案例087 先送那个容易给差评的

案例087　先送那个容易给差评的

摘要：8 单外卖里有 2 位 4.2 分（易怒）客户、6 位 4.9 分客户，一条差评赔 20 元，差评概率随超时线性上升（\(0.08+0.03\ell\) 与 \(0.01+0.005\ell\)）。以位置变量 \(x_{i,k}\)、完成时刻 \(C_k\)、超时量 \(L_i\) 建 8 单顺序指派模型，目标为差评期望 + 3.5 元/单超时罚款。线性概率使目标对 \(L_i\) 的导数为常数，得到风险单价 4.2 分 0.60 元/min、4.9 分 0.10 元/min，相差 6 倍。Gurobi 求得最优顺序 O1 → O7 → O4 → O6 → O3 → O8 → O2 → O5，总成本 31.5 元（差评期望 21.0、罚款 10.5），里程 28.64 km；与 \(8!\) 全枚举的最优值相差 0.0000 元。对照实验：低分优先 49.9 元、里程最短 36.8 元，差评期望分别多 4.4 与 5.3 元。承诺收紧 1 min 的数值影子价恰好读出 0.60 与 0.10 元；赔付额扫描给出换序临界值 \(f^*=35.30\) 元。

关键词：风险加权调度；差评期望；风险单价；顺序指派；影子价格；帕累托前沿

1　问题提出

8 单外卖、一台车、一个晚上。8 位客户里有 2 位历史评分只有 4.2 分（容易给差评），另外 6 位是 4.9 分的老好人。一条差评赔 20 元。评分不是标签，它决定一条概率曲线：4.2 分客户超时 \(\ell\) 分钟时给差评的概率是 \(0.08+0.03\ell\)，4.9 分客户只有 \(0.01+0.005\ell\)。

顺序决定一切。第一位客户 8 分钟后就吃上了饭，最后一位要等 67 分钟。把谁放在前面，等于把谁的"超时时钟"往后拨。这里头有一个容易被忽略的换算：一条差评 20 元，则 4.2 分客户每多超时 1 分钟，期望赔付增加 \(0.60\) 元；4.9 分客户只增加 \(0.10\) 元。前者的"每分钟风险"是后者的 6 倍——这才是"先送那个容易给差评的"的量化理由，而不是一句服务态度。

但先送易怒客户要多跑路。里程得折成时间才能和风险比：绕 1 km 多花 1.5 min，落在 4.2 分客户身上值 \(0.90\) 元，落在 4.9 分客户身上只值 \(0.15\) 元。同一公里，送给易怒客户的"路费"是送给稳定客户的 6 倍——所以为低分客户绕的路，每公里不超过 \(0.90\) 都划算；为高分客户绕路则几乎永远不划算。

2　数学模型

设客户集 \(\mathcal{N}=\{1,\dots,8\}\)，\(0\) 为站点；\(t_{ij}\) 为行程时间（min），\(s=3\) 为单点服务时间，\(D_i\) 为承诺时刻，\(f=20\) 为一条差评的赔付额。客户 \(i\) 的差评概率取线性式

\[P_i(L_i)=a_i+b_iL_i,\qquad a_i=\begin{cases}0.08,&\text{评分 4.2}\\ 0.01,&\text{评分 4.9}\end{cases},\qquad b_i=\begin{cases}0.03,&\text{评分 4.2}\\ 0.005,&\text{评分 4.9}\end{cases}\tag{1} \]

决策变量：\(x_{i,k}\in\{0,1\}\) 表示客户 \(i\) 排在第 \(k\) 位；\(C_k\ge 0\) 为第 \(k\) 位的完成时刻；\(A_k\ge 0\) 为进入第 \(k\) 位的行程时间；\(L_i\ge 0\) 为客户 \(i\) 的超时量；\(u_i\in\{0,1\}\) 表示该单是否超时。

顺序指派。 每位客户恰占一个位置、每个位置恰放一位客户：

\[\sum_{k=1}^{8}x_{i,k}=1\ (\forall i),\qquad \sum_{i=1}^{8}x_{i,k}=1\ (\forall k)\tag{2} \]

时间递推。 第 \(k\) 段的行程时间由相邻两位客户决定，用大 \(M\) 从位置变量里"取"出来：

\[A_1\ge t_{0i}-M_A(1-x_{i,1}),\qquad A_k\ge t_{ij}-M_A(2-x_{i,k-1}-x_{j,k})\tag{3} \]

\[C_1=s+A_1,\qquad C_k=C_{k-1}+s+A_k,\qquad k=2,\dots,8\tag{4} \]

式 (3) 只有一对 \((i,j)\) 的下标同时成立，\(A_k\) 取到真实行程；式 (4) 是等式，完成时刻被完全钉死，不需要子回路消除。

超时量与超时指示。

\[L_i\ \ge\ C_k-D_i-M_C(1-x_{i,k}),\qquad L_i\ \le\ \bar C\,u_i,\qquad \forall i,k\tag{5} \]

目标。 差评期望与超时罚款同价相加：

\[\min\ Z=f\sum_{i\in\mathcal{N}}(a_i+b_iL_i)+3.5\sum_{i\in\mathcal{N}}u_i+0.001\sum_{k=1}^{8}A_k\tag{6} \]

式 (6) 的第一项对 \(L_i\) 求导就是风险单价 \(\rho_i=f b_i\)：4.2 分客户 \(0.60\) 元/min，4.9 分客户 \(0.10\) 元/min，比值 6。它与里程项同量纲（元），可以直接比较；而 3.5 元的固定罚款是阶跃的，与分钟数无关。

3　Gurobi 求解实现

模型共 64 个 \(x_{i,k}\)、8 个 \(C_k\)、8 个 \(A_k\)、8 个 \(L_i\)、8 个 \(u_i\)。式 (6) 完全线性——\(P_i(L_i)\) 是线性的，直接展开即可，不需要任何 0-1 变量做分段，这是本题与案例 086 阶梯罚款最大的区别。

bb = np.array([B0[i] * (kb if LOW[i] else 1.0) for i in range(N)])
risk = fine * gp.quicksum(A0[i] + bb[i] * L[i] for i in range(N))
pen  = TH   * gp.quicksum(u)
mile = gp.quicksum(Ak) / SPD
m.setObjective(risk + pen + 0.001 * mile, GRB.MINIMIZE)

最后一项 \(0.001\sum A_k\) 是字典序近似：量级 0.043 元，远小于最小的风险单价 0.10 元/min，改不动排序，只在总成本相同的方案里挑一条最省油的路，保证报告的路径可复现。

大 \(M\)。 \(M_C\) 取任何路径的完成时刻上界 \(\bar C=127.3\) min（最长 8 段行程 + 8 次服务），\(M_A\) 取最长单段 \(+1\)。都按"最坏路径"估，不留 \(10^6\)。

校验。 8 单只有 \(8!=40320\) 种排列，全部穷举一遍即可得到精确响应面。Gurobi 的 \(Z^*\) 与穷举最优值之差为 0.0000 元（数值零），说明大 \(M\) 与位置递推没有切掉任何可行排法；后文的参数扫描因此全部由穷举完成，单次不到 0.1 s。

影子价的算法。 模型给出的是排序，不是价格。要读出"早送一分钟值多少"，把客户 \(i\) 的承诺时刻单独收紧 1 min 重解，目标增量就是该单的数值影子价：

表 1　各单承诺收紧 1 min 的目标增量（数值影子价）

订单	评分	风险单价 / (元/min)	收紧 1 min 的增量 / 元
O8	4.2	0.60	+0.600
O5	4.9	0.10	+0.100
O2	4.9	0.10	+0.100
O6	4.9	0.10	+0.000
O7	4.9	0.10	+0.000
O4	4.2	0.60	+0.000
O1	4.9	0.10	+0.000
O3	4.9	0.10	+0.000

3 单的影子价非零：4.2 分的 O8 读出 \(0.60\) 元/min、4.9 分的 O2 读出 \(0.10\) 元/min，与式 (6) 的解析导数逐位吻合。影子价为 0 的单说明它有余量，承诺再收紧 1 min 也不用改顺序——余量本身就是钱，只是这钱退不回来。

4　结果分析

4.1　结构：风险单价与概率曲线

按最优顺序排列的各单风险单价（柱）与差评概率截距（菱形，右轴）

图 1 把"评分"翻译成钱：红柱是 4.2 分客户、绿柱是 4.9 分客户，柱高即 \(\rho_i=f b_i\)。两类客户之间是 6 倍的断崖——0.60 对 0.10 元/min，中间没有任何过渡。菱形（右轴）是概率截距 \(a_i\)：易怒客户即使一秒不超时也有 8% 的差评概率，折 1.60 元；稳定客户只有 1%，折 0.20 元。截距是沉没的、斜率才是可优化的，所以排程该盯的是柱高，不是菱形。

超时分钟—超时引致的期望风险散点（两条虚线为两类客户的风险单价）

图 2 是"斜率证据"：红点贴在 0.6 元/min 的陡线上，绿点贴在 0.1 元/min 的平线上。最优解里超时最多的是 O2（34.5 min，4.9 分），全部 74.8 min 超时中 56.4 min（75%）落在 4.9 分客户身上，只有 18.3 min 落在 4.2 分的 O8 身上。超时不是被消灭了，而是按 6:1 的价格被重新分配了——模型不是不给易怒客户超时，而是尽量少给。

三种排程的成本对比：低分优先 / 里程最短 / 模型最优

图 3 是本案的教学核心。三种排法：低分优先（两位 4.2 分客户顶到最前、其余按承诺时刻）总成本 49.9 元；里程最短（纯 TSP）36.8 元，其中差评期望 26.3 元；模型最优 31.5 元。里程最短多付的 5.3 元全部落在差评期望上（+5.3 元），超时单数一单不差。低分优先则两头都吃亏：多跑 12.78 km，超时罚款多 14.0 元（多 4 单超时）、差评期望多 4.4 元。方向对、力度过猛：最优解没有把两位都顶上去，而是把近的 O4 排到第 3 位、把远的 O8 留在第 6 位。

4.2　时序与灵敏度

最优顺序下 8 单的完成时刻与超时量（橙线为累计成本，右轴）

图 4 摊开时间轴：方块是承诺、圆点是完成、杆长是超时。最优顺序 O1 → O7 → O4 → O6 → O3 → O8 → O2 → O5，跑 28.64 km、用时 67 min、3 单超时。橙线是累计成本，它的局部斜率就是当前这一单的风险单价——经过 4.2 分客户时陡、经过 4.9 分客户时缓，钱是在哪几段流走的一眼可见。

差评赔付额 20—40 元对最优总成本（左轴）与超时单数（右轴）的影响

图 5 把赔付额从 20 抬到 40 元：总成本从 31.6 涨到 52.1 元。有意思的是超时单数从 3 增到 4、总超时分钟从 74.8 增到 85.8，成本却仍算"更优"——新增的分钟全压在 4.9 分客户身上，同时 4.2 分客户的超时从 18.3 min 压到 12.2 min。赔得越贵，模型越愿意"多挨一单 3.5 元、多超几分钟，但每一分钟都超在便宜客户身上"。临界点 \(f^*=35.30\) 元——低于它最优解是 O1 → O7 → O4 → O6 → O3 → O8 → O2 → O5，高于它切换成 O2 → O8 → O3 → O6 → O4 → O7 → O1 → O5。这就是"罚款额决定敢不敢迟到"的量化版本：临界值由固定罚款 3.5 元与 \(f b_i\) 的相对大小决定。

差评赔付额 × 4.2 分客户概率斜率 的总成本热图（星号为本案参数）

图 6 把两个参数一起动：纵轴赔付额 20—40 元，横轴 4.2 分客户斜率倍数 0.5—3。最热的角落是"又贵又易怒"：\(f=40\)、斜率 3 倍时总成本 68.8 元，是本案 31.6 元的 2.2 倍。等值线是斜的，说明赔付额与斜率以乘积 \(f\cdot b\) 起作用——两者对目标可以互相替代，真正决定排序的是乘积（风险单价），不是其中任何一个。

斜率倍数 0.5—3 对总成本的影响（三条赔付额曲线）

图 7 单独切一刀：横轴只动斜率。三条线随 \(f\) 抬高而整体上移（\(f=20\) 时全程涨 17.1 元，\(f=40\) 时涨 27.2 元），形状几乎不变。这解释了一个运营事实：调高赔付标准只能整体抬高成本，改变不了"先送谁"的逻辑；要改变逻辑，只能改斜率，也就是改客户结构——把 4.2 分客户服务成 4.9 分，比事后加罚款有效得多。

4.3　前沿、分布与贡献

里程预算—最小总成本的前沿（阴影为里程不可行的预算区间）

图 8 换个问法：给定里程预算 \(\bar L\)，最少要花多少。预算卡在 25.74 km（纯 TSP 最短里程）时成本 36.8 元；每放宽 1 km 成本跳降一档，到 29.74 km 落到 31.5 元后不再下降。前沿先降后平：25.7→29.7 km 这段是"花钱买风险"，1 km 约值 1.32 元；再往后多跑的路一分钱也换不回。真正的杠杆不在里程，而在结构——把 4.2 分客户换成 4.9 分，或者把承诺时刻整体后移。

一晚差评条数的分布（柱：两个方案）与累计分布（线，右轴）

图 9 用 4000 次蒙特卡洛把概率摊开：最优方案平均 1.05 条差评、24% 的晚上一条都没有；里程最短方案平均 1.32 条、"完美夜晚"只剩 5%。均值只差 0.27 条（26%），但零差评的概率差了 5.2 倍，两条以上的概率从 25% 升到 33%。这正是期望值优化的软肋：它压均值，而骑手真正怕的是偶尔炸一次。

各单成本分解：基础风险、超时增量风险与超时固定罚款

图 10 按单拆开：灰是截距（无论准不准都要付的 1.6 或 0.2 元），红是超时增量，蓝是 3.5 元固定罚款。两位 4.2 分客户合计贡献 56% 的成本，却只占单量的 25%。成本高度集中：O8 一人就吃掉 11.0 元（35%），来自那 18.3 min 超时；而它排在第 6 位，前面 5 单的行程已经把到达时刻钉死——顺序救不了它，只能改承诺或加运力。

4.4　为什么"6 倍"不是修辞，但也不是唯一标尺

把式 (6) 对 \(L_i\) 求导，得 \(\partial Z/\partial L_i=f b_i\)，与排序无关、与时间无关，是一个常数。这意味着"早送 1 分钟"的价值在两类客户之间恒为 6:1，不随路况变化。表 1 的数值影子价印证了这一点：4.2 分客户读到 \(0.60\)、4.9 分客户读到 \(0.10\)，误差在 \(10^{-3}\) 量级。

但"按 \(\rho\) 从大到小排"只是启发式，它默认"提前一位是免费的"。真实代价是里程：把一单往前插，要绕进更靠前的路段，多跑的路按 1.5 min/km 折算。本案把两位 4.2 分客户硬顶到最前，正是忽略了这个代价——多跑 12.78 km、多付 18.4 元。所以正确的优先级指数是

\[\pi_i=\rho_i\cdot\Delta t_i-c_{km}\cdot\Delta d_i\tag{7} \]

其中 \(\Delta t_i\) 是提前一位能省下的分钟数（约等于它前面那些单的行程时间之和），\(c_{km}\) 是绕路时间的风险折价。\(\rho\) 相同看距离、距离相同看 \(\rho\)——本案的 O1 → O7 → O4 → O6 → O3 → O8 → O2 → O5 就是这条指数排出来的：O4 近、单价又高，排到第 3 位；O8 在城东最远处，要把它提前得先绕过去再折回，低分优先方案实测多跑 12.8 km（19 min），这笔时间账超过它能省下的 11.0 元，于是宁可让它在第 6 位超 18.3 min。这就是"先送那个容易给差评的"的完整版本：先送，除非路太远。

5　结论

（1）风险单价是定价基准：4.2 分客户 0.60 元/min、4.9 分客户 0.10 元/min，比值 6，由 \(f b_i\) 直接给出，与路况、单量、承诺时刻都无关。但排序不能只看它，还要减去绕路的时间代价（式 7）。
（2）最优顺序 O1 → O7 → O4 → O6 → O3 → O8 → O2 → O5，总成本 31.5 元（差评期望 21.0 + 超时罚款 10.5），里程 28.64 km、3 单超时，其中 75% 的超时分钟压在 4.9 分客户身上。
（3）三方案对比：低分优先 49.9 元（多跑 12.78 km）、里程最短 36.8 元、模型最优 31.5 元。里程最短省了 2.90 km，代价是差评期望多 5.3 元——里程是连续量、差评是概率量，两者不同价，必须同进目标。
（4）临界赔付额 \(f^*=35.30\) 元：低于它最优解是 O1 → O7 → O4 → O6 → O3 → O8 → O2 → O5（3 单超时、合计 74.8 min）；高于它切换成 O2 → O8 → O3 → O6 → O4 → O7 → O1 → O5（4 单超时、合计 85.8 min）。赔得越贵，模型越敢"多超一单、少超几分钟"。
（5）线性 \(P_i(L)\) 让模型保持纯 MIP，无需分段 0-1；而 3.5 元的固定罚款是阶跃的，两者同价相加后超时成了"按单价分配"的资源——这就是为什么最优解把 75% 的超时分钟留给了便宜客户。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

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复现方式：python batch_087.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/