案例 084　预约单和即时单怎么配

摘要：预约单 4.8 元/单、履约率 98%，即时单 5.6 元/单、空驶率 20%。把两个折扣乘进去，有效单价是 $4.70$ 元与 $4.48$ 元——名义价高的即时单反而低 0.22 元，这是题面点出的那笔账。但在 10.5 h、预约单不超过 12 单的约束下，LP 最优解是 $10.5$ 张即时单、收益 47.04 元，一张预约单都不接：因为预约单占 1.15 h，折成每小时只有 $4.09$ 元，比即时单的 $4.48$ 元还低。两张约束的影子价分别是 $4.48$ 元/h 与 0.00 元，多 1 h 全部投即时单。整数化后最优解翻转为 7 张即时加 3 张预约、收益 45.47 元，与松弛值差 1.57 元（3.33%）。主灵敏度给出两个临界：按单价算空驶率超过 16.00% 就该转预约，按工时算要 26.96%，而整数排班下正好是 16.00%——用 LP 的 26.96% 做决策会晚 11 个百分点。

关键词：产品组合；有效单价；影子价格；整数化偏差；空驶率临界

1　问题提出

1.1　问题是什么

一位骑手当晚有 10.5 h 可售工时，平台同时派两类单：预约单提前 2 h 锁定，单价 4.8 元、履约率 98%，单均占 1.15 h（要去指定地点等）；即时单随抢随走，单价 5.6 元、空驶率 20%，单均占 1.0 h。另有平台规则：预约单最多派 12 单。两类单的差别只有两个数字，但它们分别落在"收入"和"工时"两个维度上，配比问题就此产生。

表 1　两类单的参数与折算

单型	名义单价 / 元	履约率	空驶率	有效单价 / 元	单均工时 / h	每小时贡献 /(元/h)
预约单	4.80	0.98	—	4.70	1.15	4.09
即时单	5.60	—	0.20	4.48	1.00	4.48

\[e_{r}=4.8\times 0.98=4.70,\qquad e_{i}=5.6\times(1-0.20)=4.48\tag{1} \]

式 (1) 是本案例的第一笔账：即时单名义贵 0.8 元，扣掉 20% 空驶后只剩 4.48 元，比预约单少 0.22 元。折扣率 20% 大于溢价率 16.7%，价格优势被空驶率整口吃掉。

1.2　为什么要优化

第一，两个折扣的方向相反。 预约单打的是"履约折扣"（2%），即时单打的是"空驶折扣"（20%），前者小一个数量级。但履约折扣只影响收入，空驶折扣同时影响收入与有效工时——即时单空驶的那 20% 时间，骑手是拿不到的。题面给的 12 单上限也够不着：10.5 h 除以 1.15 h 只有 9.13 单，冗余 2.87 单，它的影子价注定是 0。

第二，单价的排序和工时的排序不一致。 按单价比，$4.48<4.70$，预约单赢；按每小时比，$4.48>4.09$，即时单赢。两条排序打架时，约束的松紧决定谁说了算：10.5 h 是硬上限，所以每小时口径才是决策口径，单价口径只能解释"为什么大家觉得即时单亏"。

1.3　Gurobi 如何求解

2 个连续变量、2 条约束，单次求解在毫秒级，因此可以放心把参数扫遍：空驶率 9 点加 40 点细网格、履约率 5 点、上限 5 点、二维网格 4$\times$5，合计 136 次。整数版把两个变量改成整数即可，用来测量"单量不可分"造成的偏差；影子价直接读约束的 $\pi$，再用有限差分复核。

2　数学模型

2.1　符号与目标函数

$x_{r}$ 预约单量，$x_{i}$ 即时单量；$p_{r}=4.8$、$p_{i}=5.6$ 名义单价；$q=0.98$ 履约率；$\delta=0.20$ 空驶率；$t_{r}=1.15$、$t_{i}=1.0$ 单均工时；$T=10.5$ 可售工时；$C=12$ 预约单供给上限；$e_{r}=p_{r}q$、$e_{i}=p_{i}(1-\delta)$ 有效单价。目标函数取"跑完这一单平均能落袋多少"：

\[\max\ Z=e_{r}x_{r}+e_{i}x_{i}=4.704\,x_{r}+4.480\,x_{i}\tag{2} \]

即时单 5.6 元里有 1.12 元是空驶的白跑，不能进目标函数。

2.2　约束、规模与性质

\[1.15\,x_{r}+1.00\,x_{i}\le 10.5\tag{3} \]

\[x_{r}\le 12,\qquad x_{r},x_{i}\ge 0\tag{4} \]

式 (3) 是工时，式 (4) 是供给上限。两变量 LP 的最优解必在顶点：把式 (3) 写成 $x_{i}=10.5-1.15x_{r}$ 代入式 (2)，得 $Z=47.04-0.392x_{r}$，斜率 $-0.392<0$，所以 $x_{r}$ 越小越好，取 0。这个斜率正是"预约单每小时少赚 0.39 元"；而 $x_{r}\le 12$ 在最优解处松弛 12 单、影子价为 0，两条约束里只有工时在咬。136 次求解全部在根节点闭合。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

xr = m.addVar(lb=0, vtype=GRB.CONTINUOUS if relax else GRB.INTEGER)   # 预约单量
xi = m.addVar(lb=0, vtype=GRB.CONTINUOUS if relax else GRB.INTEGER)   # 即时单量
ct = m.addConstr(1.15 * xr + 1.00 * xi <= 10.5, "time")
cc = m.addConstr(xr <= 12, "cap")
m.setObjective(4.8 * 0.98 * xr + 5.6 * (1 - 0.20) * xi, GRB.MAXIMIZE)
print(ct.Pi, cc.Pi)   # 4.48, 0.00

系数一定要写成 4.8 * 0.98 而不是 4.70，否则扫空驶率时无法与 5.6 联动。$\pi$ 的读法要小心：对 $\le$ 约束，最大化问题的 $P_i$ 为正，表示"右端增加 1 单位目标增加多少"，单位分别是元/h 与元/单。

3.2　求解结果

表 2　四个方案的单量结构与收益

方案	预约单 / 张	即时单 / 张	占用工时 / h	收益 / 元	与 LP 差
全预约	9.13	0	10.50	42.95	-4.09
全即时	0	10.5	10.50	47.04	0.00
LP 最优	0.0	10.5	10.50	47.04	0.00
整数最优	3	7	10.45	45.47	1.57

LP 最优恰是全即时（表 2 第二、三行同解）：10.5 张即时单、47.04 元，影子价 $4.48$ 元/h 与 0.00 元。整数最优翻成 3 张预约加 7 张即时，收益 45.47 元，比松弛低 1.57 元（3.33%）。

4　结果分析

4.1　两笔账：0.22 元与 0.39 元

图 1　有效单价棒棒糖：即时单 5.60 被空驶率削到 4.48，低于预约单的 4.70

图 2　可行单量组合的收益气泡：气泡大小是占用工时，颜色是组合里的预约单张数

图 1 把第一笔账画成两根棒棒糖：即时单从 5.60 掉到 4.48，掉幅 1.12 元；预约单从 4.80 掉到 4.70，只掉 0.10 元。1.12 元是"预约单价低 8%"（0.38 元）的三倍，所以"即时单单价高"这句话在扣完空驶后不成立。第二笔账藏在横轴里：即时单 1 h 赚 4.48 元，预约单 1.15 h 赚 4.70 元，折成每小时只有 4.09 元。图 2 把这层关系摊开——收益沿总单量单调上升，颜色越深（预约单越多）的组合越靠下，因为同样 10 张单里每多换一张预约单，就多占 0.15 h、少赚 0.224 元。两笔账方向相反：单价上预约单赢 0.22 元，工时上即时单赢 0.39 元。

4.2　影子价：多 1 h 投哪类单

图 3　四方案对比：全即时与 LP 最优同解 47.04 元，整数最优掉到 45.47 元

图 4　整数方案的 10.5 h 排布：7 张即时单打底，3 张预约单填尾

图 3 的四根柱子说明三件事。第一，全预约只有 42.95 元，比全即时少 4.09 元——把 10.5 h 全押在"稳"上，代价是 9% 的收益。第二，LP 最优与全即时同解，说明在本案的参数下预约单一张都不值得接。第三，整数最优 45.47 元，比 LP（也就是全即时）少 1.57 元——整数化的损失不是"少接单"，而是"换了单"：10.5 h 抹成 10 单后空出 0.5 h，正好塞进 3 张预约单（图 4 排到 10.45 h，余 0.05 h），于是结构从"全即时"翻转成"7 即时 + 3 预约"。关于"多 1 h 投哪类单"，答案由影子价直接给出：工时约束的影子价是 $4.48$ 元/h，等于即时单的有效单价，说明边际上的 1 h 全部投即时单，投预约单只能拿到 $4.09$ 元。预约上限的影子价是 0.00 元，因为 $x_{r}=0$ 时它松弛了整整 12 单；即使全转预约，最多也只能排 9.13 单，上限 12 单在数学上永远不可能紧。

4.3　空驶率临界：16.00% 还是 26.96%

图 5　空驶率主灵敏度：27% 附近最优值由斜线拐成水平，预约单量从 0 跳到 9.13

图 6　空驶率与履约率的二维热图：最优预约占比只有 0 与 100 两种颜色

图 5 的折线在 26.96% 处折断：左侧斜率为 $-10.5\times 5.6=-58.8$ 元/单位空驶率，右侧变成水平——因为空驶率再涨，最优解已经全转预约，收益只由预约单决定。精确临界由"每小时收益相等"给出：

\[\frac{e_{r}}{t_{r}}=\frac{p_{i}(1-\delta^{\ast})}{t_{i}}\ \Longrightarrow\ \delta^{\ast}=1-\frac{4.704}{1.15\times 5.6}=0.269565\tag{5} \]

即 26.96%。但这是 LP 的口径，它允许把"0.5 单即时单"折算成"半小时"。按单价比，临界只要 $1-4.704/5.6=16.00\%$；按整单排班算（10 张单里换 3 张），临界同样是 16.00%——LP 把临界高估了 11.0 个百分点，因为它在 10.5 h 里凑出了半张单。图 6 是二维版本：横轴履约率（96%—100%）、纵轴空驶率（20%—31%），格子里是"最优预约占比"。整片颜色只有 0 与 100 两种——这个模型是角点解，不存在"配一半"的最优。分界线随履约率上升而向左移动：履约率越高，预约单越早接管；本案参数（20%，98%）落在最左下角的 0 区，距离分界线还有 8 个百分点的空驶率余量。

4.4　上限的第三维与前沿

图 7　预约供给上限的第三维：上限在 20%/24% 空驶率下完全无效，30% 时才沿 9.13 单封顶

图 8　收益—单量帕累托前沿：10.5 单之外是不可行域，整数前沿止于 10 单

图 7 把上限拉开：空驶率 20% 与 24% 的两条线是水平的，上限从 4 加到 12 一分不涨，影子价恒为 0；只有空驶率加到 30%（此时已全转预约）才出现爬升，并在 9.13 单处封顶——那个位置由工时决定，不由题面的 12 单决定。所以"预约单供给上限 12 单"这条约束在本案例里从头到尾没有咬过一次，它是数据里的噪声，不是模型的结构。图 8 是收益—单量前沿：阶梯每上一格就是多接一张单，价格在 4.48 元到 4.70 元之间，到 10 单为止；右侧阴影是"单量不可行"区，因为再多一单至少要 1 h，10.5 h 装不下 11 单。LP 的星号落在 10.5 单——那个点是一个数学存在、现实中不存在的半张单。

4.5　履约率波动：把赔付算进去

图 9　履约率 96%—100% 波动下的日收益分布：均值 45.38 元，标准差 6.14 元

图 10　两类单的贡献分解：整数方案里预约单只贡献 14.11 元，却把空档填满

履约率 98%$\pm$2% 意味着每 100 单里有 2—4 单要赔。设失败一单赔付 $c_{p}=2.0$ 元（超时券加重新派单的通信与空驶），预约单的单均期望收益变成

\[e_{r}(q)=4.8q-2.0(1-q)=6.8q-2.0\tag{6} \]

$q=0.98$ 时单均 $e_{r}=4.664$ 元，比不计赔付的 4.70 元少 0.04 元。用这个系数重解整数模型，最优解仍是 7 即时 + 3 预约、收益 45.35 元（比全即时多 0.55 元）。逐点扫描见表 3。

表 3　履约率波动下的整数最优（含赔付）

履约率	预约单单均 / 元	7+3 方案 / 元	全即时 / 元	差额 / 元
96%	4.528	44.94	44.80	+0.144
97%	4.596	45.15	44.80	+0.348
98%	4.664	45.35	44.80	+0.552
99%	4.732	45.56	44.80	+0.756
100%	4.800	45.76	44.80	+0.960

结论不变，但余量很薄：整单价口径下预约单被即时单反超的临界履约率是

\[q^{\ast}=\frac{e_{i}+c_{p}}{p_{r}+c_{p}}=\frac{4.48+2.0}{4.8+2.0}=0.952941\tag{7} \]

即 95.29%，比题目给的波动下界 96% 只低 0.71 个百分点。也就是说，履约率掉到 95.3% 以下，7+3 就会被 10 张即时单取代；在 96%—100% 的区间里，"接 3 张预约单"始终成立，但优势从 0.96 元缩到 0.14 元。若把赔付也算进 LP 的工时口径，临界空驶率从 26.96% 抬到 27.58%——赔付越大，越应该少碰预约单。图 9 是日内视角：把 7 张即时单的空驶、3 张预约单的履约都做成随机，跑 2 万次模拟，日收益均值 45.38 元、标准差 6.14 元，P10 为 36.80 元、P90 为 53.60 元，有 44% 的日子不如"10 张即时单拿 44.80 元"。期望优势 0.55 元只相当于 0.09 个标准差，靠它吃饭是不现实的；真正稳的是那 0.45 h 的产能利用——它把空档从 0.5 h 压到 0.05 h（图 10），这部分不吃概率。

5　结论

空驶率把即时单的有效单价从 5.60 打到 4.48，比预约单的 4.70 低 0.22 元；但折成每小时排序反转，即时单 4.48 元/h、预约单 4.09 元/h。 前者是题面那笔账，它只解释"为什么即时单看着不划算"；而工时是硬约束，所以 LP 最优是全即时 47.04 元，一张预约单都不接。
两张约束里只有工时在咬。 小时影子价 4.48 元/h（等于即时单有效单价），预约上限影子价 0.00 元；12 单上限比工时能排出的 9.13 单多 2.87 单，这条约束从头到尾没有生效过。
整数化不是少赚一点，而是换了个方案。 10.5 单抹成 10 单、空出 0.5 h，正好塞进 3 张预约单，最优解变成 7 即时 + 3 预约、45.47 元，与松弛差 1.57 元（3.33%）。用 LP 的"全即时"去排班，等于白扔 0.45 h。
空驶率临界要分三个口径说：单价 16.00%、整数排班 16.00%、LP 工时 26.96%。 差的那 11 个百分点全是 LP 允许"半张单"造成的；拿 LP 临界去定策略，会一直拖到空驶率 27% 才转预约，而实际上 16% 就该转了。
履约率 98%$\pm$2% 不改变结论，但余量只有 0.7 个百分点。 赔付 2.0 元时临界履约率 95.29%，区间内 7+3 始终最优，优势从 0.96 元缩到 0.14 元；而日收益标准差有 6.14 元，这点期望优势在单日尺度上看不见——该看的是它填掉的 0.45 h 空档，不是它多赚的 5 毛钱。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.
[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.

复现方式：python batch_084.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/

posted @ 2026-11-11 18:06 小青蛙电气阅读(3) 评论(0) 收藏举报

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案例 084　预约单和即时单怎么配

案例 084　预约单和即时单怎么配

1　问题提出

1.1　问题是什么

1.2　为什么要优化

1.3　Gurobi 如何求解

2　数学模型

2.1　符号与目标函数

2.2　约束、规模与性质

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

3.2　求解结果

4　结果分析

4.1　两笔账：0.22 元与 0.39 元

4.2　影子价：多 1 h 投哪类单

4.3　空驶率临界：16.00% 还是 26.96%

4.4　上限的第三维与前沿

4.5　履约率波动：把赔付算进去

5　结论

参考文献

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1 问题提出

1.1 问题是什么

1.2 为什么要优化

1.3 Gurobi 如何求解

2 数学模型

2.1 符号与目标函数

2.2 约束、规模与性质

3 Gurobi 求解实现

3.1 建模要点

3.2 求解结果

4 结果分析

4.1 两笔账：0.22 元与 0.39 元

4.2 影子价：多 1 h 投哪类单

4.3 空驶率临界：16.00% 还是 26.96%

4.4 上限的第三维与前沿

4.5 履约率波动：把赔付算进去

5 结论

参考文献

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1.1　问题是什么

1.2　为什么要优化

1.3　Gurobi 如何求解

2　数学模型

2.1　符号与目标函数

2.2　约束、规模与性质

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

3.2　求解结果

4　结果分析

4.1　两笔账：0.22 元与 0.39 元

4.2　影子价：多 1 h 投哪类单

4.3　空驶率临界：16.00% 还是 26.96%

4.4　上限的第三维与前沿

4.5　履约率波动：把赔付算进去

5　结论