 | $\alpha$ | 5% | 日投诉≥1 单的概率上限 | | 单均净收益 | $b$ | 5.6 元 | 目标函数系数 | | 能力上限 | $n_{cap}$ | 32.55 单 | 10.5 h × 3.1 单/h | | 比率失效阈值 | $n_{cut}$ | 200 单 | 红线开始起作用的最小单量 | | 临界红线 | $\theta_{crit}$ | 0.1651% | 低于此值比率约束才有约束力 | | 临界容忍度 | $\alpha_{crit}$ | 5.2364% | 高于此值次数约束才冗余 |

1.2　为什么要优化

其一，红线是不是真约束，凭感觉一定判错。 0.5% 听上去离得很近，但把它和 \(p(n)\) 的斜率放在一起算，交点落在 200 单，是能力上限的 6.1 倍。其二，口径决定结论。「投诉率 ≤ 0.5%」和「一天不超过 0 单投诉」在口语里是同一句话，在数学上是两个完全不同的可行域——前者是均值约束，后者是分位数约束，后者含 \(n\) 次幂。其三，约束冗余的判别要能自动化。 170 个案例里有一半约束是白写的，靠肉眼挑不出来，需要影子价格和 IIS 这类工具做体检。

1.3　Gurobi 如何求解

三步。第一步把 \(pn\le\theta n\) 化简成线性 \(p\le\theta\)，建两变量 LP 求解，读约束的影子价格——影子价格为 0 就是冗余的机器判据。第二步用字面双线性形式 \(pn\le\theta n\)（NonConvex=2）独立求解一遍，验证化简没有改变最优值；再把能力上限人为放到 250 单，看模型自己停在哪。第三步做 IIS：把 \(n\ge201\) 写进约束，模型必不可行，computeIIS() 会指出到底是哪几条约束在打架。次数口径不做线性化，直接对单调方程二分。

2　数学模型

2.1　符号说明

日单量 \(n\ge0\)；单均投诉概率 \(p\ge0\)；基准概率 \(p_0=0.001\)；疲劳斜率 \(k=2.0e-05\)；投诉率红线 \(\theta=0.005\)；次数红线 \(\alpha=0.05\)；单均净收益 \(b=5.6\) 元；能力上限 \(n_{cap}=32.55\) 单；限流损失 \(\Lambda=218.74\) 元。

2.2　目标函数

一天的收入与单量成正比，没有固定成本，也没有规模报酬：

\[\max\ Z=bn=5.6\,n\tag{2} \]

2.3　约束条件

投诉率的定义式与平台红线分别是

\[p=p_0+kn\tag{3} \]

\[pn\le\theta n\tag{4} \]

式 (4) 是本案例的全部戏肉。\(n>0\) 时两边同除 \(n\)（\(n=0\) 时式 (4) 自动成立），得

\[p\le\theta\iff p_0+kn\le\theta\iff n\le\frac{\theta-p_0}{k}=\frac{0.005-0.001}{2.0e-05}=200\tag{5} \]

再补上能力约束：

\[n\le n_{cap}=\rho T=3.1\times10.5=32.55\tag{6} \]

\[n^{*}=\min\left\{n_{cap},\ \frac{\theta-p_0}{k}\right\}=\min\{32.55,\ 200\}=32.55\tag{7} \]

式 (7) 就是本案的判决书：200 与 32.55 差了一个数量级，红线根本没参与决策。式 (4) 的右端写成 \(\theta n\) 不是文字游戏——它把「率」的定义原样搬进了约束，正因为右边也跟着 \(n\) 长，两边才约得掉；若写成 \(pn\le\theta\)（把分子当绝对次数），约束就变成 \(n(p_0+kn)\le\theta\)，那是另一个模型，见 2.4。

2.4　次数口径：同一句红线的另一种数学

「日均 55 单，最多容忍 0 单投诉」在概率意义上是至少一单投诉的概率不超过 \(\alpha\)：

\[P(K\ge1)=1-(1-p)^{n}=1-\left(1-p_0-kn\right)^{n}\le\alpha\tag{8} \]

式 (8) 左端对 \(n\) 单调递增（\(p\) 本身也在涨），所以 \(n^{*}\) 是方程 \(1-(1-p_0-kn)^n=\alpha\) 的唯一根，用二分求得 \(n^{*}_{cnt}=31.46\) 单。它和式 (5) 的 200 单没有任何关系：一个是「平均每单的投诉率」，一个是「一天里一次都不许出事的概率」，\(n\) 在后者里是指数。两者在同一组参数下的差：

\[\Delta n=n_{cap}-n^{*}_{cnt}=32.55-31.46=1.09\ \text{单/天}\tag{9} \]

2.5　两条红线的临界值

比率红线什么时候才开始卡人？令式 (5) 的右端等于能力上限：

\[\theta_{crit}=p_0+k\,n_{cap}=0.001+2.0e-05\times32.55=0.1651\%\tag{10} \]

次数红线同理，令 \(n=n_{cap}\) 代入式 (8)：\(\alpha_{crit}=5.2364\%\)。这两个数字把参数空间切成「有约束力／冗余」两半：\(\theta\ge0.165\%\) 时比率约束是废纸，\(\alpha\ge5.24\%\) 时次数约束也是废纸。本案 \(\theta=0.5\%\) 落在废纸区的第三倍处，而 \(\alpha=5\%\) 只比临界值低 0.24 个百分点——同样的 5% 精神，一个彻底冗余，一个勉强生效。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

n = m.addVar(lb=0.0, ub=NCAP, name="n");  p = m.addVar(lb=0.0, ub=1.0, name="p")
m.addConstr(p == P0 + K * n, name="c_def")
c_ratio = m.addConstr(p <= THETA, name="c_ratio")   # 式(4) 化简后的形式
m.setObjective(5.6 * n, GRB.MAXIMIZE);  m.optimize()
print(c_ratio.Pi)                                    # 0.0 → 冗余

一条实现细节：用 Pi 而不是肉眼判断冗余。Gurobi 对松弛约束返回的影子价格是精确的 0（本案打印 0），把它和「删掉约束再解一次」的结果对照，两条证据互相印证。若把 \(\theta\) 调到 0.165% 以下，Pi 立刻跳到 \(b/k=280000\)——每放宽一个单位的投诉率，日收益涨 280000 元，这个数字大到荒谬，恰好说明「投诉率」这个量纲本身没有经济含义，有用的只是它对应的单量。

3.2　求解结果

表 2　三种口径的最优解（同一组参数）

| 口径 | 约束写法 | n* / 单 | 投诉率 | 日收益 / 元 | 影子价格 | 是否紧 | |---|---|---|---|---|---|---| | 比率口径 | $p\le\theta$ | 32.55 | 0.165% | 182.28 | 0 | 否（能力先卡住） | | 次数口径 | $1-(1-p)^n\le\alpha$ | 31.46 | 0.163% | 176.17 | — | 是（相对能力） | | 去掉红线 | 仅 $n\le n_{cap}$ | 32.55 | 0.165% | 182.28 | — | — |

三行数字里，第一行和第三行完全一致（182.28 元），这就是冗余的算术证明；第二行少了 6.11 元，是次数口径的代价。字面双线性模型（NonConvex=2）在能力放到 250 单时自己停在 \(n=200.00\)，与式 (5) 的 200 吻合到小数点后两位，说明化简没有偷换问题。IIS 实验：\(n\ge201\) 时模型不可行，computeIIS() 给出 \(\{c_def、c_ratio、c_min\}\) 三条约束——红线只有在 201 这个本来就不可能达到的单量上才会咬人；把红线删掉，\(n\ge201\) 立刻可行（最优 1000.00 单）。

4　结果分析

4.1　结构：一条斜率极浅的直线与一条够不着的红线

图 1　投诉概率随单量线性上升（棒棒糖为 20 单步长）与 0.5% 红线：交点在 200 单

图 1 把式 (1) 画成棒棒糖：20 单一步，概率从 0.1% 爬到 0.5%。红线 0.5% 横在上面，两者在 200 单处才相交——**这条红线在图上离骑手的活动范围隔了六倍**。本案 32.55 单处概率 0.165%，红线余量 3.03 倍。斜率只有 2.0e-05，意味着多跑一单只把概率推高 0.002 个百分点，**疲劳在这个参数下几乎不构成风险**——这是题面数据本身的性质，模型只是把它翻译出来。

图 2　单量—投诉率的散点气泡（气泡面积∝日收益）：达标区间（浅绿）与红线失效阈值

图 2 换视角：横轴单量、纵轴投诉率、气泡面积是日收益。所有点都躺在一条直线上，收益随气泡膨胀，风险随纵坐标上升，**但纵坐标的上升速度远慢于横轴**——跑满 200 单，投诉率才爬到红线。图的右下角是本案的可行区（32.55 单以内、0.5% 以下），左上角那块浅红区域（比率红线不可行区）**根本不在骑手的可达范围内**。这也是全案的教学点：**判断约束松紧必须把约束和可行域画在同一张图上**，单看系数大小毫无意义。

4.2　三口径对比与 IIS 证据

图 3　三种口径的最优单量（柱）与日收益（点线）：比率口径与「只受能力」完全重合

图 3 的三根柱子是表 2 的图形版：比率口径 32.55 单、次数口径 31.46 单、去掉红线 32.55 单。**第一根和第三根等高**，这是冗余最直观的呈现；第二根矮了 1.09 单，日收益从 182.28 掉到 176.17。值得注意的是次数口径的差距并不大（3.4%），但它**性质完全不同**：比率口径下红线的影子价格是 0，次数口径下它是真在拉低单量的那只手。

图 4　单量累积下的期望投诉数（左轴）与累计收益（右轴）：投诉数增长快于收益

图 4 是累积视角。左轴是 $\sum_{i=1}^{n}p(i)$，即一天里期望收到的投诉条数，右轴是累计收益。两条线都随 $n$ 上升，但一个是二次（$p$ 随 $n$ 涨，求和又是 $n$ 项），一个是线性。跑到 32.55 单只积累 0.043 条期望投诉——**一天平均 0.043 条，这就是「0.5% 投诉率」的真实体感**：绝大多数日子一条投诉都没有，红线像一个与自己无关的告示。可一旦出一次，就是 219 元量级的限流损失。**期望值小、尾部重**，正是必须换用次数口径的原因。

4.3　灵敏度：红线在哪儿才有牙

图 5　红线比例对最优单量的影响（左轴，三条斜率）与相对收入损失（右轴）

图 5 的左轴是 $n^{*}(\theta)=\min\{n_{cap},(\theta-p_0)/k\}$，三条斜率各一条线。所有曲线在 $\theta\ge0.165\%$ 处压成一条水平线 $n^{*}=32.55$——**这就是「约束无效区」，红线怎么改都不影响决策**；低于这个阈值后曲线斜着掉下来，斜率 -50 单/百分点（$1/k$ 的量级）。本案 $\theta=0.5\%$ 稳稳坐在水平段上。右轴是相对收入损失，同样在 0.165% 处从 0 起跳。**这张图给出的操作性结论是**：平台把红线从 0.5% 收紧到 0.2%，对本案毫无影响（仍然是 32.55 单）；只有收到 0.165% 以下，才会真正压单量。

图 6　红线比例 × 疲劳斜率的最优单量热图：虚线是「约束开始起作用」的分界

图 6 是二维分区，横轴是红线比例、纵轴是疲劳斜率 $k$，填色是最优单量，虚线是 $\theta_{crit}(k)=p_0+k\,n_{cap}$ 的分界。虚线右上方整块是 32.55 单的深色区（约束冗余），左下角颜色迅速变浅（约束生效）。**斜率 $k$ 越大，分界线越往右上跑**：疲劳越显著，红线能容忍的比例也越高——因为同样单量下投诉率更高，平台容忍度相对变宽。星标 (0.5%, 2e-5) 深深地落在冗余区。

4.4　第三维：换成次数口径

图 7　次数红线 α 对最优单量的影响（左轴）与距能力上限的缺口（右轴）

图 7 把红线换成次数口径，横轴是容忍度 $\alpha$。三条曲线在 $\alpha=5.24\%$ 右侧全部并到能力上限 32.55 单，左侧陡降：$\alpha=5\%$ 时 31.46 单，$1\%$ 时约 8.6 单，$0.5\%$ 时只剩 4.6 单。**同一句「不许有投诉」，换个口径就从「永远满足」变成「每天少跑一单」再变成「只能跑四单」。** 右轴是距能力上限的缺口，形状与左轴镜像。

图 8　可行前沿与两块不可行阴影：前沿在 32.55 单被截断，红带要到 200 单才够得着

图 8 把两块不可行区叠在可行前沿上：竖条纹是「能力不可行」（$n>32.55$），浅红带是「比率红线不可行」（$p>0.5\%$）。前沿在 32.55 单处就被竖条纹截断，而要爬进红色带得跑到 200 单——**两者在横轴上隔着 167 单，这就是冗余的几何形状**。两颗星（后者是菱形）分别是能力上限解（32.55）和次数口径解（31.46），后者只左移 1.09 单，却把 $P(K\ge1)$ 从 5.24% 压到 5%。

4.5　分布与分解

图 9　投诉次数分布（对数轴柱）与累计概率（点线，右轴）：31 单与 32 单的分界

图 9 是分布的视角（对数纵轴）。31 单时 $P(K\ge1)=4.90\%$，32 单时 5.12%——**跨过 5% 只用多接一单**。这就是次数口径的全部张力：它不是一个可以四舍五入的约束，31 与 32 之间没有中间地带。右轴累计概率在 $k=0$ 处正好是 $1-P(K\ge1)$，两条线在 95% 附近的相对位置决定了谁合规。若按整数排班，**次数红线的整数解是 31 单**，比连续解 31.46 还要保守半单。

图 10　毛收益、期望限流罚损与净收益的分解：超线的 6 元收益换不回 11 元期望罚损

图 10 把收益与风险拆开：柱子的总高是毛收益 $5.6n$，红色部分是期望限流罚损 $P(K\ge1)\cdot\Lambda$（$\Lambda=218.74$ 元 = 限流 3 天 × 降 40% × 32.55 单 × 5.6 元），蓝色是净收益。32 单比 31 单多赚 5.60 元毛收益，但期望罚损多出 0.47 元——**净收益反而少 5.13 元**。整段 $n\in[28,34]$ 上净收益是单调下降的，只在 31.5 单处有拐点。**「多跑一单多赚 5.6 元」这句话在红线附近是假的**：边际收益 5.6 元，边际期望罚损 $0.48$ 元，后者已经开始反超。

5　结论

（1）比率红线在本案是彻底的冗余约束。\(pn\le\theta n\) 约去 \(n\) 得 \(p\le\theta\)，再代入 \(p=p_0+kn\) 得 \(n\le200\) 单，是能力上限 32.55 单的 6.1 倍；影子价格 0、删掉约束最优解不变、IIS 只在 \(n\ge201\) 时报警，三条证据同向。
（2）真正卡住单量的是配送能力，不是合规。10.5 h × 3.1 单/h = 32.55 单，最优收入 182.28 元/天。把工时当成唯一瓶颈，模型的结论才与骑手的实际感受对得上——他担心的是跑不完，不是被限流。
（3）口径一换，结论全变。「投诉率 ≤ 0.5%」是均值约束，「日投诉 ≥1 单概率 ≤ 5%」是分位数约束，后者含 \(n\) 次幂。同一组参数下 \(n^{*}\) 从 32.55 掉到 31.46（整数 31），代价 6.11 元/天、183 元/月。这是本案例相对原题的主要增量：冗余与紧，只差一个「率」字的解释。
（4）两条红线各有明确的失效阈值：比率红线 \(\theta_{crit}=p_0+k n_{cap}=0.165\%\)，次数红线 \(\alpha_{crit}=5.24\%\)。本题的 0.5% 是阈值的 3.0 倍（彻底冗余），5% 只比阈值低 0.24 个百分点（勉强生效）。平台若真想用红线管住单量，应当直接规定单量上限，而不是规定一个随单量自动放大的比率。
（5）期望值小、尾部重，是这类约束的通病。一天期望投诉 0.043 条，但一次限流罚 219 元；净收益在 31.5 单处见顶。模型给出的排班答案是「31 单/天」——比能力上限少 1.6 单，比合规上限多不出任何东西，这是一个用 6 元钱买 5% 尾部风险的干净交易。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.