案例 079 差 2 单，加不加班

案例 079　差 2 单，加不加班

摘要：20:40，外卖小哥已经跑了 47 单，距平台的 50 单奖 120 元只差 3 单，手上还剩 40 min。夜间单量密度 2.8 单/h、均单收益 7.4 元、疲劳边际成本 2 元/h，确定性算法给出的答案是干脆别想那 120 元：0.67 h 只能出 1.876 单，\(2.8h\ge 3z\) 逼得 \(z\) 只能取 0，模型报出 11.54 元。但单量是随机的，把门槛换成 \(P(\mathrm{Pois}(2.8h)\ge 3)\) 后，40 min 的达标概率是 0.2898，加班 40 min 的期望收益 46.61 元，比"只挣加班工资"多 35.1 元。临界奖励额只要 2.46 元，现价 120 元有 48 倍安全边际；要让概率过半，得加班到 0.955 h，40 min 根本不够。10 万次蒙特卡洛给出 0.2887，与解析值差 -0.0011。

关键词：门槛奖励；泊松到达；期望值决策；临界奖励额；蒙特卡洛校验

1　问题提出

1.1　问题是什么

20:40，日累计 47 单。平台规则：当日满 50 单，一次性奖 120 元。小哥还剩 40 min 可以跑，超时就得回家。把这段时间的口径摆出来：

表 1　确定性解与概率口径的对照（金额单位：元）

口径	\(z\)	加班小时	期望单量	达标概率	期望收益	决策
确定性 MILP	0	0.67	1.876	0	11.54	加班但不指望奖励
强制冲奖 MILP	1	—	1.876	0	—	不可行（1.876 < 3）
泊松期望	—	0.67	1.876	0.2898	46.61	加班并赌奖
场景 MILP	1	0.67	1.876	0.2887	49.86	与解析一致

表 1 的第二行是本案例的"确定性答案"：\(2.8\times 0.67=1.876<3\)，\(z=1\) 直接不可行，模型只能把 \(z\) 压到 0，收益里一分奖励都没有。第三行是"赌"的答案：奖励按概率折算，同一份 40 min 的期望收益从 11.54 元跳到 46.61 元。

1.2　为什么要优化

第一，确定性模型把"可能"当成"不可能"。1.876 单是期望值，不是上界；实际出 3 单、4 单完全可能，概率是 0.2898，不是 0。把 0.2898 当成 0，等于白扔 34.78 元期望奖励。

第二，加班的账要分两笔算。加班本身每小时净赚 18.72 元（20.72 减 2），这笔钱与奖励无关，无论达不达标都拿得到；奖励是叠加在这上面的期权。两笔账混在一起算，就会出现"反正拿不到奖，不如回家"的错觉——回家的收益是 0，加班的保底收益就有 12.54 元。

第三，"值得赌"是一个可以算出临界值的判断。奖励低到什么程度、概率低到什么程度，赌就不划算了？这个问题有闭式解（式 6），不需要拍脑袋。

1.3　Gurobi 如何求解

确定性模型三个变量（\(h\)、\(z\)、线性化辅助变量 \(w\)），根节点收敛；随机模型把 60 个泊松场景写成 60 个 0-1 变量 \(z_s\)，仍然在 0.1 s 内解完。解析概率部分不经过 Gurobi，用泊松尾概率闭式计算；扫描共 41 点奖励、41 点密度、81 点小时，全部墙钟 2 s。

2　数学模型

\(h\) 为加班小时，\(z\in\{0,1\}\) 表示是否达标，\(w\) 是 \(h(1-z)\) 的线性化替身，\(\bar{h}=1.6\) 是 \(h\) 的候选集上界（大 M 按候选集规模取）。

2.1　目标函数

\[\max\ Z=120z+20.72h-2h-1.5(1-z)h\tag{1} \]

式 (1) 的四项分别是：达标奖励、劳动毛收益 \(7.4\times 2.8h\)、疲劳成本 \(2h\)、以及"白跑一场"的心理折算 \(1.5h\)（只在 \(z=0\) 时发生）。最后一项是 \(h\) 与 \(z\) 的乘积，必须线性化。

2.2　约束条件

\[2.8h\ge 3z,\qquad h\le 0.67\tag{2} \]

\[w\ge h-\bar{h}z,\quad w\le h,\quad w\le \bar{h}(1-z),\quad w\ge 0,\quad \bar{h}=1.6\tag{3} \]

式 (2) 是题面原文：想拿奖，期望单量必须够 3 单；加班时长被 40 min 卡死。式 (3) 是 McCormick 型线性化，四条边把 \(w\) 钉在 \(h(1-z)\) 上——\(z=1\) 时 \(w\le\bar{h}(1-z)=0\)，\(z=0\) 时 \(w=h\)。

2.3　概率口径

\[P(h)=\Pr\{N(h)\ge 3\}=1-e^{-2.8h}\left(1+2.8h+\frac{(2.8h)^{2}}{2}\right)\tag{4} \]

\[E(h)=120P(h)+(20.72-2)h-1.5h\left[1-P(h)\right]\tag{5} \]

式 (4) 把"够不够 3 单"换成泊松尾概率。注意这不是把 \(z\) 换成小数，而是换掉了判据：确定性模型问"期望够不够"，概率模型问"够的概率有多大、值多少钱"。式 (5) 是式 (1) 的期望形式，\(z\) 被 \(P(h)\) 取代，落空成本按 \(1-P(h)\) 加权。

2.4　临界奖励额

\[B^{*}=\frac{1.5h\left[1-P(h)\right]}{P(h)}\tag{6} \]

式 (6) 令"奖励的期望"等于"落空的期望成本"，解出 \(B^{*}\)。\(B<B^{*}\) 时赌的净期望为负，不如坦然接受落空；\(B>B^{*}\) 时赌划算。本案例 \(B^{*}=2.46\) 元，而奖励是 120 元。

2.5　概率过半需要多久

\[1-e^{-\mu}\left(1+\mu+\frac{\mu^{2}}{2}\right)=0.5\ \Rightarrow\ \mu^{*}=2.674,\quad h^{*}=\frac{\mu^{*}}{2.8}\tag{7} \]

式 (7) 把 \(P(h)=0.5\) 反解成 \(\mu^{*}=2.674\)，对应 \(h^{*}=0.955\) h。40 min 的上限只有 0.67 h，连五成把握都够不到——这是本案例最有信息量的一句话。

3　Gurobi 求解实现

3.1　建模要点

三段核心代码：

m.addConstr(2.8 * h >= 3 * z)                 # 达标判据
m.addConstr(w >= h - 1.6 * z)                 # w = h(1-z) 的线性化
m.addConstr(w <= h); m.addConstr(w <= 1.6 * (1 - z))
m.setObjective(120 * z + 20.72 * h - 2 * h - 1.5 * w, GRB.MAXIMIZE)

第一个细节：大 M 取 1.6（\(h\) 的候选上界），不用 10 万。\(M\) 越大，LP 松弛越松，虽然本例规模小看不出差别，但这是习惯问题。第二个细节：\(-1.5(1-z)h\) 是双线性项，必须用 \(w\) 替身，否则 Gurobi 报 Q 矩阵非 PSD；这也解释了为什么题面写 3 个变量、实际实现是 4 个。第三个细节：随机模型里 \(z_s\) 是逐场景的 0-1 变量，60 个场景 60 个 \(z_s\)，目标函数除以场景数取期望——这是标准的两阶段写法，第一阶段只有"加不加班"一个决策。

3.2　求解结果

表 2　概率口径下的三项灵敏度（金额单位：元）

项目	基准值	临界值	安全边际	结论
达标奖励额	120.0	2.46	48.7 倍	现价远高于临界
加班小时（P=50%）	0.67	0.955	17.1 min	40 min 内够不到五成
单量密度（P=50%）	2.80	3.99	1.19 单/h	密度需再涨一成半

4　结果分析

图 1　达标门槛的收益台阶：47 单在台下，50 单起一次拿 120 元

4.1　结构：门槛的台阶形状　图 1 把奖励画成单量的函数：44—49 单全是灰棒（奖励 0），50 单起跳到 120 元。这种"零或全有"的台阶是所有门槛型激励的共同形状，也是它为什么必须用 0-1 变量而不是线性折算的原因。小哥站在 47 单，距台阶还有 3 格，而 40 min 平均只能走 1.876 格——他站在台阶下面，不是台阶上。

图 2　加班小时与期望收益：两条口径的差距就是被确定性抹掉的概率价值

4.2　小时—期望收益：两条口径的分叉　图 2 的两条线在原点重合，越往右分得越开：灰虚线（确定性口径）是纯劳动收入，红色实线（概率口径）在它上方多出一块期望奖励。气泡大小是 \(P(h)\)，可以看到概率涨得比时长慢——从 0.67 h 加到 1.6 h，时长翻一倍多，期望奖励却只从 34.78 元涨到九成把握的水平。奖励的边际价值随 \(h\) 递减，因为泊松尾概率是凸的。

图 3　三种处置的对比：放弃 0 元、确定性口径 11.54 元、概率决策 46.61 元

4.3　三方案对比：35.1 元的期权价值　图 3 四根柱：放弃 0.0 元、确定性口径（\(z=0\)）11.54 元、概率决策 46.61 元、真达标实现值 132.54 元。确定性口径与概率决策之间那 35.1 元的落差，就是把 0.2898 的概率当成 0 的代价，占期望收益的 75.2%。注意第三根柱是期望值、第四根柱是"赌中了"的实现值，两者差 85.9 元——这正是"没中"的那 0.2898 概率要承受的落差。决策看第三根柱，日子过成第四根柱或第一根柱。

图 4　20:40 起的累计单量轨迹：期望轨迹贴着 50 线下方走，40 min 只到 48.88 单

4.4　时序：贴着 50 线下方走　图 4 是 20:40 之后的累计单量。期望轨迹从 47 起步，40 min 走到 1.876 单，落在 50 线下方的 1.124 单处；±1 标准差带在终点宽约 $\pm$1.4 单，90% 分位轨迹才刚刚摸到 50 线。这张图解释了一个直觉为什么是错的：很多人觉得"就差 3 单，跑快点就有了"，但 3 单对应 1.07 h 的期望时长，40 min 连期望都填不满，只有 0.2898 的机会靠运气补上。

图 5　奖励额扫描：期望收益是斜率为 P 的直线，临界奖励只要 2.46 元

4.5　主灵敏度：奖励额　图 5 左轴是期望净收益，随奖励额线性上升，斜率就是 \(P=0.2898\)——每多 1 元奖励，期望只多 0.2898 元。右轴是净赌注期望 \(BP-1.5h(1-P)\)，在 2.46 元处穿零。现价 120 元时净赌注期望 34.06 元，安全边际 48 倍。这个结论很硬：哪怕平台把奖励砍到 3 元，赌仍然划算，因为加班本身的劳动边际收益是正的，赌注几乎是白送的期权。

图 6　加班小时与单量密度的达标概率场：五成线在 0.67 h 之外

4.6　二维：加班小时与单量密度　图 6 是 81x41 的概率场，五成等值线从左上斜到右下。本案参数（★）落在 0.22 的概率带上，离五成线还差一截。读这张图的正确方式是横着读：固定 \(h=0.67\)，密度要从 2.8 涨到 3.99 单/h 才有五成把握；竖着读，密度固定 2.8，\(h\) 要从 0.67 加到 0.955 h。

图 7　单量密度扫描：密度到 2.8 以上，期望收益随概率加速上抬

4.7　第三维：单量密度　图 7 把密度从 1 扫到 5。左轴期望收益是条上凸曲线（概率加速），右轴达标概率从 4% 一路爬到 97%。密度每涨 1 单/h，期望收益多涨的不止 7.4 元：一部分来自劳动收入，一部分来自概率跃升。这在雨雪天、周五夜这些"密度突变"的场景里有直接的操作含义——同样的 40 min，密度 3.5 时值得赌的把握已经是 47%。

图 8　概率—收益前沿：40 min 的可达点与 50% 把握点隔着一段加班时间

4.8　前沿与不可达区　图 8 横轴换成达标概率，把 \(h\) 参数化的前沿画出来。灰区是"40 min 以内到不了"的部分：\(P>P(0.67)=0.2898\) 的每一个点都需要更多加班。图上三个标记点分别是确定性解（\(P\) 记 0，11.54 元）、40 min 可达点（46.61 元）与五成把握点（需 0.955 h）。前沿是单调的，但斜率递减——前半段每小时买的概率多，后半段买的少。

图 9　泊松解析与 10 万次蒙特卡洛的单量分布：两者差 -0.0011

4.9　分布：解析与蒙特卡洛　图 9 把 10 万次模拟的单量直方图与泊松解析 pmf 并排。两者几乎完全重合：解析 \(P=0.2898\)，模拟 0.2887，绝对误差 -0.0011，相对误差 -0.39%，而模拟本身的标准误是 0.00143——误差在 1 个标准误以内，可以认为两个口径一致。\(k=0\) 的概率高达 15%，\(k=1\) 约 29%，也就是说"跑满 40 min 一单没多"的概率比"达标"的一半还高，这是"差 3 单"这件事的真实难度。

图 10　期望收益分解：奖励贡献 34.78 元，落空成本只扣 0.71 元

4.10　期望收益分解　图 10 把 46.61 元拆成四块：劳动净收入 12.54 元、期望奖励 34.78 元、疲劳成本 −1.34 元、落空成本 −0.71 元。奖励贡献了七成，但它是一个 0.2898 概率才兑现的七成；落空成本只有 0.71 元，因为"没达标"的心理折算 1.5 元/h 本来就不高。如果这个系数涨到 8 元/h（很在意白跑一趟的人），落空成本会变成 3.81 元，仍不足以推翻决策——决定权在奖励的期望值，不在情绪成本。

5　结论

1. 确定性模型会说"别去"，这句话在数学上没错、在决策上错了。 \(2.8\times 0.67=1.876<3\)，\(z\) 只能取 0，最优值 11.54 元；但它把 0.2898 的概率当成了 0，少算 34.78 元期望奖励。
2. 概率口径下的答案是"加班，并且赌"。 期望收益 46.61 元，比确定性口径多 35.1 元，比直接回家多 46.61 元；真达标时到手 132.54 元，没达标时仍有 11.83 元保底。
3. 临界奖励额只要 2.46 元。 现价 120 元的安全边际是 48 倍，奖励砍到 3 元赌仍然划算——因为加班本身的劳动边际收益 18.72 元/h 是正的，赌注是白送的期权而不是风险下注。
4. 五成把握要 0.955 h，40 min 给不了。 \(P=0.5\) 对应 \(\mu^{*}=2.674\)，反解时长 0.955 h；密度侧要涨到 3.99 单/h。"差 3 单"在 40 min 里从来不是大概率事件，最高只有 0.2898。
5. 解析与模拟可以互相背书。 10 万次蒙特卡洛给 0.2887，解析给 0.2898，差 -0.0011（-0.39%），小于 1 个标准误 0.00143；场景 MILP 给 49.86 元，与解析 46.61 元同量级。三条独立路径指向同一个决策。

参考文献

[1] Gurobi Optimization LLC. Gurobi Optimizer Reference Manual[Z]. 2024.

[2] Kellerer H, Pferschy U, Pisinger D. Knapsack Problems[M]. Berlin: Springer, 2004.

[3] Martello S, Toth P. Knapsack Problems: Algorithms and Computer Implementations[M]. Chichester: John Wiley & Sons, 1990.

[4] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 3 版. 北京: 国防工业出版社, 2021.