案例088 汤洒了赔 15
案例088 汤洒了赔 15
摘要：一次洒漏赔 15 元，加固包装 1.5 元/单可把洒漏率从 18% 降到 5%，专箱 380 元可用 2 年可降到 2%。以 \(z_1,z_2\) 与接单变量 \(x_i\) 建 16 变量 MILP，目标为毛利减赔偿期望、加固费与专箱摊销，组合项 \(z_1z_2\) 与 \(z\cdot\sum x_i\) 全部线性化。求得日 10 单时最优为专箱、不加固，日净收益 52.48 元、年 19155 元，比加固多 6928 元、比无措施多 8570 元、比"全部不接"多 19155 元。核心是固定成本折单均：专箱 0.52 元/天在日 0.267 单（97 单/年、约 8 单/月）处与加固持平，之上的量全归专箱；加固对无措施是严格支配（省 0.45 元/单），故"不投入"段被压成一点，只在洒漏率低于 15% 时重新张开。赔偿额涨到 30 元，门限降到 0.217 单/天。
关键词：固定成本摊销；盈亏平衡单量；措施组合；0-1 线性化；洒漏风险定价
1 问题提出
1.1 问题是什么
一单汤，洒了赔 15 元。骑手有两条路：花 1.5 元加一层防洒包装（洒漏率 18% 降到 5%），或者一次性花 380 元买一个专用汤箱（洒漏率降到 2%，可用 2 年）。也可以什么都不做，承担 18% 的洒漏；还可以干脆不接汤品单。
数字先摆出来。一个骑手一天能接到 10 单汤品（数据表按距离 1.2—7.4 km 排列，单均净收益 4.2—8.0 元，均值 5.6 元），一天的账是：不接 0 元；无措施 56.0 − 27.0（赔偿期望）＝29.0 元；加固 56.0 − 7.5 − 15.0（加固费）＝33.5 元；专箱 56.0 − 3.0 − 0.52（日摊）＝52.48 元。一年放大到 6928 元的差距（专箱比加固多赚的），这不是"要不要讲究"的问题。
难的地方不在算账，在两种成本的性质不同。加固费 1.5 元是变动成本：接一单付一单，不接就不付。专箱 380 元是固定成本：一次付清、摊 730 天，日均 0.52 元，接的单越多越便宜。固定成本只有折成"单均"才和变动成本可比——这就是本案的全部内容。
1.2 为什么要优化
三条理由。其一，两种成本不可直接相加：1.5 元/单是变动、380 元是固定，不折成同一口径就没法比，折错方向（把专箱按"每次用都花 380 元"算）会把结论从"买"翻成"不买"。其二，"不接"是隐性成本最高的一项：表面 0 支出，实际扔掉 20440 元/年毛利。其三，洒漏率与赔偿额共同决定措施：18% 的基准率在 15 元赔偿下让加固只赚 0.45 元/单，赔偿涨到 30 元结论就变。
1.3 Gurobi 如何求解
建模（16 变量、13 约束），预处理用候选集规模 \(n=10\) 收紧三个乘积变量的界；分支定界在根节点即得整数解（0-1 变量仅 4 个）；对偶价从 LP 松弛读措施的单均影子价；参数扫描在 \(N\)、\(f\)、\(p_0\) 三维网格上做，切换点用年成本曲线的解析解与数值扫描双保险。
2 数学模型
2.1 符号说明
符号：汤品日单量 \(N\)（基准 10 单/天，行业常见 3 单/天）；第 \(i\) 单净收益 \(\bar w_i\)（4.2—8.0 元，均值 5.6 元）；一次洒漏赔偿 \(f=15\) 元；三档洒漏率 \(p_0=0.18,p_1=0.05,p_2=0.02\)；加固费 \(c_1=1.5\) 元/单；专箱价格 \(B=380\) 元、寿命 \(T=2\) 年、年摊 \(B/T=190\) 元；0-1 变量 \(z_1,z_2\)（加固、专箱）与 \(x_i\)（接第 \(i\) 单）。
2.2 目标函数与约束条件
设汤品日单量为 \(N\)，单均净收益 \(\bar w=5.6\) 元；一次洒漏赔 \(f=15\) 元；加固 \(c_1=1.5\) 元/单；专箱 \(B=380\) 元、寿命 \(T=2\) 年、年摊 \(B/T=190\) 元。三档洒漏率 \(p_0=0.18\)、\(p_1=0.05\)、\(p_2=0.02\)。
措施组合与洒漏率。 令 \(z_1,z_2\in\{0,1\}\) 分别为加固、专箱，组合效应写成双线性式：
式 (1) 的三个系数都有含义：单独加固省 \(p_0-p_1=0.13\)、单独专箱省 \(p_0-p_2=0.16\)，两者同开时回到 \(p_2\)（专箱已是 2%，加固叠上去不再降），这就是 \(+0.13z_1z_2\) 这一项的存在理由。
年成本曲线。 一年 \(365N\) 单，三种措施的年成本是三条射线，只有专箱带截距：
代入数值：\(C_{\mathrm{no}}=985.5N\)、\(C_{\mathrm{add}}=821.2N\)、\(C_{\mathrm{box}}=109.5N+190\)。只有第三条有截距，所以只有涉及专箱的比较才有非零的盈亏平衡量——这是本案与"两个变动成本比大小"最根本的区别。
目标。 接单 \(x_i\in\{0,1\}\)，一天 10 个候选单：
\(\sum x_i=0\) 就是"全部不接"，此时 \(Z=0\)——这个选项一直在可行域里，不需要额外约束，模型自然会拿它和其他三项比。
线性化。 式 (3) 有两处乘积。\(z_1z_2\) 用 \(w\le z_1\)、\(w\le z_2\)、\(w\ge z_1+z_2-1\) 处理；\(z\cdot S\)（\(S=\sum x_i\)）用
\(n=10\) 取候选集规模，不用 \(10^6\)。展开后目标对 \(g_1,g_2\) 的系数为负、对 \(g_w\) 为正，最小化时三个乘积变量自动落到端点，\(g\equiv Sz\) 精确成立。
2.3 规模与性质
16 个变量（10 个 \(x_i\) + 3 个措施 0-1 + 3 个乘积辅助）、13 条约束，纯 MILP、无连续决策。措施只有 4 种组合，故最优解可由"逐单阈值 + 四组合枚举"闭式复核，与 Gurobi 相差 0（数值零）。
3 Gurobi 求解实现
3.1 建模要点
模型 10 个 \(x_i\)、\(z_1,z_2,w\) 三个 0-1、\(g_1,g_2,g_w\) 三个连续辅助，共 16 个变量、13 条约束，单次求解 0.001 秒。
loss = F*P0*S + (c1 - F*(P0-P1))*g1 - F*(P0-P2)*g2 + F*(P0-P1)*gw
m.setObjective(-(rev - loss - fix*z2), GRB.MINIMIZE)
for g, z in ((g1, z1), (g2, z2), (gw, ww)):
m.addConstr(g <= n*z); m.addConstr(g <= S); m.addConstr(g >= S - n*(1-z))
三个系数一次写清：\(c_1-f(p_0-p_1)=-0.45\)（加固的净单价）、\(-f(p_0-p_2)=-2.40\)（专箱的变动节省）、\(+f(p_0-p_1)=1.95\)（组合项回收）。第一个系数是负的、第二个更负：专箱每单比无措施省 2.40 元，加固只省 0.45 元，这就是胜负手。
校验。 措施只有四种组合，每种组合下的最优接单策略是解析的——接当且仅当 \(\bar w_i>f p(z)+c_1z_1\)。四种组合各算一遍取最大得 52.48 元，与 Gurobi 的 52.48 元相差 0（数值零）（数值零）。
表 1 四种措施组合的日成本与年净收益（日 10 单）
| 措施 | z1,z2 | 洒漏率 | 单均成本 / 元 | 年措施成本 / 元 | 年净收益 / 元 |
|---|---|---|---|---|---|
| 全部不接 | — | — | 0 | 0 | 0 |
| 无措施 | 0,0 | 18% | 2.70 | 9855 | 10585 |
| 加固 | 1,0 | 5% | 2.25 | 8212 | 12227 |
| 专箱 | 0,1 | 2% | 0.35 | 1285 | 19155 |
| 加固+专箱 | 1,1 | 2% | 1.85 | 6760 | 13680 |
表 1 最后一行是"多此一举"的量化版：专箱已把洒漏率压到 2%，再加固一分钱也降不下来，1.5 元/单纯属白花，一年白扔 5475 元。
3.2 求解结果
Gurobi 在根节点即收敛：\(z_1=0,z_2=1\)，10 单全接，日净收益 52.48 元、年 19155 元，与四组合枚举的 52.48 元完全一致。最优解的结构很干脆——买箱子、不加固、单照接，三项决策互不纠缠。
4 结果分析
4.1 结构：三档洒漏率与单均成本
图 1 三档措施的洒漏率（柱）与单均总成本（菱形，右轴，日 10 单口径）
图 1 把两条量纲不同的曲线放在一起：柱是洒漏率 18%／5%／2%，菱形是折算到单均的总成本 2.70／2.25／0.35 元。柱高与成本不同序——洒漏率不是目标，率乘 \(f\) 再加措施费才是。加固的柱只降到 5%，成本却几乎贴着无措施，差 0.45 元，正是"1.5 元买 1.95 元"的结果。
图 2 汤品日均单量—年措施成本的三条曲线（气泡大小反映年单量）
图 2 是结构图里最关键的一张：三条线都是直线，但只有专箱那条有截距 190 元。横轴左端（日 0.1 单）专箱贵得离谱，右端（日 30 单）几乎贴着横轴。两个交点就是后文的两个盈亏平衡量：79 单/年与 97 单/年。加固线与无措施线永不相交（斜率 2.25 对 2.70，后者处处在上），这是纯变动成本的必然结果。
4.2 三个盈亏平衡量与分段结论
图 3 四种方案的年净收益对比（柱＝毛利与措施成本，菱形＝净收益）
图 3 是结论图。日 10 单：不接 0 元、无措施 10585 元、加固 12227 元、专箱 19155 元。专箱比加固多 6928 元/年、比无措施多 8570 元/年。"全部不接"这一档的代价是 19155 元/年——它并没有省下 0.52 元/天的摊销，而是扔掉了 20440 元毛利。这就是"最省事的选项最贵"的算术版。
三个盈亏平衡量由式 (2) 解出，与图 2 的交点逐位一致：
表 2 三个盈亏平衡汤品单量
| 比较 | 单/天 | 单/年 | 单/月 | 判别 |
|---|---|---|---|---|
| 加固 vs 专箱 | 0.267 | 97 | 8 | 低于加固、高于专箱 |
| 无措施 vs 专箱 | 0.217 | 79 | 7 | 专箱固定成本摊平点 |
| 无措施 vs 加固 | 0 | 0 | 0 | 无内部交点，恒省 0.45 元/单 |
前两个是单量、第三个退化成一个点，原因写在式 (2)：\(C_{\mathrm{no}}\) 与 \(C_{\mathrm{add}}\) 都过原点，斜率 2.70 对 2.25，平行即支配，加固从第 1 单起就赢。所以本案"最优措施随单量变化"只有两段：\(N<0.267\) 单/天（约 8 单/月）加固，\(N>0.267\) 专箱；"不投入"那一段被压成 \(N=0\) 一个点。
分段结论的完整形态要看的不是 \(N\) 一条轴，而是 \((N,p_0)\) 平面（图 7）：不投入／加固／专箱三块由两条线划开——洒漏率门槛 \(p^{*}=c_1/f+p_1=15\%\)（与单量无关），单量门槛 \(N^{*}=0.267\)（与洒漏率无关）。本案 \(p_0=18\%>15\%\)，站在门槛右侧，所以只看到后两段。行业常见量日均 3 单：专箱年净 5613 元 > 加固 3668 元 > 无措施 3175 元，仍选专箱——门槛只有 97 单/年（约 8 单/月），低到几乎是"只要长期做，就买"。
4.3 累计过程：380 元多久摊平
图 4 两年 730 天的累计措施成本（专箱在第 0 天一次性付 380 元）
图 4 把固定成本摊开的过程画出来：专箱那条线在第 0 天跳到 380 元，之后斜率 3.0 元/天；加固是斜率 22.5 元/天的直线。两线在第 19 天相交（0.6 个月），此后专箱永远在下。两年累计专箱 2570 元、加固 16425 元，差 13855 元——380 元的"重投入" 19 天就回本。右轴虚线是累计均摊，从 380 元/天降到 1.04 元/天。
4.4 灵敏度：赔偿额 15 元→30 元与洒漏率
图 5 赔偿额对最优年净收益（左轴）与加固/专箱分界单量（右轴）的影响
图 5 的右轴就是本案要的答案：赔偿额从 15 涨到 30 元，加固/专箱的分界单量从 0.267 掉到 0.217 单/天，门槛下移 23%。赔偿越贵，固定投入越该早花，最优措施整体上移一档。左轴两条：赔偿翻倍，日 10 单的年净收益从 19958 掉到 17038 元（−15%），日 3 单从 5854 掉到 4978 元（−15%）——小单量更脆，因为摊销占比高。
图 6 赔偿额 × 日均单量 的最优措施分区（星号为本案 10 单、15 元）
图 6 是二维分区：横轴单量（对数）、纵轴赔偿额，灰是无措施、橙是加固、绿是专箱。分界线是斜的——赔偿额涨，绿色向左扩；单量涨，绿色向下扩。星标 \((10,15)\) 落在绿区中央，说明本案结论对参数不敏感。
图 7 无措施洒漏率 × 日均单量 的三区图（虚线为 15% 加固门槛）
图 7 补上第三维：洒漏率。水平虚线 \(p_0=15\%\) 以上加固才值得（\(c_1/f+p_1\)），以下无措施更省；右侧全归专箱。三个区第一次同框：左下无措施、左上加固、右侧专箱。本案 18% 只比门槛高 3 个百分点，加固的净赚只有 0.45 元/单——薄，这解释了"加固好像没什么用"的直觉：一旦洒漏率降到 15% 以下，加固立刻变成亏本买卖。
4.5 前沿、分布、分解与"不接"的代价
图 8 年单量—单均措施成本的下包络（阴影为 2% 洒漏的不可行区）
图 8 把纵轴换成单均成本，固定成本的形状才显出来：无措施 2.70、加固 2.25 是两条水平线，专箱是 \(190/N+0.30\) 的双曲线，单量越大越贴 0.30 元的下界。包络在 97 单/年处从加固切到专箱，之后一路下滑并无限逼近阴影上边界——那条缝就是 190 元/年的摊销。阴影是不可行区：任何措施都做不到低于 2% 洒漏，单均成本不可能低于 0.30 元。规模越大越贴极限，尾巴上唯一还能再降的手段是换更低的 \(p_2\)，不是省钱。
图 9 每 30 单洒漏次数的分布（柱）与累计概率（线，右轴）
图 9 用 6000 次二项抽样：无措施平均 5.4 次/30 单、加固 1.5 次、专箱 0.6 次（比值 9:1）。但"一次都不洒"的概率差得更狠：专箱 55%、加固 22%、无措施 0.2%。期望值决策买的是均值，骑手真正怕的是"这个月别出事"——图 9 就是这个差别的可视化。
图 10 单均措施成本的分解：赔偿期望、加固费、专箱摊销
图 10 把单均成本拆成三块。无措施 2.70 元全是赔偿期望；加固 2.25 元＝0.75 赔偿 + 1.5 加固费；专箱日 10 单只有 0.35 元、日 3 单涨到 0.47 元。同一只箱子，单量差 3 倍，摊销差 0.12 元/单——这就是固定成本的全部脾气：它不随单量变，只随单量被摊薄。
单均净收益 5.6 元、无措施的期望赔偿 2.70 元，前者是后者的 2.1 倍。只要这个比值大于 1，接单就一定优于不接——洒漏是概率事件，赔的是 15 元、赚的是 5.6 元，接 3 单的毛利就够赔 1 次。所以"怕洒就不接汤品"是把 2.70 元的概率风险当成 15 元的确定损失来定价。要让"不接"翻身，赔偿额得涨到 \(f^{*}=(\bar w-c_1)/p_1=82\) 元，是现在的 5.5 倍。真正该优化的不是"接不接"，而是"用什么接"：19155 元/年已是这条曲线的上界，再往下只有两条路——把 \(p_2\) 压得更低，或把 \(N\) 做大。
5 结论
（1）固定成本要折成单均才能比：专箱 380 元摊 730 天＝0.52 元/天，日 10 单时折 0.052 元/单，日 3 单时折 0.17 元/单。同一只箱子，单量一变，结论就变；把 380 元按"每次用都花"计，会把答案从"买"翻成"不买"。
（2）三个盈亏平衡量：加固↔专箱 0.267 单/天（97 单/年、8 单/月）；无措施↔专箱 0.217 单/天（79 单/年）；无措施↔加固无内部交点，加固从第 1 单起就省 0.45 元/单，等价临界赔偿额 11.54 元。
（3）分段结论：\(N<0.267\) 加固、\(N>0.267\) 专箱；"不投入"段只在 \(p_0<15\%\) 时张开（图 7）。本案日 10 单选专箱、不加固，年净收益 19155 元；行业常见日 3 单同样选专箱，年净 5613 元。
（4）"全部不接"是最贵的选项：它省下 0.52 元/天，却扔掉 20440 元/年毛利；单均收益 5.6 元是无措施期望赔偿 2.70 元的 2.1 倍，"怕赔 15 元就不接 5.6 元的单"在算术上不成立，除非赔偿额涨到 82 元。
（5）赔偿额上移措施：\(f\) 从 15 涨到 30 元，加固/专箱门限从 0.267 降到 0.217 单/天（图 5），降幅 23%。赔偿越贵越该提前花固定投入；洒漏率越低（图 7）越该退回变动成本的加固——两个方向相反，门限就是它们的交点。
参考文献
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[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
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[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
复现方式：python batch_088.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/
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