案例085 9000 元到底能不能挣到

案例085　9000 元到底能不能挣到

摘要：把时间、体力、单量密度、罚款期望全部放进一个弹性模型，只问一句：9000 元可不可行。日均在线 10.5 h × 密度 3.1 单/h 给出单量天花板 32.55 单，满格日净额 111.68 元，对 26 天折出的日目标 346.15 元欠 234.47 元/天、6096 元/月。弹性模型最优值 \(z^* = 234.47 > 0\) 即目标不可行；computeIIS() 的极小不可行集只有目标约束与单量天花板两条。逐约束松弛定出四条临界线：单量 74.42 单、密度 7.09 单/h、在线 24.0 h、均单净收益 12.80 元——在线时长这条路物理上走不通，密度才是真正的卡点。给定不可行，用一个 4 变量小 MILP 求最省补救：投入 121.4 元/天买回 234.8 元/天（1.93 倍），补救后日净额 388.5 元；边际性价比排序为降固定 > 减罚款 > 延时长 > 提密度，但容量排序相反，缺口 75% 只能由密度承担。蒙特卡洛显示：贴着临界值做方案，达标率只有 50%。

关键词：可行性诊断；弹性模型；不可行子系统；影子价；最小代价补救；蒙特卡洛

1　问题提出

「一个月挣 9000」这句话，上一集（案例 073）已把它拆成 26 天、每天 346.15 元。那一集追问缺口该怎么分摊；这一集只问一句更硬的话：这个缺口存不存在，9000 元到底挣不挣得到。

把全部约束一次放进来：日均在线 10.5 h、有效单量密度 3.1 单/h，日单量就有一个物理天花板 \(n \le \rho T_0 = 3.1\times 10.5 = 32.55\)，日净额 \(\pi_0 = b n - p - F\)。均单净收益 5.6 元、日均罚款 8.0 元、日均固定支出 62.6 元（租金 850/26 + 换电 199/26 + 餐费杂项），三项一算，满格日净额只有 111.68 元，离 346.15 元差 234.47 元，折月 6096 元。这不是排班问题，是先要判定目标是否成立的问题。

表 1　参数、派生量与临界值

项目	符号	取值
日均在线	\(T_0\)	10.5 h
单量密度	\(\rho\)	3.1 单/h
单量天花板	\(\rho T_0\)	32.55 单
均单净收益	\(b\)	5.6 元
日均罚款	\(p\)	8.0 元
日均固定支出	\(F\)	62.6 元
日目标	\(T\)	346.15 元
满格日净额	\(\pi_0\)	111.68 元
日缺口	\(s^-\)	234.47 元
月缺口	\(26s^-\)	6096 元

弹性模型的价值就在这里：它不假设目标可达，而是让「差多少」变成一个带单位的数。

2　数学模型

2.1　弹性（目标规划）模型

设日单量 \(n\)，一对非负偏差 \(s^+\)（超达成）与 \(s^-\)（欠达成），把目标写成约束、由偏差吸收差额：

\[\begin{aligned} & b\,n - p - F + s^- - s^+ = T \\ & \min\; s^+ + s^- \quad \text{s.t.}\quad 0 \le n \le \rho T_0,\; s^\pm \ge 0 \end{aligned} \tag{1} \]

由式 (1) 得 \(s^- - s^+ = T - (bn - p - F)\)：欠达成时取 \(s^+ = 0\)、\(s^- = T - bn + p + F\)，反之取 \(s^- = 0\)。两个偏差不会同时为正——同减一个正数仍可行且目标更小，与最优性矛盾——互补性是内生的，不需要 0-1 变量。目标值因此有直接读法：\(z^* = 0\) 表示可达，\(z^* > 0\) 表示不可达且 \(z^*\) 就是缺口本身。

2.2　不可行判定与 IIS

弹性模型的 \(s^-\) 可以无限大，永远可行，所以「不可行」只体现在目标值上。为了拿到 Gurobi 的诊断信息，另建无弹性模型：\(b n - p - F \ge T\) 且 \(0 \le n \le \rho T_0\)。它返回 INFEASIBLE 时调用 computeIIS() 得到极小不可行约束集；若 IIS 只有两条约束，说明目标与天花板直接对撞，中间没有任何可调空间。

2.3　临界值与影子价

把式 (1) 的上限松开一单，目标值下降 \(b\)，故单量约束的影子价 \(|\pi| = b = 5.6\) 元/单，等价于每小时在线值 \(\rho b = 17.36\) 元。令 \(s^- = 0\) 解出四条临界线：

\[n^* = \frac{T + p + F}{b},\quad \rho^* = \frac{n^*}{T_0},\quad h^* = \frac{n^*}{\rho},\quad b^* = \frac{T + p + F}{\rho T_0} \tag{2} \]

2.4　最小代价补救 MILP

不可行不是终点。设四类补救的档数 \(y_k \in \mathbb{Z}_{+}\)、单档效果 \(e_k\)、单档代价 \(c_k\)：

\[\min \sum_{k=1}^{4} c_k y_k \quad \text{s.t.}\quad \sum_{k=1}^{4} e_k y_k \ge s^-,\; 0 \le y_k \le u_k \tag{3} \]

档数取整使式 (3) 成为小整数规划（4 变量、档数上限之和 43），灵敏度比 \(e_k/c_k\) 就是「每花一元买回多少净额」，可直接排序。

2.5　与案例 073 的分工

073 问「偏差怎么摊到 26 天」，前提是偏差已知；本案问「偏差存不存在」，输出是一个数 \(s^-\)。分工是：085 定缺口的量，073 定缺口的位置。085 给出 \(s^- > 0\) 时，073 的最优解只是在分摊一个注定填不满的坑。

3　Gurobi 求解实现

三个模型共用一套参数，Gurobi 默认设置即可，单次求解均在 0.1 s 内（共 95 次求解、总耗时 1.5 s，含绘图）。

def elastic(ncap):                       # 弹性模型
    n, sp, sm = (m.addVar(lb=0) for _ in range(3))
    m.addConstr(b*n - p - F + sm - sp == T, "goal")
    m.addConstr(n <= ncap, "cap")
    m.setObjective(sm + sp, GRB.MINIMIZE)

m2 = hard_model(); m2.optimize()         # 无弹性：只判可行
if m2.Status == GRB.INFEASIBLE: m2.computeIIS()

computeIIS() 给出的约束名直接进入结果文件（results_085.json 的 iis 字段）。逐约束松弛扫描则把 cap 右端从 24 单抬到 81 单、每次重解弹性模型，看 \(s^-\) 何时归零——两条路径互为验证。

4　结果分析

4.1　缺口有多大

图 1　日收支瀑布与缺口棒棒糖（毛收入 → 罚款 → 固定支出 → 日净额 → 目标）

图 1 把一天的钱走了一遍：32.55 单 × 5.6 元 = 182.3 元毛收入，扣罚款 8.0、扣固定 62.6，落到 111.68 元；目标线在 346.15 元，棒棒糖的杆长 234.47 元。缺口率 67.7%——不是差一点，是差一半以上。

图 2　单量—日净额关系与目标线（气泡=所需在线时长，颜色=所需密度）

图 2 的直线是 \(\pi = 5.6n - 70.6\)，斜率 5.6。它穿过 346.2 元需要 \(n^* = 74.42\) 单，现状上限只有 32.55 单，中间空着 41.87 单；气泡沿直线变大，越往右所需在线时长越离谱（74.4 单 ÷ 3.1 单/h = 24.0 h/天，一天只有 24 h）。

4.2　IIS：卡住目标的是哪条约束

无弹性模型返回 INFEASIBLE，computeIIS() 给出的极小不可行集是 goal、cap，只有两条：目标约束与单量天花板。意即除这两条之外，其他约束全部删掉模型仍然不可行——缺口不是「哪个参数没调好」，而是 \(b\rho T_0 < T + p + F\) 这个结构事实。逐约束松弛扫描给出同一结论的另一侧面：上限从 32.55 单逐单放宽，\(s^-\) 在 \(n = 75.0\) 单处归零（扫描按 1 单取整，与式 (2) 的 74.42 单一致）；在线时长每 0.5 h 抬高一次，要到 24.5 h 才归零。

表 2　单变量临界值（单动一个、其余不变）

杠杆	现状	临界值	差距	能否单独救
单量密度	3.1 单/h	7.09 单/h	+129%	理论可行、现实罕见
在线时长	10.5 h	24.0 h	+13.5 h	一天没这么多小时
固定支出	62.6 元/天	小于 0（不可达）	差 171.9 元	否（降到 0 仍差）
均单净收益	5.6 元/单	12.80 元/单	+129%	需换品类/平台

这张表是本案的核心证据：题面说卡点是单量密度而非在线时长，实验证实了——但只对了一半。时长这条路要 24.0 h，物理上死；密度这条路要 7.09 单/h，虽也只有旺季核心商圈摸得到，至少在同一量级。固定支出与罚款更惨，单独走永远走不通：把 62.6 元固定支出全砍光，日净额也只到 174.28 元，仍差 171.87 元。

图 3　现状 / 延时至 13 h / 提密度 / 组合补救 的日净额

图 3 把四条路径的量级摆平：只延到 13 h 补 43.4 元/天（\(2.5 \times 3.1 \times 5.6\)，正是影子价 × 增量，仅占缺口的 19%），只把密度提到 6.1 补 176.4 元，两者都单独不够，组合补救才越过目标线。

4.3　26 天怎么烂掉的

图 4　26 天累计净额 vs 累计目标：缺口线性扩大

图 4 是缺口的另一种看法：两条直线从原点出发，斜率差 234.47 元/天，26 天后张开 6096 元。线性扩大本身就是结论——它不来自某几天的意外，而是每天重复的结构。补救方案的斜率（点划线）在 388.5 元/天处越过目标线，26 天累计 10100 元，超出 1100 元。

4.4　灵敏度：密度与时长谁更值钱

图 5　单量密度 → 月净额（左轴）与达标所需在线时长（右轴）

图 5 左轴是直线：每 +0.1 单/h 值 5.88 元/天、153 元/月；右轴是双曲线：密度 3.1 需 24.0 h，密度 4.0 需 18.6 h，密度 5.0 需 14.9 h。密度的杠杆是乘性的（同时乘进每小时单量与每单收益），延时的杠杆是线性的（每小时 17.36 元）——救急该先提密度。

图 6　密度 × 时长 的月净额热图（红线为 9000 元等值线）

图 6 把两个杠杆放进同一张网格。9000 元等值线是一条反双曲线：(7.09, 10.5)、(4.0, 18.6)、(5.0, 14.9) 都在线上。本案的星号落在左下深色区，离红线极远；单纯向上加时长最多爬到 14 h，仍在深色区里——竖直方向的空间不够，必须向右。

图 7　第三维：罚款期望对临界密度的影响（三条在线时长曲线）

图 7 加进第三个参数。罚款每多 1 元/天，临界密度抬 \(1/(5.6\times 10.5) = 0.017\) 单/h；在线 10.5 h 时罚款从 8 元涨到 20 元，临界密度从 7.09 抬到 7.29。三条曲线几乎平行，说明罚款与密度近似线性可替换：多罚 12 元/天约等于多要 0.20 单/h。

4.5　最小代价补救

图 8　补救的帕累托前沿与缺口未补齐区（红底）

图 8 的阶跃线是「按性价比从高到低买」的前沿：横轴累计投入，纵轴累计补上的净额，红底是缺口未补齐区，前沿穿过 234.5 元水平线的最右点就是 MILP 的解。MILP 的组合是：密度 +3.0 单/h（30 档）、时长 +2.5 h（5 档）、固定支出 −12 元（4 档）、罚款 −3.0 元（2 档），投入 121.44 元/天买回 234.80 元/天，回报 1.93 倍；逐项严格核算（含密度 × 时长的乘积效应）后日净额 388.48 元，超出目标 42.3 元。

图 9　罚款期望波动下的月净额分布与可行性概率（4000 次抽样）

图 9 把罚款的日间波动（标准差 2 元）与市场密度波动（标准差 0.15 单/h）叠进来。临界密度方案的月净额均值为 9000 元，恰好压在目标线上，达标率只有 50%——参数刚好卡在门槛上时，可行性是一枚硬币；补救方案均值 10100 元，达标率 100%。贴着临界值做方案等于赌博，必须留安全余量。

图 10　补救效果分解：现状净额 + 四类措施堆叠（下排数字为性价比）

图 10 是补救的结构。四类措施的性价比（元效果/元投入）排序为 2.86（降固定）> 2.42（减罚款）> 2.17（延时长）> 1.84（提密度），可容量恰好相反：固定与罚款买满也只贡献 18 元/天，密度一档就值 5.88 元、买满 176.4 元。所以最省的组合一定是「先捡便宜的小钱，再用密度填大坑」：2 档罚款 + 4 档固定只花 5.44 元却贡献 15.0 元，剩下 176.4 元（占 75%）只能靠密度。性价比决定先做什么，容量决定最后靠什么。

4.6　与 073 的分工

073 的日缺口 61.55 元来自 62 单的体力上限，可以用「跑得更快」压缩；本案的 234.47 元来自 32.55 单的密度上限，而它是 10.5 h × 3.1 单/h 的乘积——两个因子都要动，所以更硬。顺序不能颠倒：先跑 085 判可行性，再跑 073 分偏差；反过来只会得到一份「分摊得很漂亮但根本填不满」的方案。

5　结论

（1）不可行：缺口 234.47 元/天、6096 元/月。 弹性模型最优值 \(z^* = 234.47\)（\(s^+ = 0.0\)、\(s^- = 234.47\)），\(s^- > 0\) 即目标不可达；相当于每天还要多跑 41.9 单。
（2）卡住目标的是单量约束，不是在线时长。 computeIIS() 的极小不可行集只有目标约束与单量天花板；逐约束松弛定出临界值：单量 74.4 单/天（= 密度 7.09 单/h），或在线 24.0 h/天。在线从 10.5 提到 13 h 只补 43.4 元/天（占缺口 19%）。按影子价，每多 1 单值 5.6 元，每多 1 h 在线值 17.36 元。
（3）最省的补救组合：密度 +3.0 单/h、时长 +2.5 h、固定 −12 元、罚款 −3.0 元，投入 121.4 元/天换回 234.8 元/天（1.93 倍），补救后日净额 388.5 元。边际效果排序为降固定 > 减罚款 > 延时长 > 提密度，容量排序相反，缺口 75% 必须靠密度补。
（4）可行性是概率而非事实：临界密度方案达标率 50%，补救方案 100%。9000 元不是一条线而是一个分布，贴着线跑等于赌罚款不超支。
（5）与 073 的分工：085 定缺口的量（234.47 元/天），073 定缺口的位置（26 天怎么摊）。先判可行性、再分摊偏差；顺序颠倒会得到一份精致但无用的日程表。

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参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

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复现方式：python batch_085.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/