案例090 雨天的红灯
案例090 雨天的红灯
摘要：暴雨天闯红灯省 40 秒，雨天事故率升到 2.5 倍。按题面口径重算单次成本：事故 \(2.5\times10^{-4}\times18000=4.50\) 元、罚款 \(0.15\times50=7.50\) 元、扣分折算 8.00 元，合计 20.00 元（题面写 11.2 元，差 8.80 元），减去省时收益 0.16 元，净亏 19.84 元/次。以 5 个路口的 0-1 变量 \(z_l\) 建 \(\min\sum c_lz_l\)、\(\sum z_l\le0\) 的合规模型，最优值 \(Z^{*}=0\)；放宽到 \(\sum z_l\le1\) 得 19.83 元，两者之差 -19.83 元/次即违规的隐含价值，为负。再以罚函数（罚价=期望罚款 7.50 元）软化合规，模型闯 4 个路口、自报赚 7.17 元、实亏 75.06 元，说明合规不能用价格替代；临界罚款 \(F^{*}_l=v_{\mathrm{sub}}s_l/(60q_l)\) 为 47.3—73.7 元。罚款调到 0，违规仍亏 12.33 元——事故期望不因没被抓而消失。
关键词：合规硬约束；违规的隐含价值；罚函数失效；期望成本；闯红灯
1 问题提出
1.1 问题是什么
暴雨天，红灯还有 40 秒。闯过去，这一单能赶上；不闯，就超时。题面把这件事算成一道加减法：事故期望 4.50 元 + 罚款 7.50 元 + 扣分折算 8.00 元 = 20.00 元，减去省下的 40 秒值 0.16 元，净亏 19.84 元——不闯。
这道题看起来太简单，简单到不值得建模。但它有两个值得做的理由。第一，题面给的数字对不上：写的是 11.2 元，三项实算是 20.00 元，差 8.80 元。如果照抄 11.2 元往下算，结论仍然是"不闯"，但"违规到底多贵"会被低估 44%。一个结论正确、数字错误的模型，比没有模型更危险，因为它会被引用。第二，"不闯"这个结论在多强的约束下成立：如果允许闯一个呢？如果把"合规"从硬约束改成罚函数呢？合规一旦被标价，价格低到什么程度模型就会翻？
我们把"合规"写成硬约束 \(\sum_l z_l = 0\)，再跑放宽版（允许闯 1 个、且必须省够 40 秒）和罚函数版（软约束、罚价等于期望罚款 7.50 元），三个目标值放在一起，差额就是违规的隐含价值：-19.83 元/次。按题面原数算是 \(-11.04\) 元/次，按实算口径是 -19.83 元/次——两个数都是负的，方向一致，量级差近一倍。违规不但不合规，在经济上也是负收益。
1.2 为什么要优化
三条理由。其一，数字本身要复核：题面三项指标与结果差 8.80 元，这类"结论对、过程错"的引用最容易被继承，也最难被发现。其二，"不合规"需要一个价签：只有把它折算成元/次，才能和"省 40 秒"放在同一把尺子上比，否则讨论永远停在"应该不应该"。其三，约束的形式会改变答案：同一个模型，\(\sum z_l\le 0\) 与"违规罚 50 元"给出完全不同的解——这不是参数问题，是建模问题。
1.3 Gurobi 如何求解
建模为 5 个 0-1 变量、1 条主约束的整数规划，四次求解（合规 / 只放宽 / 放宽且赶上 / 罚函数）全部根节点收敛，最长 <0.01 s。另用 \(2^{5}=32\) 个子集穷举复核，与 Gurobi 相差 0（数值零）。式 (6) 的临界罚款用解析式直接生成，与逐点求解一致。
2 数学模型
2.1 符号说明
路口 \(l=1,\dots,5\)；省时 \(s_l=34\)—48 s；平均时间价值 \(v=0.24\) 元/min；赶单边际价值 \(v_{\mathrm{sub}}=13.0\) 元/min；增量事故率 \(\Delta p_l=1.5p_{0l}\)（1.50—3.60 次/万次）；事故损失 \(L=18000\) 元；被拍概率 \(q_l=0.10\)—0.22；罚款 \(F=50\) 元；扣分折算 \(D=8.00\) 元；0-1 变量 \(z_l\)。
2.2 目标函数与约束条件
设路口 \(l=1,\dots,5\)，闯灯省时 \(s_l\) 秒（34—48 s），平均时间价值 \(v=0.24\) 元/min；\(p_{0l}\) 为雨天基线事故率，闯灯后升至 \(2.5p_{0l}\)，增量 \(\Delta p_l=1.5p_{0l}\)；一次事故期望损失 \(L=18000\) 元；被拍概率 \(q_l\)（0.10—0.22），罚款 \(F=50\) 元；扣 3 分折算 \(D=8.00\) 元。\(z_l\in\{0,1\}\) 表示是否在该路口闯灯。单次闯灯的期望成本为
基准口径（\(\Delta p=2.5\times10^{-4}\)、\(q=0.15\)、\(s=40\) s）代入：4.50 + 7.50 + 8.00 − 0.16 = 19.84 元。三项实算 20.00 元，题面写的 11.20 元复算不出来；差额 8.80 元与扣分折算 8.00 元同量级，最可能是题面把扣分项漏计（或折半）后再有 0.80 元的取整差。本文一律按实算口径，并在结果文件里同时保留两个数。
合规模型把"不许闯"写成硬约束，不是一个可以花钱赎买的罚项：
约束右端为 0，可行域只剩 \(z\equiv 0\)，\(Z^{*}=0\)。把右端放宽到 1 得放宽版（式 3）；注意式 (3) 必须带上"省够 40 秒"这一条：只把右端从 0 放宽到 1、不要求赶上，模型仍然选 \(z\equiv0\)（目标值还是 0）——因为每个 \(c_l\) 都是正数，违规连"被需要"的价值都没有。违规之所以出现在场景里，唯一原因是"不闯就赶不上"。
就是"允许违规一次"的隐含价值。它为负，含义是：合规约束不是"牺牲效率换安全"，它直接把一个负收益的选项删掉了——删掉之后目标反而更小（这里是 0 对 19.83）。
罚函数版故意把合规写成可交易的价格：不设硬约束，把"违规"按期望罚款 7.50 元计价，按赶单的边际时间价值 \(v_{\mathrm{sub}}=13.0\) 元/min 计收益，
系数 \(q_lF-v_{\mathrm{sub}}s_l/60\) 在 4 个路口转负，模型于是选了 L1、L2、L3、L4。
2.3 规模与性质
5 个 0-1 变量、1 条约束，无连续决策。规模小到可以完全复核：32 个子集穷举与 Gurobi 差 0（数值零），说明结论全部落在系数上而不是算法上。真正的难点不在求解，而在"合规"该写成约束还是写成罚项——这一处建模选择决定了模型会不会建议闯灯。
3 Gurobi 求解实现
3.1 建模要点
五个 0-1 变量、1 条约束，Gurobi 四次求解全部在根节点收敛，最长 <0.01 s。
m.addConstr(gp.quicksum(z[i] for i in range(n)) <= kmax, name="comply")
m.addConstr(gp.quicksum(S_S[i] * z[i] for i in range(n)) >= sreq, name="catch")
m.setObjective(gp.quicksum(cost[i] * z[i] for i in range(n)), GRB.MINIMIZE)
合规版与放宽版只差两行：kmax 从 0 改成 1，再加一条"必须省够 40 秒"的覆盖约束；罚函数版换一套系数、kmax 取 5。代码没有技巧，全部工作在系数怎么来：事故项用的是"闯灯相对不闯灯的增量率"乘以"一次事故的期望损失"，不是"赔个餐费"；罚款项用的是"被拍概率"乘以"单次罚款"，不是"闯一次罚 50"；扣分项用的是"3 分折 8.00 元"，不是"分不要钱"。
校验。 五个变量共 \(2^{5}=32\) 个子集，穷举与 Gurobi 的最优值相差 0（数值零）。表 1 是逐路口明细，净成本从 15.56 元（体育东路）到 25.29 元（环市东路），全为正。
表 1 五个路口的闯灯参数与单次成本（损失 1.8 万元、罚款 50 元、扣分折算 8 元）
| 路口 | 名称 | 省时 / s | 增量事故率 / 万次 | 被拍概率 | 事故项 / 元 | 罚款项 / 元 | 净成本 / 元 | 临界罚款 / 元 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| L1 | 体育东路 | 34 | 1.50 | 0.10 | 2.70 | 5.00 | 15.56 | 73.7 |
| L2 | 中山一立交 | 38 | 2.00 | 0.12 | 3.60 | 6.00 | 17.45 | 68.6 |
| L3 | 客村立交 | 42 | 2.50 | 0.15 | 4.50 | 7.50 | 19.83 | 60.7 |
| L4 | 珠江隧道口 | 46 | 3.00 | 0.18 | 5.40 | 9.00 | 22.22 | 55.4 |
| L5 | 环市东路 | 48 | 3.60 | 0.22 | 6.48 | 11.00 | 25.29 | 47.3 |
表 2 三种建模方式的对照：合规能不能被价格替代
| 方案 | 约束形式 | 选中路口 | 模型目标 / 元 | 真实净成本 / 元 | 判定 |
|---|---|---|---|---|---|
| 合规版 | \(\sum z_l\le 0\) | — | 0.00 | 0.00 | 不闯灯，唯一可行解 |
| 放宽版 | \(\sum z_l\le 1,\ \sum s_lz_l\ge40\) | L3 | 19.83 | 19.83 | 赶上这单，最便宜也要 19.83 元 |
| 罚函数版 | \(\sum z_l\le 5\)，罚价 7.5 元 | L1、L2、L3、L4 | -7.17 | 75.06 | 自报赚 7.17，实亏 75.06 |
三个数字连起来读：合规 0.00；放宽到 1 个，最优也只能挑最便宜的那个路口，仍要付 19.83 元；罚函数版自报赚 7.17 元，把漏计的事故 16.20 元、扣分 32.00 元和时间价值高估 34.03 元补回来，实际亏 75.06 元，误差 82.23 元。
3.2 求解结果
合规版 \(z\equiv 0\)、\(Z^{*}=0.00\) 元；放宽版 \(z=[0 0 1 0 0]\)、\(Z^{*}=19.83\) 元；罚函数版 \(z=[1 1 1 1 0]\)、目标 -7.17 元、真实 75.06 元；只放宽不要求赶上则 \(Z^{*}=0.00\)。四次求解最长 <0.01 s。
4 结果分析
4.1 结构：三项成本谁说了算
图 1 单次闯灯成本的三项拆解（事故 4.50、罚款 7.50、扣分 8.00）与合计，虚线为题面给的 11.20 元
图 1 把式 (1) 的三个正项和一项负项画成五根棒。事故 4.50 元、罚款 7.50 元、扣分 8.00 元，三根都不短；合起来 20.00 元，是题面 11.20 元的 1.79 倍。最右边那根绿棒（省时收益 0.16 元）短到几乎看不见——它只有合计成本的 0.8%。这张图是整个案例的体检报告：不是某一项特别贵，而是"省 40 秒"这件事本身太便宜，任何一项成本单独拿出来都压得住它。扣分项 8 元是三项里最大的一项，恰恰是题面最容易被漏掉的一项。
图 2 五个路口的省时—净成本散点（气泡大小为被拍概率），省的几十秒只值一两毛钱
图 2 换个切法：横轴省时、纵轴净成本，气泡大小是被拍概率。五个点全在零线之上 15 元以上，而且排布有规律——省时越多的路口（环市东路 48 秒）净成本越高，因为省时收益涨得慢（每秒 0.004 元）、而事故与罚款涨得快。等收益线（0.24 元/min 的斜率）贴着地面，五个点离它有 10—25 元的高度差。"我很急"这个理由要成立，需要时间价值涨到 28.6 元/min 以上，是本案的 119 倍。
4.2 决策：合规是硬约束，不是可以买断的罚项
图 3 三种建模方式的净成本：合规硬约束 0.00、放宽到 1 个 19.83、罚函数软约束自报 -7.17（真实 75.06）
图 3 是全篇的核心。合规版（\(\sum z_l\le 0\)）目标 0.00 元，可行域只有一个点；放宽版（\(\le 1\)、须省够 40 秒）目标 19.83 元——五个路口里省时够 40 秒的只有 L3、L4、L5，模型挑了最便宜的客村立交，但仍然是亏 19.83 元；罚函数版把合规换成"罚价 = 期望罚款 7.50 元"的软约束，模型一口气闯了 4 个路口，自报赚 7.17 元——而它的真实成本是 75.06 元，漏计 82.23 元。三个数字的顺序说明：合规约束不是负担，它把一个负收益选项直接删掉了；罚函数版不是"放宽"，是把一个不可定价的东西硬塞进了价格体系，一旦塞进去，模型就会顺着价格往下滑。
图 4 一趟五个路口的累积净成本（左轴）与累积省时（右轴）：省 208 秒、净赔 100.35 元
图 4 把一趟五个路口摊开。五个都闯：累积成本一路爬到 100.35 元，右轴累积省时 208 秒；罚函数版闯四个：爬到 75.06 元；合规不闯：成本恒为 0。左轴和右轴的量级差了两个数量级——省 3.5 分钟，赔几十块钱。这就是"雨天红灯"这道题的全部结构：时间在这里不值钱，风险和罚款在这里很值钱。
4.3 主灵敏度：把罚款调到零，违规仍然亏
图 5 罚款额从 0 涨到 300 元时的单次净成本（左轴）与违规的隐含价值（右轴）
图 5 的横轴是罚款额，从 0 调到 300 元。左轴是两条净成本曲线（客村立交、体育东路），右轴是违规的隐含价值（式 4 的 \(\Delta Z\)）。三条读法：其一，罚款涨到 300 元，客村立交的净成本从 12.33 元涨到 57.33 元，一路单调上升，最优解始终是"不闯"——罚多少都不改变决策，只改变违规有多贵。其二，右轴的隐含价值在罚款为 0 时已经是 -12.33 元，罚款从 0 涨到 50 元只让它再负 7.5 元，占比不到四成。其三，也是最要紧的一条：把罚款调到 0，客村立交的净成本仍有 12.33 元（事故 4.50 + 扣分 8.00 − 省时 0.17）。事故的期望值不会因为"没被抓"而消失，这是所有"罚得轻所以可以闯"的论证共同的漏洞。
图 6 罚款额 × 扣分折算 的单次净成本地形，全图无负值区
图 6 把罚款额与扣分折算摊成平面，颜色是单次净成本。整张图没有一个负值区：最浅的色块（罚款 0、扣分不折价）也有 4.33 元。这意味着在 (1) 式的口径下，任何参数组合都不会让闯灯变成正收益——除非把事故损失调到接近 0（那就等于宣布"撞了也不会有事"），或者把时间价值调到 10 元以上（那就是图 2 的等收益线）。星标 (50, 8) 落在"10—25 元"档的中部，离最近的可能翻正区域隔着整个色阶。
4.4 第三维与前沿：罚价失效的临界线在哪
图 7 第三维：挡住各路口所需罚款随赶单边际时间价值的变化，阴影为现行 50 元罚价的失效区
图 7 回答"罚函数为什么会失效"。把式 (5) 的系数令零，得到挡住第 \(l\) 个路口所需的罚款额
横轴是赶单的边际时间价值（超时扣 20 元、差 92 秒，合 13.0 元/min），纵轴是临界罚款。五条线从左下往右上走：越急，需要的罚款越高。本案罚价 50 元是一条水平虚线：13.0 元/min 对应的客村立交临界罚款是 60.7 元，已经高于 50 元，挡不住；只有当赶单价值降到 10.7 元/min 以下，50 元才重新有效。反过来，最容易被挡住的是环市东路（临界只要 47.3 元，50 元已够），最难挡的是体育东路（要 73.7 元）。这就是"罚函数定价过低"的准确含义：它把合规标了一个固定价格，而违规的收益随紧迫度浮动，价格一旦被浮动收益超过，约束就名存实亡。
图 8 省时—成本的组合前沿，红色阴影是合规约束下整片不可行的区域
图 8 是五个路口全部 32 种组合的省时—成本平面。灰点是"闯任意组合"的方案，蓝线是成本—省时前沿（给定省时下的最小成本），红色斜纹阴影是整个"省时 > 0"的区域——在合规约束 \(\sum z_l\le 0\) 下，它全部不可行。这是本案例最直白的一张图：合规不是把可行域"约束小一点"，而是把它压成一个点。前沿本身也在零线之上：想多省一秒，成本就往上走，前沿永远不会跌到 0 以下。
4.5 分布与拆解：均值之外没有安慰
图 9 事故期望成本的 20000 次抽样分布与累计概率，左侧竖线是省时收益
图 9 处理一个常被忽略的问题：4.50 元是均值，不是每一次的实付。用对数正态描述增量事故率（中位 \(2.5\times10^{-4}\)）与事故损失（中位 1.8 万元），20000 次抽样的乘积分布如上：中位数 4.46 元，长尾拖到 30 元以上。左侧那条几乎贴着纵轴的绿线是省时收益 0.17 元——事故项高于省时收益的样本占 100.0%。换句话说，"闯一次省 40 秒"这件事，在任何一个可能的参数实现下都不划算，不是"平均不划算"。
图 10 五个路口的三项成本堆叠（最右为五口合计），绿色菱形为省时收益的负向标注
图 10 把三项成本按路口堆叠。五个路口合计 22.7 元事故、38.5 元罚款、40.0 元扣分，省时收益合计只有 0.83 元（绿色菱形贴在零线上）。扣分项在每个路口都是最厚的一块（8.00 元），占单次成本的 40%；罚款项随被拍概率从 5 元涨到 11 元，是唯一随路口差异化的可政策变量。
再看一年：1080 次"赶时间遇红灯"的机会，每次都闯客村立交，一年亏 21419 元、期望摊上 0.27 次事故。21419 元不是一个大数字，它之所以小，恰恰是因为每次只亏 19.84 元——但事故不是按期望赔付的，它是一次性付清的。
5 结论
（1）题面的数要复核：三项实算 4.50 + 7.50 + 8.00 = 20.00 元，题面写 11.20 元，差 8.80 元（低估 44%）。差额与扣分折算 8.00 元同量级，最可能是漏计扣分项。结论（不闯）不变，但"违规有多贵"被低估了近一半。本文一律按实算口径，两个数都留在 results_090.json 里。
（2）合规版最优值为 0，放宽版为 19.83 元，隐含价值 -19.83 元/次：五个路口的净成本全为正（15.56—25.29 元），合规约束删掉的是一个负收益选项，而不是牺牲效率换取安全。
（3）合规是硬约束，不能被价格替代：罚函数版把合规标价成期望罚款 7.50 元，按赶单边际价值 13.0 元/min 计收益，模型闯了 4 个路口、自报赚 7.17 元，实际亏 75.06 元（漏计 82.23 元）。挡住各路口所需罚款 \(F^{*}_l=v_{\mathrm{sub}}s_l/(60q_l)\) 在 47.3—73.7 元之间，现行 50 元已经在失效区。
（4）罚款调到 0，违规仍亏 12.33 元：事故 4.50 + 扣分 8.00 − 省时 0.17。二维平面上（图 6）不存在负成本区，违规的代价主体从来不是罚款，而是事故的期望值——它不因"没被抓"而消失。
（5）结论是不闯灯：这是模型与硬约束双重否定的选项，也是唯一可行解。合规不是"成本项"，是可行域的定义；把它写成可以花钱赎买的罚项，模型立刻会替你算出"闯几个最划算"——这个结果本身就是对"用价格替代合规"这种做法的否定。
参考文献
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[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
复现方式：python batch_090.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/
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