案例091 无接触配送的丢餐

案例091　无接触配送的丢餐

摘要：无接触配送把餐放在门口，丢餐率 1.5%，丢一单赔 32 元。骑手可以拍照留证把自赔概率从 100% 压到 30%，代价是每单多花 20 秒（折 0.33 元）。单变量 LP 的目标对覆盖率 线性，最优必在端点：全拍 0.474 元/单、不拍 0.480 元/单，只差 0.27 元/天，因为 1.5% 恰好压在临界丢餐率 1.47% 上方一线。把客户分成高风险与普通两类做分类覆盖 MILP，只拍高风险单，单位成本降到 0.397 元，比全拍省 3.47 元/天。再把「留证减少 30% 差评、每条 20 元」折进目标，单位斜率的绝对值放大 7 倍，最优 被推到 1。

关键词：端点解；临界丢餐率；分类覆盖；0-1 线性化；纠纷价值

1　问题提出

1.1　问题是什么

无接触配送的规矩是：餐放门口、拍照、走人。省下的是上楼和等待的几分钟，赔上的是「门口那袋餐还在不在」的不确定性。本案的数字来自一天的实盘：日均 45 单，丢餐率 1.5%，也就是平均一天丢 0.67 单；丢一单骑手自己掏 32 元。留证是另一条路——把餐放下、拍一张带门牌号的照片，责任就从「骑手没送到」变成「客户取走或被人拿走」，自赔概率从 100% 降到 30%，代价是每单多花 20 秒，按 0.0165 元/秒折成 0.33 元。一天 45 单里，高风险单（无电梯老楼、夜宵时段、楼道无人）18 单、丢餐率 2.4%；普通单 27 单、丢餐率 0.9%。两者加权正好是 1.5%——平均值是两类单平均出来的，这一点决定了后面全部结论。

表 1　两类客户的丢餐数据与留证判定

客户类	单量 / 单	丢餐率	留证判据 0.7Fp	拍照成本	决策	单位成本 / 元
H 高风险（夜宵/老楼）	18	2.4%	0.538	0.33	拍	0.560
L 普通	27	0.9%	0.202	0.33	不拍	0.288

1.2　为什么要优化

三条理由。其一，这是一个「算术上几乎打平」的决策：全拍 0.474 元/单、不拍 0.480 元/单，差 0.006 元/单——凭感觉判断必然出错，只能算。其二，平均值掩盖了结构：1.5% 是两类单混出来的，用统一覆盖率决策，等于让低风险单陪着高风险单一起付拍照费，或者让高风险单裸奔。其三，模型外的收益没有定价：留证避免的不只是赔款，还有扯皮、差评、平台判责，这部分不进目标函数就会被系统性忽略。

1.3　Gurobi 如何求解

三个模型串起来。模型一是单变量 LP，用来看端点解与对偶价；模型二是分类覆盖 MILP，45 个接单 0-1 变量加 2 个拍摄 0-1 变量，乘积项用大 M 线性化；模型三在模型一上追加纠纷项，看最优 是否翻转。参数扫描在赔偿额、丢餐率、拍照耗时三个维度上做，共 103 次求解，全部 LP/MILP 秒级收敛。

2　数学模型

2.1　符号说明

日均单量 \(n=45\)；一次丢餐赔偿 \(f=32\) 元；基准丢餐率 \(p=0.015\)；留证后自赔概率 \(\beta=0.3\)；每单拍照时间成本 \(c=0.33\) 元；客户类 \(k\in\{H,L\}\) 的单量 \(n_k\)、丢餐率 \(p_k\)；接单变量 \(x_i\)、拍摄变量 \(z_k\)；覆盖率 \(r\in[0,1]\)。

2.2　目标函数

统一覆盖率下，单均成本与一天 \(n\) 单的总成本分别是 \(r\) 的一次函数：

\[u(r)=fp(1-\beta r)+cr\tag{1} \]

\[\min\ Z_1=\sum_{i=1}^{n}\bigl[fp(1-\beta r)+cr\bigr]x_i\tag{2} \]

代入 \(f=32\)、\(p=0.015\)、\(\beta=0.3\)、\(c=0.33\)：\(u(r)=0.480-0.006\,r\)。斜率是负的但极小，\(r\) 从 0 走到 1 只降 0.006 元/单。

2.3　约束条件

\[0\le r\le 1,\qquad x_i\in\{0,1\}\tag{3} \]

式 (2) 对 \(r\) 线性、可行域是一维区间，最优解必在端点，比较两端即得：

\[r^{*}=1\iff fp(1-\beta)>c\iff p>\frac{c}{(1-\beta)f}=p^{*}\tag{4} \]

\(p^{*}=0.33/(0.7\times32)=1.47\%\)。本案 \(p=1.5\%\) 只比它高 0.03 个百分点，缺口 \(fp(1-\beta)-c=0.006\) 元/单——这就是「几乎无差」的量化解释。

2.4　分类覆盖与纠纷价值

两类客户各自决定拍不拍，\(z_k\in\{0,1\}\)，\(S_k=\sum_{i\in k}x_i\)，乘积 \(g_k=S_kz_k\) 用大 M（\(M=n_k\)）线性化：

\[g_k\le n_kz_k,\qquad g_k\le S_k,\qquad g_k\ge S_k-n_k(1-z_k)\tag{5} \]

\[\max\ Z_2=\sum_i w_ix_i-\sum_k fp_kS_k+\sum_k\bigl[(1-\beta)fp_k-c\bigr]g_k\tag{6} \]

\[u^{\mathrm{dis}}(r)=fp(1-\beta r)+cr+vq(1-\gamma r)\tag{7} \]

式 (6) 的方括号就是「这一类单拍一张值不值」的单价：\(H\) 类 \(0.2076\)、\(L\) 类 \(-0.1284\)，一正一负，分类的意义全在这两个数上。式 (7) 加入纠纷价值 \(\gamma qv\)（\(\gamma\) 为差评减少比例、\(q\) 为差评率、\(v\) 为每条折算损失），括号随之变成 \((1-\beta)fp_k-c+\gamma qv\)，端点门槛改写为 \(p>(c-\gamma vq)/((1-\beta)f)=1.31\%\)。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

gH = m.addVar(lb=0.0, ub=NH); zH = m.addVar(vtype=GRB.BINARY)
m.addConstr(gH <= NH * zH); m.addConstr(gH <= SH)
m.addConstr(gH >= SH - NH * (1 - zH))
obj = quicksum(W[i]*x[i] for i in range(N)) - F*PH*SH - F*PL*SL \
      + (0.7*F*PH - c + bonus) * gH + (0.7*F*PL - c + bonus) * gL
m.setObjective(obj, GRB.MAXIMIZE)

大 M 取 \(n_k\)（18 与 27），不用 \(10^6\)。目标里 \(g_k\) 的系数就是式 (6) 的方括号，符号决定 \(z_k\)——不需要额外的「拍不拍」逻辑约束，线性化本身就替模型做了判断。LP 端点上界约束的影子价格为 0.2700 元/天（年化 98.5 元），含义是「允许覆盖率再涨一点值多少钱」，也是全拍的边际价值。

3.2　求解结果

表 2　四种方案的单均成本与日成本（45 单口径）

方案	覆盖率	赔偿期望	拍照成本	纠纷抵扣	单均成本	日成本 / 元
不拍	0.00	0.480	0.000	0.000	0.480	21.60
全拍	1.00	0.144	0.330	0.000	0.474	21.33
分类拍	0.40	0.265	0.132	0.000	0.397	17.86
全拍＋纠纷	1.00	0.144	0.330	-0.036	0.438	19.71

模型二在根节点收敛：\(z_H=1\)、\(z_L=0\)、45 单全接，日成本 17.86 元。模型三把纠纷项加进去，最优 仍是端点 1，但优势从 0.27 元/天放大到 1.89 元/天。同一个端点，两种理由，量级差 7.0 倍。

4　结果分析

4.1　结构：一条几乎水平的直线

图 1　单均成本随拍照覆盖率的变化（棒棒糖为 0.1 步长的取值，右轴为自赔概率）

图 1 的棒棒糖是式 (1) 的逐点取值。柱子高度从 0.480 降到 0.474，全图几乎是平的；右轴的自赔概率却从 100% 掉到 30%。两条线讲的是同一件事的两面：赔偿期望降了 0.336 元，拍照成本涨了 0.330 元，净赚 0.006 元。图的平不是画错，是本案最核心的事实。

图 2　丢餐率与最优覆盖率的关系（气泡面积＝该点全年节省，虚线为临界丢餐率）

图 2 把横轴换成丢餐率。虚线 1.47% 左边全是 \(r^{*}=0\)，右边全是 \(r^{*}=1\)，台阶一步跨完——没有中间状态，这是线性目标的必然。气泡面积是全年节省 \(365n[(1-\beta)fp-c]\)，丢餐率越高省得越多：3.0% 处一年省 5617 元，而本案 1.5% 处只有 99 元。星标紧贴虚线右侧，说明本案站在门槛上，风一吹就翻。

4.2　方案对比：从 0.480 到 0.397

图 3　四种方案的单均成本对比（柱为赔偿期望与拍照成本，点划线为纠纷抵扣后的水平）

图 3 是全案的结论图，四个柱子按单均成本排：不拍 0.480、全拍 0.474、分类拍 0.397、全拍加纠纷 0.438。前两根柱子差 0.006 元，肉眼几乎看不出；后两根才是真正的差距。端点解打赢了，但赢得极其勉强——这正是「模型说拍、但拍不拍都行」的来源。

式 (6) 的两个方括号把话说尽了：\(H\) 类每拍一单赚 0.2076 元，\(L\) 类每拍一单亏 0.1284 元。Gurobi 的选择是 \(z_H=1\)、\(z_L=0\)，只覆盖 40% 的单，日成本 17.86 元，比全拍省 3.47 元/天（1265 元/年），比不拍省 3.74 元/天。这里有个反直觉的地方：分类拍的等效覆盖率 0.40，若真按统一覆盖率 0.40 去拍，成本是 0.478 元/单，比分类拍贵 0.081 元——同样的「拍四成」，挑着拍比摊着拍便宜，因为摊着拍时 18 单高风险单只被保护了 40%，而 27 单普通单白白付了钱。

图 4　30 天累计节省：统一覆盖的三条线几乎重叠，纠纷价值使斜率放大一个量级

图 4 是 30 天累计节省。三条统一覆盖的线几乎重合，30 天全拍只比不拍省 8.1 元——一个月省一顿早餐钱，这就是纯赔款口径下留证的全部价值。按式 (7)，纠纷项每单给 \(\gamma vq=0.036\) 元的抵扣，计入后斜率陡增：全拍+纠纷 30 天省 56.7 元、分类拍+纠纷省 131.5 元，同一动作在两种口径下差 7.0 倍。纠纷项还把临界丢餐率从 1.47% 压到 1.31%（降低 11%），本案从「勉强过线」变成「明显过线」。但 \(L\) 类的方括号从 -0.1284 变成 -0.0924，仍是负的：纠纷价值改变力度，不改变结构。

4.3　主灵敏度：赔偿额与临界线

图 5　赔偿额对临界丢餐率（左轴）与盈亏平衡拍照耗时（右轴）的影响

图 5 的左轴是临界丢餐率对赔偿额的曲线 \(p^{*}=c/(0.7f)\)：赔偿从 32 涨到 50 元，20 秒口径的门槛从 1.47% 降到 0.94%；40 秒口径整条曲线上移一倍。赔偿越贵越该拍，拍照越慢门槛越高，两个方向在图上分得很清楚。右轴是盈亏平衡拍照耗时 \(t^{*}=0.7fp/c_s\)，32 元时只有 20.4 秒，50 元时放宽到 31.8 秒——赔偿翻倍，允许的拍照时间几乎也翻倍。

图 6　赔偿额 × 丢餐率 的最优拍摄分区（星号为本案参数，虚线为临界线）

图 6 是二维分区：横轴赔偿额、纵轴丢餐率，虚线是临界线，左上是「拍」、右下是「不拍」。赔偿涨，拍的区域向上扩；丢餐率涨，也向上扩。星标 (32, 1.5%) 紧贴虚线，只要赔偿降到 31.4 元以下，本案就翻到「不拍」一侧。

4.4　第三维与前沿

图 7　拍照耗时对单均成本（左轴）与临界丢餐率（右轴）的影响

图 7 换一个横轴：拍照耗时 10→40 秒。全拍的成本从 0.309 涨到 0.804，与不拍的 0.480 在第 20.4 秒相交。本案 20 秒只比平衡点快 0.4 秒——拍照动作再慢一点点，全拍立刻变成亏本买卖。这也解释了为什么很多骑手「拍半张就走」：他们在用降低留证有效性的方式压这 20 秒。

图 8　统一覆盖的线性前沿与不可达区（星号为分类覆盖，落入阴影即优于任何统一比例）

图 8 把统一覆盖率画成前沿：只能在 (0, 0.480) 到 (1, 0.474) 那条直线上走，线下那块阴影是「统一比例做不到的区域」。分类拍那颗星落在阴影里（0.397 < 0.474），它突破了直线前沿——因为阴影的边界只在「所有单同一概率」的假设下成立。假设一破，阴影就不成立了。

4.5　分布与分解

图 9　一天 45 单需要自赔次数的分布（柱）与累计概率（点线，右轴）

图 9 是分布的视角。不拍时一天平均自赔 0.66 次、全拍 0.21 次，期望差 0.46 次 = 0.27 元，与前面的账一致。「一次都不出事」的概率差别更大：不拍 51%、全拍 81%；「至少两次」的概率 14% 对 2%。骑手怕的不是均值，是那 14% 的月份——这是模型外价值的另一个可量化侧面。

图 10　单均成本的两项分解：赔偿期望随覆盖率下降，拍照成本线性上升

图 10 是分解视图：赔偿期望从 0.480 线性降到 0.144，拍照成本从 0 线性升到 0.330，两条线斜率分别是 0.336 与 0.330，后者的绝对值大 0.98 倍，所以总成本几乎不动。分类覆盖做的不是改变斜率，而是把拍照成本只花在斜率占优的那一段。

5　结论

（1）端点解是模型的必然，不是数据巧合。目标对 线性、可行域是一维区间，最优只能落在 0 或 1；本案落在 1，理由是 \(fp(1-\beta)-c=0.006>0\)，只赢 0.006 元/单。（2）临界丢餐率是全案的主参数：\(p^{*}=c/(0.7f)=1.47\%\)。低于它拍照不划算，高于它才划算；本案 1.5% 刚过线 0.03 个百分点，「几乎无差」由此得到精确解释；赔偿涨到 50 元，门槛降到 0.94%，结论会更硬。
（3）分类覆盖比任何统一比例都便宜：只拍高风险单（40% 覆盖），单均 0.397 元，比全拍省 3.47 元/天、1265 元/年，且落在「统一覆盖不可达区」之内；判据就是临界丢餐率本身——\(p_k>1.47\%\) 的单拍，其余不拍。
（4）纠纷价值把最优 推到 1，门槛压低 11%（1.47% → 1.31%），30 天累计从 8.1 元放大到 56.7 元；但它只改力度不改结构，\(L\) 类拍与不拍仍差 0.0924 元，全拍仍不如分类拍。（5）拍照耗时是隐藏的杠杆：本案 20 秒距平衡点 20.4 秒只剩 0.4 秒余量，耗时涨到 40 秒全拍立刻亏 0.324 元/单。留证的价值不在「拍」而在「拍得快且拍得清」，压时长比压概率更划算——这是模型之外、但下一次建模可以收进来的部分。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.