案例089 快 3 分钟值不值一条命
案例089 快 3 分钟值不值一条命
摘要：路口抢行省 2.4 min（按 0.2 元/min 折 0.48 元），事故概率由万分之一升到万分之三，一次事故期望损失 18000 元，每次抢行的期望增量成本 3.60 元，净成本 3.12 元。以 6 个路口的 0-1 变量 \(z_j\) 建 \(\min\sum\Delta c_j z_j\)、\(\sum z_j\le2\) 的模型，系数全正，最优解为全不抢、\(Z^{*}=0\)。穿透测算：临界事故损失 \(L^{*}=0.48/2\times10^{-4}=2400\) 元，只有当一条命只值 2400 元时抢行才划算。若"必须省 4 分钟"（\(\sum s_jz_j\ge4\)），最优改为风险最低的 J5、J6，总风险成本 4.68 元、净成本 3.88 元，仍高于认超时的 3.00 元；只盯省时则要 9.72 元。时间价值从 0.2 涨到 2.0 元/min，临界线从 2400 抬到 24000 元，临界时间价值 1.5 元/min（时薪 90 元）。
关键词：风险定价；临界事故损失；0-1 选择；时间价值；抢行
1 问题提出
1.1 问题是什么
晚高峰，一单还剩 4 分钟时限，前面 6 个路口。红灯 90 秒，逆行穿插过去能省两三分钟——"就这一次，不会那么巧"。这句话每个骑手每天要说几十遍，它的潜台词是：省下的 2.4 分钟是确定的，出事是"不会发生"的。
把这两件事放到同一把尺子上：一次抢行省 2.4 min，按 0.2 元/min 折 0.48 元；抢行使该路口的事故概率从万分之一升到万分之三，增量每万次多 2 次，一次事故的期望损失 18000 元（医疗、伤残、误工、车辆，按行业均值口径），于是每次抢行的期望增量成本是 3.60 元。0.48 元的确定收益，对 3.60 元的期望成本——收益不到成本的七分之一。
这个案例要算的不是"该不该快"，而是"快"的市场价格是多少：要让你觉得抢行划算，一条命得便宜到多少钱？答案是 2400 元。全篇的结论只有一句：2400 元，约等于一台二手电动车的价钱；事故损失一旦按 1.8 万元计，抢行在经济上就不成立。
1.2 为什么要优化
三条理由。其一，"不会那么巧"不是概率判断：万分之三听上去很小，但一年 21600 次抢行就变成 4.32 次事故，小概率只有放到次数上才有意义。其二，收益与风险不同量纲：分钟折成角、事故折成万，不做同一把尺子就没法比，而人的直觉天然按"这次省了几分钟"记账。其三，赶时间是有价格的：临界损失 2400 元把"值不值"变成一个可以查、可以争论、也可以被推翻的数——只要你能证明事故损失低于这个数。
1.3 Gurobi 如何求解
建模为 6 个 0-1 变量、2 条约束的整数规划；无硬需求时系数全正，根节点即证 \(z\equiv0\)；加覆盖约束后由分支定界在 0.00 s 内给出最优对；另用 \(2^{6}\) 个子集穷举复核（0.00 与 3.88）。二维分区（时间价值 × 事故损失）用解析判据 \(\Delta c_j<0\) 直接生成，与 Gurobi 逐点结果一致。
2 数学模型
2.1 符号说明
符号：路口 \(j=1,\dots,6\)；抢行省时 \(s_j\)（1.8—2.8 min）；时间价值 \(v=0.2\) 元/min；基线事故率 \(p_{0j}\)（0.6—1.2 次/万次）、抢行事故率 \(p_{1j}\)；一次事故期望损失 \(L=18000\) 元；0-1 变量 \(z_j\)；单趟最多抢行数 2；必须赶上所需省时 4 min；超时成本 3 元。
2.2 目标函数与约束条件
设第 \(j\) 个路口抢行省时 \(s_j\) 分钟，时间价值 \(v\) 元/min，基线事故率 \(p_{0j}\)、抢行事故率 \(p_{1j}\)，一次事故期望损失 \(L\) 元；\(z_j\in\{0,1\}\) 表示该路口是否抢行。抢行的净成本（风险减收益）为
基准口径下 \(p_{1j}-p_{0j}=2\times10^{-4}\)、\(s_j=2.4\)、\(L=18000\)、\(v=0.2\)，得 \(3.60-0.48=3.12\) 元——正数。模型是
目标系数全为正、约束是上界，故 \(z_j\equiv 0\) 是唯一最优解，\(Z^{*}=0\)。这不是模型没用，恰恰是它的用处：它把"大概不会出事"翻译成了 3.12 元/次的确定数字，让"全不抢"从一个道德结论变成一个可以复核的算术结论。
穿透测算。 令式 (1) 为零，得到临界事故损失
即"只有当一次事故的期望损失低于 2400 元时，抢行才划算"。反过来解 \(v\)，临界时间价值 \(v^{*}=L(p_{1j}-p_{0j})/s_j=1.5\) 元/min，折时薪 90 元/h——只有当你的 1 分钟值 1.5 元以上，抢行才在期望值上站得住。
若业务上必须抢。 一趟只剩 4 分钟余量时，"赶上"变成硬需求：
单路口最多省 2.8 min，故约束逼出恰好 2 个路口；在 15 种组合里挑 \(\sum\Delta c_j\) 最小的那一对，就是"风险最低的两个"而不是"省时最多的两个"。
2.3 规模与性质
6 个 0-1 变量、2 条约束（上界与覆盖），无连续决策，属最简的 0-1 背包型问题。正因为小，它才能被完整复核：\(2^{6}=64\) 个子集穷举与 Gurobi 结果相差 0（数值零），说明全部结论都落在系数上而不是算法上。
3 Gurobi 求解实现
3.1 建模要点
6 个 0-1 变量、2 条约束、纯整数规划，单次求解 0.00 s 以内，根节点即收敛。
m.addConstr(gp.quicksum(z[i] for i in range(n)) <= 2, name="kmax")
m.addConstr(gp.quicksum(S_J[i] * z[i] for i in range(n)) >= sreq, name="cover")
m.setObjective(gp.quicksum(cost[i] * z[i] for i in range(n)), GRB.MINIMIZE)
代码里没有任何技巧，全部工作量在系数怎么来：18000 元是含伤残与误工的期望值，不是"赔个餐费"；\(p_{1j}-p_{0j}\) 是同一路口抢行前后的差，不是全市平均；\(v\) 用的是 0.2 元/min（时薪 12 元）而不是"时间无价"。三个数各错一处，结论就会翻。
校验。 子集只有 \(2^{6}=64\) 个（含超过 2 个的），穷举可得两个场景的最优值 0.00 与 3.88，与 Gurobi 相差 0（数值零）。表 1 是逐路口明细。
表 1 六个路口的抢行参数与净成本（时间价值 0.2 元/min，损失 1.8 万元）
| 路口 | 名称 | 省时 / min | 基线率 / 万次 | 抢行率 / 万次 | 风险成本 / 元 | 省时收益 / 元 | 净成本 / 元 | 必抢 2 个时 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J1 | 体育东路 | 2.4 | 1.0 | 3.6 | 4.68 | 0.48 | 4.20 | — |
| J2 | 棠下 BRT | 2.0 | 0.8 | 2.6 | 3.24 | 0.40 | 2.84 | — |
| J3 | 科韵路 | 2.6 | 1.1 | 3.9 | 5.04 | 0.52 | 4.52 | — |
| J4 | 客村立交 | 2.8 | 1.2 | 4.4 | 5.76 | 0.56 | 5.20 | — |
| J5 | 昌岗 | 1.8 | 0.6 | 1.8 | 2.16 | 0.36 | 1.80 | 选中 |
| J6 | 区庄 | 2.2 | 0.7 | 2.1 | 2.52 | 0.44 | 2.08 | 选中 |
表 1 已经能读出全部结构：净成本从 1.80 到 5.20 元全为正，最"便宜"的昌岗也要 1.80 元——省 1.8 min 换 2.16 元风险，仍然亏。
3.2 求解结果
无硬需求：\(z_j\equiv0\)，\(Z^{*}=0.00\) 元，0.00 s。加覆盖约束：\(z=[0 0 0 0 1 1]\)，\(Z^{*}=3.88\) 元，省时 4.0 min、总风险 4.68 元。两个解都不是"求解器挑的"，而是系数决定的——把任何一路口的 \(\Delta c_j\) 改到负，最优解立刻翻，这正是后文灵敏度要回答的问题：什么条件下它会翻。
4 结果分析
4.1 结构：收益是零头，风险是整头
图 1 六个路口"抢行收益（上方绿）vs 事故期望成本（下方红）"棒棒糖，风险处处压过收益
图 1 把两个量画在同一根竖线上：向上的绿棒是省时收益（0.48 元级），向下的红棒是事故期望成本（3.60 元级）。红棒长度是绿棒的 7 倍，六个路口无一例外。这张图是本案例的"体检报告"：不是某个路口特别危险，而是收益与风险量级不同——用分钟计价的东西，去对赌用万元计价的东西。
图 2 节省时间—事故期望增量成本散点（气泡大小为增量事故率，两虚线为不同时间价值下的等收益线）
图 2 换个切法：横轴省时、纵轴风险，气泡大小是增量事故率。两条虚线是不同时间价值下的"等收益线"（\(y=v s\)），点落在线上方就意味着风险高于收益。本案 6 个点全在 0.2 元/min 线之上，高出 6—10 倍；即便把时间价值抬到 1.5 元/min（最陡的那条），也只有区庄、昌岗两个点落到线下方，其余四个仍在线上。"我很急"这个理由，要在 1.5 元/min 以上才开始有一点算术支撑。
4.2 决策：三个方案与一趟的账
图 3 三种方案的净成本对比：认超时、只盯省时抢 2 个、模型选风险最低 2 个
图 3 是决策图。全不抢付 3 元超时成本（扣半程配送费 2.5 元 + 差评折算 0.5 元），风险为 0，净成本 3.00 元；只盯省时抢 2 个（客村 + 科韵，省 5.4 min 最多）净成本 9.72 元；模型选风险最低 2 个（J5、J6，省 4.0 min）净成本 3.88 元。三个数字的排序说明两件事：其一，抢行本身是亏的——只要抢，最低也要 3.88 元，比认超时贵 0.88 元；其二，真要抢，选哪两个差 5.84 元（9.72 对 3.88），这就是模型在硬约束下仍然值钱的地方。
表 2 三种方案的净成本（一趟配送，需省 4 分钟才算赶上）
| 方案 | 抢行路口 | 省时 / min | 省时收益 / 元 | 事故期望成本 / 元 | 超时成本 / 元 | 净成本 / 元 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 全不抢（认超时） | — | 0 | 0 | 0 | 3.00 | 3.00 |
| 只盯省时抢 2 个 | J4、J3 | 5.4 | 1.08 | 10.80 | 0 | 9.72 |
| 模型选风险最低 2 个 | J5、J6 | 4.0 | 0.80 | 4.68 | 0 | 3.88 |
图 4 一趟配送的累计风险（左轴）与累计省时（右轴），模型方案在第 5、6 个路口才补满 4 分钟
图 4 把一趟配送摊开：横轴是途经路口，左轴累积风险、右轴累积省时。模型方案把两个名额押在最后两个路口（J5、J6），风险曲线在第 5、6 段才抬起来，累计 4.68 元；右轴的省时阶梯直到 J6 才越过 4 min 的需求线。"后置抢行"是这类问题的通用形状：先把低风险的路口用完，风险预算留到最需要的时候——但本案的结论是连这份预算都不该花。
4.3 主灵敏度：越急越危险
图 5 时间价值对临界事故损失（左轴）与"划算路口个数"（右轴）的影响
图 5 的斜线是式 (3) 的临界损失 \(L^{*}=12000v\)：时间价值从 0.2 涨到 2.0 元/min，临界线从 2400 元抬到 24000 元，整整 10 倍。这条线越陡，"愿意用多高的代价换 1 分钟"的标准就越松——经济学上这叫时间价值的影子价格，口语里就叫"越急越危险"。本案的 1.8 万元水平线与它交在 \(v=1.5\) 元/min，右侧才是抢行的"理性区"。右轴阶梯同理：v 到 1.15 元/min 时第一个路口（区庄）翻正，1.20 时第二个（昌岗）翻正，之后受 \(\sum z\le2\) 封顶，一路停在 2 个。
图 6 时间价值 × 事故损失 的最优抢行个数分区（星号为本案 0.2 元/min、1.8 万元）
图 6 把两个参数摊成平面：横轴时间价值、纵轴事故损失，颜色是最优抢行个数。分界是一条从左上到右下的斜带，右上是"越急、命越贵"的双重危险区，本案星标 (0.2, 18000) 落在灰区（0 个）深处，离最近的分界线还有 5 倍以上的余量。结论对参数不敏感——这不是"卡在临界点上"的脆弱结论。
4.4 第三维与前沿：哪个路口先翻
图 7 第三维：六个路口各自的临界损失线，与 1.8 万元水平线的交点即翻正点（J1 与 J3 几乎重合）
图 7 把"路口"作为第三维：六条临界线斜率各不相同，斜率 \(s_j/(p_{1j}-p_{0j})\) 就是"这个路口值不值得冒险"的性价比。昌岗、区庄两条最陡（省时相对多、增量风险相对小），分别在 1.20 与 1.15 元/min 处越过 1.8 万元；客村最缓（增量风险 3.2 次/万次，是昌岗的 2.7 倍），要 2.06 元/min 才翻——省时最多的路口恰恰是最不该抢的那个，这是直觉最容易错的地方。
图 8 省时—风险的帕累托前沿（阴影为前沿下方不可达区，虚线为必须省够 4 分钟）
图 8 是省时—风险的帕累托前沿：横轴省时、纵轴风险，每个点是一对路口的组合。前沿在 4—5.4 min 之间陡然上翘——多省 1.4 分钟要多付 6.12 元风险，边际交换比 4.37 元/min，是时间价值 0.2 元/min 的 22 倍。阴影是前沿下方不可达区：想省 4 min 又把风险压在 4.68 元以下，没有这样的组合。左上角那个"零风险拿满 5.4 min"的理想点被整片阴影隔开，这就是"没有免费的时间"的几何形态。
4.5 分布、分解与"一条命的价格"
图 9 一次事故期望损失的分布与累计概率，2400 元临界值落在分布左尾之外
图 9 处理一个常被忽略的问题：1.8 万元只是均值。用对数正态描述实际赔付（医疗+伤残+误工，中位 16267 元、长尾到 4 万元以上），临界值 2400 元落在分布的极左尾——2 万次抽样里，低于 2400 元的事故出现 0 起。"抢行划算"要求你相信一起事故只赔 2400 元，而这种事故在现实中几乎不存在。均值决策已经偏向不抢，分布决策只会更坚决。
图 10 逐路口的省时收益与事故成本分解（最右为最优 2 个路口的合计）
图 10 把每个路口的账拆成两根柱：绿柱 = 省时收益，红柱 = 事故成本，菱形 = 净额。六根绿柱加起来 2.76 元，只有红柱合计 23.40 元的 12%。最右一组是模型选中的两个路口合计：收益 0.80 元、成本 4.68 元、净亏 3.88 元。
把尺子再放大一次：一天 30 趟、每趟都抢 2 个，一年 21600 次抢行——省下的时间值 10368 元，期望事故成本 77760 元，净亏 67392 元，等价于每年 4.32 起事故。这个量级已经超出"个人风险偏好"的范畴：它不是骑手在自己身上赌，是把 67392 元的账摊给了路上的每一个人。
5 结论
（1）抢行在期望值上就是亏的：省时收益 0.48 元/次，事故期望成本 3.60 元/次，净成本 3.12 元/次；6 个路口 \(\sum z_j\le2\) 的 0-1 模型最优解为全不抢，\(Z^{*}=0\)。模型的价值不在于得出这个"显然"，而在于把"大概不会出事"写成 3.12 元。
（2）穿透测算给出主结论：临界事故损失 \(L^{*}=v s/(p_1-p_0)=2400\) 元。只有当一条命只值 2400 元（一台二手电动车）时，抢行才理性；按 1.8 万元计，差 7.5 倍。等价地，临界时间价值 1.5 元/min（时薪 90 元），目前 0.2 元/min，差 7.5 倍。
（3）必须抢时选风险最低的两个：约束 \(\sum s_j z_j\ge4\)、\(\sum z_j\le2\) 下最优为 J5、J6，总风险成本 4.68 元、净成本 3.88 元；只盯省时会选客村+科韵，净成本 9.72 元，多付 5.84 元买 1.4 分钟。模型即便在最不利的假设下仍有 5.84 元的价值，但仍不如认超时（3.00 元）。
（4）越急越危险有价格：\(v\) 从 0.2 到 2.0 元/min，临界损失从 2400 抬到 24000 元（10 倍）；六条路口临界线的交点分别落在 1.15—2.06 元/min，省时最多的客村反而最后翻正。二维分区（图 6）显示本案参数离分界线有 5 倍余量，结论不脆弱。
（5）结论是不抢行：一年 21600 次抢行省 10368 元、赔 77760 元，净亏 67392 元、等价 4.32 起事故。抢行是本模型明确否定的选项——不是因为"不该违规"这句口号，而是因为它在算术上就不划算：用 3.60 元的期望成本，去换 0.48 元的确定收益。
参考文献
[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
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[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
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