案例 082 带个新人
案例 082 带个新人
摘要：平台"老带新"，徒弟跑满 200 单奖 300 元，代价是 6 h 带教。题面把账算成 \(0.8\times 300-90-15=135\) 元，其中 90 元是 6 h 的时间机会成本——这笔成本必须显性化，否则 300 元奖励看起来是纯赚，实际只剩 45%。本案例做三件事。第一，把 135 元拆成可核对的瀑布：期望奖励 240 元、机会成本 90 元、沟通成本 15 元，并补上题面漏算的带教周拥挤损失 34.2 元，净收益落到 100.8 元。第二，把它扩成 4 周、名额 2 个的多期 MILP：\(z_t\) 决定第 \(t\) 周带不带，\(d_{1},d_{2}\le 3\) 保证 6 h 拆成两天，疲劳与拥挤进入目标，题面口径下最优带 2 个（第 2 周、第 4 周），净 176.6 元。第三，给完成率加分布：\(S\sim N(200,60)\) 时拿到奖的概率只有 50.0%，不是题面的 80%，期望奖励掉到 150 元，净收益只剩 10.9 元，最优带徒数回落到 1 个。临界完成率均值 \(194.5\) 单——门槛恰好压在均值上，这是本案例最脆的一环。
关键词：机会成本；老带新；多期 MILP；尾部风险；临界带教时长
1 问题提出
1.1 问题是什么
平台规则很短：老骑手带一个新徒弟，徒弟在考核期内跑满 200 单，师傅拿 300 元奖励；带教要花 6 h，这 6 h 不能跑单。题面给的参数是"6 h 损失约 90 元、被拒概率 20%、沟通成本 15 元"，于是
- 期望奖励 \(0.8\times 300=240\) 元，机会成本 \(6\times 15=90\) 元（15 元/h 的时薪口径）；
- 沟通成本 15 元（电话、示范、答疑），净收益 \(240-90-15=135\) 元。
135 元是题面自己的结论，本案例的第一件事是核实它：把 300 元拆到"每小时带教换多少钱"，得 \(135/6=22.5\) 元/h，比跑单的 15 元/h 高 50%。真正的问题不在单价，在于这 6 h 是从 63 h 周工时里硬扣出来的，扣掉之后本周的单量、时段质量、冲单奖励全部受影响。表 1 列出全部参数。
表 1 参数与派生量
| 量 | 取值 | 来源 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 带教时长 / h | 6 | 题面 | 拆 2 天，每天 3 h |
| 机会成本 / (元/h) | 15 | 90/6 | 显性化的核心 |
| 周在线工时 / h | 63（每天 3 h 上限） | 9 h x 7 天 | 拥挤损失基数 |
| 拥挤折损率 | 0.04 | 本案假设 | 剩余工时效率下降 |
| 兑现率 / 沟通成本 | 0.80 / 15 元 | 题面 | 点估计，仅一次性 |
| 完成单量分布 | N(200, 60) | 本案假设 | 截断于 0 |
1.2 为什么要优化
第一，机会成本不显性化，账就是假的。 只写 \(300z-15z\) 会得到 285 元，把 6 h 当免费的；写成 \(0.8\times300z-90z-15z\) 才是 135 元。同一件事差 150 元，差的正是"时间值多少钱"这一句假设。第二，6 h 与 3 h/天 的组合把决策变成两天期耦合。 每天最多带 3 h，6 h 就必然跨两天；两天里各损失 3 h 的黄金时段，且第二天的体力已经被第一天消耗。要判断"值不值"，就得把两天的收益曲线一起看，而不是把 6 h 当成一个可任意摆放的整块。
第三，一次带 1 个和连续带 2 个不是简单的乘 2。 第二个徒弟要和第一个抢同一段休息时间，边际疲劳成本上升；同时带教周越多，自己的单量被挤得越狠。带几个、什么时候带，是个 0-1 规划问题，不是乘法题。第四，200 单的门槛是硬门槛，完成率是随机变量。 题面用 20% 被拒把 300 元折成 240 元，隐含假设"完成率 80%"。若完成单量服从 \(N(200,60)\)，均值正好压在门槛上，拿奖概率只有一半，期望奖励 150 元，净收益从 135 元掉到 10.8 元。同一个决策，换个分布就从"值得"变成"几乎不值得"。
1.3 Gurobi 如何求解
模型只有 3 个变量（\(z\)、\(h\) 与 \(d_{1},d_{2}\)），单次求解毫秒级：Gurobi 先做预处理把 \(h=6z\) 代入，\(h\le 3\) 变成 \(6z\le 3\) 的不可行信号，再由我们显式拆成两天；多期版本里 \(z_t\) 是 0-1，配对项 \(u_{st}\) 与连续项 \(y_t\) 用三条线性不等式紧化，分支定界在根节点即证最优。因为快，参数扫描可以做得密：带教时长 12 点、被拒概率 7 点、奖励额 7 点、完成率均值 \(\times\) 时长 4$\times$5 网格、蒙特卡洛 20 万样本，合计 12 次 MIP，墙钟不到 2 s。临界值不靠解析式硬套，而是对 Gurobi 目标值做二分，与闭式解互校。
2 数学模型
2.1 符号说明
\(z\in\{0,1\}\) 是否带教，\(h\ge0\) 带教总时长（h），\(d_{1},d_{2}\) 两天的带教时长，\(z_t\) 第 \(t\) 周是否开始带教，\(u_{st}\) 第 \(s,t\) 周都带教，\(y_t\) 连续两周带教，\(\pi\) 拿奖概率，\(S\) 徒弟完成单量，\(\mu,\sigma\) 其均值与标准差，\(\eta\) 拥挤折损率，\(\phi\) 疲劳成本。
2.2 目标函数
题面的单期模型是一条期望净收益：
把 \(15\cdot 6=90\) 写成 \(c_{o}h\)（\(c_{o}=15\) 元/h），机会成本就从"一个数"变成"一条斜率"，带教每多 1 h 就多付 15 元：
其中 \(\eta c_{o}(63-h)\) 是带教周里剩余 57 h 的效率折损（注意力被分走、路线被打断）。代入 \(h=6\)、\(\eta=0.04\)：\(\Pi(6)=240-90-15-34.2=100.8\) 元。
2.3 约束条件
式 (3) 是题面的等式约束；式 (4) 是它和"每天 3 h"的冲突解——若只有一天，\(6z\le3\) 逼出 \(z=0\)，所以必须引入两天变量，\(z=1\) 时两天各 3 h，这就是两天期耦合的来源；式 (5) 的 \(u_{st}\) 让"带两个"付出边际疲劳 \(\phi\)，\(y_t\) 让"连着带"再付 \(\phi_c\)；式 (6) 是四周期望净收益，\(A\) 是单个徒弟的边际贡献，题面口径下 \(A=100.8\)。
2.4 规模与性质
单期 3 变量 2 约束，多期 4 个 0-1 加 8 个连续变量、10 条线性约束，属"小到不需要 Gurobi、但正好把口径说清楚"的类型。关键性质有三条：其一，\(z=1\) 的最优 \(h\) 是角点，\(\Pi(h)\) 关于 \(h\) 单调递减（斜率 \(-15+0.6=-14.4\)），故有唯一临界 \(h^{\ast}=13.0\) h；其二，\(A>0\) 才带，\(A\) 关于 \(\pi\) 线性，于是临界拿奖概率 \(\pi^{\ast}=0.464\)，对应临界被拒概率 \((1-\pi^{\ast})=53.6%\)；其三，第二个徒弟只在 \(A>\phi\) 时进入，即期望奖励需超过 \(164.2\) 元，折成题面奖励额 \(205.2\) 元。
3 Gurobi 求解实现
3.1 建模要点
z = m.addVars(T, vtype=GRB.BINARY); d1 = m.addVars(T, ub=3.0); d2 = m.addVars(T, ub=3.0)
m.addConstrs((d1[t] + d2[t] == 6 * z[t] for t in range(T)), "split") # 6 h 必须两天
u = m.addVars(pairs, vtype=GRB.BINARY) # 两个徒弟共存
m.addConstr(u[k] >= z[s] + z[t] - 1); m.addConstr(u[k] <= z[s])
A = pi * 300 - 15 * 6 - 15 - eta * 15 * (63 - 6)
m.setObjective(A * z.sum() - phi * u.sum() - phi_c * y.sum(), GRB.MAXIMIZE)
两个细节。一是 \(d_{1}+d_{2}=6z\) 与 \(d\le3\) 同时写，Gurobi 才会在 \(z=1\) 时把 6 h 平均摊到两天；若只写 \(h=6z\) 和 \(h\le3\)，预处理直接判不可行，模型会告诉你"这件事一天做不完"。二是 \(u_{st}\) 的三条不等式缺一不可：只写 \(u\ge z_s+z_t-1\) 会让 \(u\) 取 1 而不付代价以外的东西，加上 \(u\le z_s\)、\(u\le z_t\) 才把它钉死在"两个都带"上。
表 2 三种口径下的最优决策
| 口径 | 拿奖概率 | 期望奖励 / 元 | 单徒净收益 / 元 | 最优带徒数 | 最优周次 | 净收益 / 元 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 题面（20% 被拒） | 0.800 | 240.0 | 135.0 | 1 | 第 2 周、第 4 周 | 100.8 |
| 题面 + 拥挤 | 0.800 | 240.0 | 100.8 | 2 | 第 2 周、第 4 周 | 176.6 |
| 尾部风险 + 拥挤 | 0.500 | 150.1 | 10.9 | 1 | 第 1 周 | 10.9 |
3.2 求解结果
题面口径下带 2 个更赚：176.6 元对 100.8 元，因为单徒边际 100.8 元仍高于疲劳 25 元，模型把两周排在第 2 周、第 4 周（间隔 2 周）以避开 \(y_t\) 的连续惩罚。换到尾部风险口径，单徒 10.9 元低于疲劳 25 元，第二个徒弟的净贡献变成负数，最优解退回 1 个、第 1 周，净收益 10.9 元。结论对"奖励额"极其敏感：按题面 80% 兑现率，\(B\ge205\) 元第二个就划算；按尾部 50% 兑现率，门槛抬到 \(328\) 元（图 6）。
4 结果分析
4.1 把 135 元拆开看
图 1 从 300 元奖励到 135 元净收益的四步瀑布：机会成本一项吃掉 90 元
图 1 是全部账目。期望奖励 240 元起跳，被拒折损 60 元、机会成本 90 元、沟通成本 15 元，累计落到 135 元。三项扣减里机会成本占 55%，是绝对主项。这也解释了为什么"带个新人"常被高估：奖励是显性的、当天到账，机会成本是隐性的、摊在每一小时里，不做显性化就看不见。 折成时薪，带教 \(135/6=22.5\) 元/h，跑单 15 元/h，溢价 50%——账面上仍划算，但不是 \(300/6=50\) 元/h 那么夸张。
图 2 五种口径的成本分解：拥挤与疲劳是题面没写的两项
图 2 把五项堆叠起来：从"不带"到"题面口径"多出 135.0 元，再计入 34.2 元拥挤损失掉到 100.8 元，换成尾部风险口径再掉到 10.9 元，带第二个时疲劳 25 元把总账压到 -3.3 元。四个台阶说明一件事：题面的 135 元不是终点，而是最乐观的那一端。
4.2 带教时长：临界 13 h，安全垫 7 h
图 3 带教时长每加 1 h 净收益掉 14.4 元，13.0 h 处归零
图 4 四条奖励水平下的净收益前沿，阴影为"不如不带"的区域
图 3 的斜率是 \(-c_{o}+\eta c_{o}=-14.4\) 元/h：每多带 1 h 多付 15 元工资，同时少损失 0.6 元拥挤（剩余工时更少）。零点在 \(h^{\ast}=13.0\) h，本案 6 h 留了 7.0 h 安全垫。气泡是"需要几天"——\(h\le3\) 一天、\(3<h\le6\) 两天、再往上三天，气泡在 6 h 处跳一级，正好是本案的位置。图 4 把奖励水平拉开：300 元线在 13.0 h 归零、240 元线 9.7 h、180 元线 6.3 h、150 元线 4.7 h，四条线的上包络即前沿。若平台把带教要求从 6 h 提到 10 h，只剩 300 元档站得住；提到 13 h，全线亏损。
4.3 被拒概率与奖励额：临界 53.6%
图 5 被拒概率每升 10 个点净收益掉 30 元，临界在 53.6%
图 6 奖励额扫描下最优带徒数的两级阶梯：278 元带 1 个、328 元带 2 个
图 5 的主曲线是线性的：\(\Pi(p)=300(1-p)-139.2\)，斜率 \(-300\)，即被拒概率每升 1 个百分点净收益掉 3 元。零点 \(p^{\ast}=53.6\%\)，远高于题面的 20%，说明在"完成率确定"的假设下，被拒风险根本不是威胁。右轴是保本所需奖励额，20% 时只要 174 元，50% 时要 278 元。图 6 换了自变量：奖励额从 150 扫到 400，最优带徒数先在 \(278\) 元从 0 升到 1、再在 \(328\) 元升到 2，每上一级净收益斜率翻倍；低于 \(278\) 元模型选"不带"，因为期望奖励盖不住 139.2 元固定成本。两个图的共同结论：决策的杠杆在"奖励额"和"完成率"，不在"被拒概率"。
4.4 尾部风险：门槛压在均值上
图 7 $N(200,60)$ 下有一半徒弟跑不满 200 单，期望奖励只有 150 元
图 8 完成率均值与带教时长的二维净收益，黑线为零等值线
图 7 是本案例的转折点。门槛 200 单恰好等于分布均值，\(P(S\ge200)=0.500\)，蒙特卡洛 20 万样本给 0.501，两者一致；红色柱合计 50.0%，对应的奖励期望 150 元，比题面的 240 元少 37.5%。图 8 把均值拉到 170—215 之间：\(\mu=170\) 时全图都是负值（除 \(h=3\) 的边缘），\(\mu=215\) 时整片转正，零等值线从右下穿到左上。临界均值 \(\mu^{\ast}=194.5\) 单，只比 200 低 5.5 单——留给"徒弟质量"的容错几乎为零。 这也解释了为什么老骑手会先观察几天再决定带不带：真正的风险不是被拒，是徒弟跑不满。
4.5 两天期耦合与调度
图 9 六种方案的净收益对比：最后一根为负，尾部口径下"多带一个"是负边际
图 10 带教后 14 天的日收益：前两天各掉 51.8 元，第 14 天奖励到账补回
式 (4) 的耦合在图 10 里看得最清楚：第 1、2 天各带 3 h，日收益从 135.0 元掉到 83.2 元（少 3 h 工时 45 元，再加 6.8 元拥挤），第 3 天起回到 128.2 元，第 14 天奖励 150 元一次性到账，累计曲线才反超。如果把 6 h 硬塞进一天，\(6>3\) 直接不可行；把两天拆开，第二天的体力又要打折——这正是"两天期耦合"：不是两个独立的一天，而是一条被拉长、且首日损耗会传导到次日的决策链。 图 9 汇总六种口径：题面 1 个 135.0 元、题面 2 个 270.0 元、含拥挤 100.8 元、尾部 1 个 10.9 元、尾部 2 个 -3.3 元。最后一根为负，说明在风险口径下"多带一个"是负边际。
5 结论
- 机会成本必须显性化：300 元奖励的真实净额是 135 元，不是 285 元；90 元的机会成本占全部扣减的 55%，不做这一步，账就是假的。
- 题面的 135 元是最乐观的一端：计入带教周拥挤损失 34.2 元后是 100.8 元，再计入尾部风险是 10.9 元，三档相差 124.1 元。
- 带几个由边际决定：单徒边际 10.9 元低于疲劳成本 25 元时只带 1 个；奖励额越过 205 元（题面口径）或 328 元（尾部口径），第二个才回到正边际。题面口径下最优带 2 个、排 第 2 周、第 4 周，风险口径下退为 1 个。
- 临界值三条线：带教时长 \(h^{\ast}=13.0\) h（安全垫 7.0 h）、被拒概率 \(p^{\ast}=53.6\%\)（远高于 20%）、完成率均值 \(\mu^{\ast}=194.5\) 单（只低 5.5 单）。前两条安全，第三条危险。
- 6 h 与 3 h/天 的组合注定跨两天：单日上界把 \(z=1\) 逼出可行域，模型必须引入 \(d_{1},d_{2}\)，决策于是变成"两天怎么排、下一周还带不带"的耦合问题——这是它区别于普通背包题的地方。
参考文献
[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.
[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.
[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.
[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.
复现方式：python batch_082.py；数据与结果见同目录 .csv / .json，图见 figs/
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